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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数本初等函数 I2-8I2-8 函数与方程教师用书理苏教函数与方程教师用书理苏教1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)(xD)，把使函数 yf(x)的值为 0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点.(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系
2、000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点2 / 14零点个数210【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.( )(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0，所以 f(2)f(e)0，x0(2，3).(2)令 f(x)x
3、3()x2，则 f(x0)0，易知 f(x)为增函数，且 f(1)0，x0 所在的区间是(1，2).命题点 2 函数零点个数的判断例 2 (1)函数 f(x)的零点个数是 .(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当 x0，1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是 .答案 (1)2 (2)4解析 (1)当 x0 时，令 x220，解得 x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当 x0 时，f(x)20 恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为
4、2.(2)由题意知，f(x)是周期为 2 的偶函数.在同一坐标系内作出函数 yf(x)及 ylog3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有 4 个交点，5 / 14即函数 yf(x)log3|x|有 4 个零点.思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数 f(x)log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是 .(填序号)(0，1); (1，2)；(2，4); (4，).(2)(教材改编)已知函数 f(x)2x3x，则函数 f(
5、x)的零点个数为 .答案 (1) (2)2解析 (1)因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，即 a210a90，解得 a9.又由图象得 a0，09.引申探究本例(2)中，若 f(x)a 恰有四个互异的实数根，则 a 的取值范围是 .答案 (0，)解析 作出 y1|x23x|，y2a 的图象如下：当 x时，y1；当 x0 或 x3 时，y10，由图象易知，当 y1|x23x|和 y2a 的图象有四个交点时，00 且 a1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .(2)若关于 x 的方程 22x2xaa10 有实根，则实数 a 的取值范围为 .思想方法指导
6、(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数 yf(x)的值域解决.解析 (1)函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点，即方程axxa0 有两个根，即函数 yax 与函数 yxa 的图象有两个交点.当 01 时，图象如图(2)所示，此时有两个交点.实数 a 的取值范围为(1，).(2)由方程，解得 a，设 t2x(t0)，则 a(t1)2(t1)，其中 t11，9 / 14由基本不等式，得(t1)2，当且仅当 t1 时取等号，故a22.答案 (1)(1，) (2)(，221.(2016江苏东海中学期中)若
7、函数 f(x)则函数 g(x)f(x)x的零点为 .答案 1或 1解析 题目转化为求方程 f(x)x 的根，所以或Error!解得 x1或 x1，所以 g(x)的零点为 1或 1.2.若函数 f(x)log3xx3 的零点所在的区间是(n，n1)(nZ)，则 n .答案 2解析 由 f(2)log3210，知 f(x)0 的根在区间(2，3)内，即 n2.3.已知三个函数 f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为 .答案 a0 且 f(x)为 R 上的递增函数.故 f(x)2xx 的零点 a(1，0).g(2)0，g(x)的零点
8、 b2；h10，且 h(x)为(0，)上的增函数，h(x)的零点 c，因此 a0)的解的个数是 .答案 2解析 (数形结合法)a0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有两个交点.5.函数 f(x)的零点个数为 .答案 2解析 当 x0 时，令 f(x)0，得 x210，x1，此时 f(x)有一个零点；当 x0 时，令 f(x)0，得 x2ln x0，在同一个坐标系中画出 y2x 和 yln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数 y2x 和 yln x 的图象在(0，)上的交点个数是 1，所以此时函数 f(x)有一个零点，所以 f(x)的零点个数
9、为 2.6.已知 xR，符号x表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)a(x0)有且仅有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 .答案 ，)解析 当 01 时，由f(x)1log2x0，解得 x，又因为 x1，所以此时方程无解.综上，函数 f(x)的零点只有 0.8.已知函数 f(x)若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是 .答案 (，0)(1，)解析 令 (x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数 g(x)f(x)b有两个零点，即函数 yf(x)的图象与直线 yb 有两个交点，结合图象(图略)可得 ah(a)，即 aa2，解得 a1，故 a(，0
10、)(1，).9.(2016天津)已知函数 f(x) (a0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 .答案 1 3，2 3)解析 因为函数 f(x)在 R 上单调递减，所以 解得a.作出函数 y|f(x)|，y2的图象如图.由图象可知，在0，)上，|f(x)|2有且仅有一个解；在(，0)上，|f(x)|2同样有且仅有一个解，所以 3a1，设函数 f(x)axx4 的零点为 m，函数 g(x)12 / 14logaxx4 的零点为 n，则的最小值为 .答案 1解析 设 F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则 h(x)
11、与 F(x)，G(x)的交点 A，B 横坐标分别为 m，n(m0，n0).因为 F(x)与 G(x)关于直线 yx 对称，所以 A，B 两点关于直线 yx 对称.又因为 yx 和 h(x)4x 交点的横坐标为 2，所以 mn4.又 m0，n0，所以()mn 4(2)(22 )1.当且仅当，即 mn2 时等号成立.所以的最小值为 1.11.(2016江苏淮阴中学期中)已知关于 x 的一元二次方程x22axa20 的两个实根是 ，且有 10.又a0，f(x)a(x1)244，且 f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)x22x3.(2)g(x)4ln x14 / 14x4ln x2(x0)，g(x)1.令 g(x)0，得 x11，x23.当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当 03，又 g(e5)e52022512290.故函数 g(x)只有 1 个零点且零点 x0(3，e5).