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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 动态几何（二）知识图谱错题回顾顾题回顾动态几何（二）知识精讲一圆的相关计算1弧长公式（1）圆的周长：；（2）弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）2扇形面积公式（1）圆的面积公式：；（2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）3圆锥、圆柱的侧面积与全面积（1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：；（3）圆锥的体积：；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：；（5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有
2、：4不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：二圆中的动态问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味三点剖析一考点：1圆的相关计算；2圆中最值问题，尤其与最短路径结合二重难点：1圆的相关计算；2圆中最值问题，尤其与最短路径结合三易错点：1求动点的运动轨迹时，找不到动点的运动轨迹；2圆中动线段/面积与函数结合时，分类讨论不完全一考点：1圆的相关计算；2圆中最值问题，尤其与最短路径结合题模精
3、讲题模一：圆与动点问题例1.1.1如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，以AB为直径作，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动（1）求的半径长（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积（3）是否存在某一时刻，使直线PQ与相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）过点D作于E，四边形ADEB为矩形， 又 ，即AB
4、=4，的半径为2cm（2）当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t，则，即y=2t+26（），当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作于F（如图一），则有 ，则此时四边形PQCD的面积（3）存在若PQ与圆相切，设切点为G（如图二），作于H在上，AD切于A，PQ切于G，由切线长定理得：QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）-t=16-3t，PQ=QB+AP=16-t在中，即 解得，当时，PQ与圆相切例1.1.2如图，已知BC是的弦，A是外的一点，为正三角形，D为BC的中点，M为上一点，并且（1）求证：AB是的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且，的半径为2，试问的
5、值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，D为BC的中点， 为正三角形 是的切线； （2）的值是为定值作于H，连接AD，如图2为正三角形，D为BC的中点，AD平分， ，在， 在中， 同理可得， 的值是为定值例1.1.3如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置I开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置V，其中，位置I中的MN平行于数轴，且半与数轴相切于原点O；位置II和位置IV中的MN垂直于数轴，位置III中的MN在数轴上；位置V中的点N到数轴的距离为3，且半与数轴相切于点A解答下列问题
6、：（1）位置I中的MN与数轴之间的距离为 ；位置II中的半与数轴的位置关系是 ；（2）求位置III中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半从位置III翻滚到位置IV时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长（2）、（3）、（4）中的结果保留）【答案】见解析【解析】解：（1）的直径=4，的半径=2，与直线有一个交点，位置I中的MN与数轴之间的距离为2；位置II中的半与数轴的位置关系是相切；（2）位置I中的长与数轴上线段ON相等，的长为，NP=2位置III中的圆心P在数轴上表示的数为（3）点N所经过路径长为，半所扫过图形的面积为（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作于点H，连接
7、PA，则四边形PHCA为矩形在中，于是 ，从而的长为，于是的长为例1.1.4如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1（1）找出当能得到最小值时，点P的位置，并证明；（2）求出最小值BAMNO【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查的是圆的综合（1）过A作于E，联结1分MN过圆心O，即，2分根据两点间线段最短，当，P，B三点共线时，此时为最小值，3分P位于与MN的交点处，4分（2）点A是半圆上的一个三等分点，5分点B是弧AN的中点，6分，即最小值为7分AE例1.1.5如图，梯形ABCD中，ABCD，ABC=90，AB=3，BC=4，CD=5
8、点E为线段CD上一动点（不与点C重合），BCE关于BE的轴对称图形为BFE，连接CF设CE=x，BCF的面积为S1，CEF的面积为S2（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当BFE的外接圆与AD相切时，求的值【答案】（1）（2）（3）139-80【解析】（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N由题意，可知ABCD为直角梯形，则MNBC，且BN=CN=BC由轴对称性质，可知BF=BC，BN=BF，BFN=30，FBC=60，BFC为等边三角形CF=BC=4，FCB=60，ECF
9、=30设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=CF=2，CFBE在RtCEG中，x=CE=当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x的值为（2）如答图2，由轴对称性质，可知BECFGEC+ECG=90，GEC+CBE=90，GCE=CBE，又CGE=ECB=90，RtBCERtCGE，=，CE2=EGBE 同理可得：BC2=BGBE 得：=（0x5）（3）当BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示设圆心为O，半径为r，则r=BE=设切点为P，连接OP，则OPAD，OP=r=过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N，则OM为梯形ABED的中位线，OM=（AB+DE）=（
10、3+5-x）=（8-x）过点A作AHCD于点H，则四边形ABCH为矩形，AH=BC=4，CH=AB=3，DH=CD-CH=2在RtADH中，由勾股定理得：AD=2MNCD，ADH=OMP，又AHD=OPM=90，OMPADH，=，即=，化简得：16-2x=，两边平方后，整理得：x2+64x-176=0，解得：x1=-32+20，x2=-32-20（舍去）0-32+205x=-32+20符合题意，=139-80随堂练习随练1.1如图直角坐标系中，以M（3,0）为圆心的交X轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标；（2）在（1）的条件下，在上，是否存在
11、点P，使，若存在，求出满足条件的点P；（3）过C作的切线CE，过A作于F，交于N，当的半径大小发生变化时AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值【答案】（1）；（2），；（3）6【解析】解：（1）根据题意，连接CM，又，；故CM=5，即的半径为5；MA=5，且；即得；（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，可得为等腰直角三角形，且CM=PM=5，故；结合题意有， 解之得：， 即存在两个这样的点P；，（3）AN的长不变为6证明：连接CM，作于H，易证，故，即随练1.2已知：中，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cma；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）
12、；以点O为圆心、OC为半径的交AC于点E，于F（1）求证：EF是的切线（如图1）（2）请分析与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围（图2供思考用）【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在中，CD是斜边中线，CD=AD， 又OE=OC，又于F， 是的切线；（2） ，即，设，则 即， 过点O作，则四边形OEFG为矩形当EF=OE时，圆O与AB相切，解得；当时，AB与圆O相交，解得；则；当时，AB与圆O相离，解得，故随练1.3如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，AB=12cm，AD=8cm，BC=22cm，AB为的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以的速度运动，动点Q从点
13、C开始沿CB边向点B以的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，运动时间为t（s）（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，PQ与相切？【答案】（1）；（2）2【解析】直角梯形ABCD，AD/BC，PD/QC，当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形；AP=t，CQ=2t，8-t=2t，解得：当时，四边形PQCD为平行四边形（2）设PQ与相切于点H，过点P作，垂足为；直角梯形ABCD，AD/BC， 为的直径， 、BC为的切线， ；在中， ，即 ，；P在AD边运动的时间为 ，（舍去）当t=2秒时，PQ与相切随练1.4在
14、平面直角坐标系xOy中，已知，于点A，于点B，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积；（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断OCD的形状，并加以证明；（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值【答案】（1）12（2）见解析（3）【解析】该题考查的是新定义问题（1），P是半圆O上的动点，P在y轴上，四边形AOPC是正方形，正方形的面积是4，又，BD
15、=6，梯形OPDB的面积，点P的关联图形的面积是12 2分（2）判断OCD是直角三角形 3分证明：延长CP交BD于点F则四边形ACFB为矩形，又四边形AOPC是正方形，OCD是直角三角形 5分（3）连接OC交半圆O于点P，则点P记为所确定的点的位置， 6分理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积为定值，要使点P的关联图形的面积最大，就要使PCD的面积最小，CD为定长，P到CD的距离就要最小连接OC，设交半圆O于点P，过C作于F，则ACFB为矩形，PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点到CD的距离为，则，当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大， 7分，又，点P的关联图形的最大
16、面积，随练1.5已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PEPF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F，经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，
17、请说明理由【答案】（1）见解析（2）当t1时，b=2+a；当0t1时，b=2-a（3）t=或t=或t=2+【解析】证明：（1）如图，连接PM，PN，P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，PMMF，PNON且PM=PN，PMF=PNE=90且NPM=90，PEPF，NPE=MPF=90-MPE，在PMF和PNE中，PMFPNE（ASA），PE=PF；（2）解：分两种情况：当t1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，b-a=1+t-（t-1）=2，b=2+a，0t1时，如图2，点E在y轴的正半轴
18、或原点上，同理可证PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，b+a=1+t+1-t=2，b=2-a综上所述，当t1时，b=2+a；当0t1时，b=2-a；（3）存在；如图3，当1t2时，F（1+t，0），F和F关于点M对称，M的坐标为（1，0），F（1-t，0）经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q（1-t，0）OQ=1-t，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t-1当OEQMPF=，解得，t=，当OEQMFP时，=，=，解得，t=，如图4，当t2时，F（1+t，0），F和F关于点M对称，F（1-t，0）经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交
19、x轴于点Q，Q（1-t，0）OQ=t-1，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t-1当OEQMPF=，无解，当OEQMFP时，=，=，解得，t=2+，t=2-（舍去）所以当t=，t=，t=2+时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似随练1.6如图，已知l1l2，O与l1，l2都相切，O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图，连接OA、AC，则OAC的度数为_；（2）如图，两
20、个图形移动一段时间后，O到达O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）【答案】（1）105（2）2+6（3）2-t2+2【解析】（1）l1l2，O与l1，l2都相切，OAD=45，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，tanDAC=，DAC=60，OAC的度数为：OAD+DAC=105，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上
21、时，设O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，C1A1D1=60，在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60，A1E=，A1E=AA1-OO1-2=t-2，t-2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时O移动到O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2C2，由（2）得，C2A2D2=60，GA2F=120，O2A2F=60，在R
22、tA2O2F中，O2F=2，A2F=，OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+-3t1=2，t1=2-，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2-（2-）=t2-（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d2时，t的取值范围是：2-t2+2自我总结 课后作业作业1如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EGEF，E
23、G与圆O相交于点G，连接CG（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点G移动路线的长【答案】见解析【解析】解：（1）证明：如图1，CE为O的直径，CFE=CGE=90EGEF，FEG=90CFE=CGE=FEG=90四边形EFCG是矩形（2）存在连接OD，如图2，四边形ABCD是矩形，A=ADC=90点O是CE的中点，OD=OC点D在O上FCE=FDE，A=CFE=90，CFEDABAD=4，AB=3，BD=5，四边形EFCG是矩形，FCEG
24、FCE=CEGGDC=CEG，FCE=FDE，GDC=FDEFDE+CDB=90，GDC+CDB=90GDB=90当点E在点A（E）处时，点F在点B（F）处，点G在点D（G处，如图2所示此时，CF=CB=4当点F在点D（F）处时，直径FGBD，如图2所示，此时O与射线BD相切，CF=CD=3当CFBD时，CF最小，此时点F到达F，如图2所示43=5CFCF=CF4，矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为GDC=FDE=定值，点G的起点为D，终点为G，点G的移动路线是线段DGGDC=FDE，DCG=A=90，DCGDAB点G移动路线的长为作业2如图1，在平面直角坐标系中，与X轴切于A（-3，0
25、）于y轴交于B、C两点，BC=8，连AB（1）求证：；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作与y轴正半轴交于M，与的延长线交于N，当的大小变化时，得出下列两个结论：BM-BN的值不变；BM+BN的值不变其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变【解析】（1）连接，则，又， 又， ；（2）作于点E，为BC的中点， ，在直角三角形中，根据勾股定理得： 在直角三角形AOB中，根据勾股定理得： （3）BM-BN的值不变，理由为：证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，为四边形ABMN的外角，又，又 和都为所对的圆周角， 在和
26、中， ，其值不变作业3如图1，在平面直角坐标系中，与X轴切于A（-3，0）于y轴交于B、C两点，BC=8，连AB（1）求证：；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作与y轴正半轴交于M，与的延长线交于N，当的大小变化时，得出下列两个结论：BM-BN的值不变；BM+BN的值不变其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变【解析】（1）连接，则，又， 又， ；（2）作于点E，为BC的中点， ，在直角三角形中，根据勾股定理得： 在直角三角形AOB中，根据勾股定理得： （3）BM-BN的值不变，理由为：证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN
27、、AG、MN，为四边形ABMN的外角，又，又 和都为所对的圆周角， 在和中， ，其值不变作业4如图的外接圆，的平分线交于D（1），求的半径R和AD、BD的长（2）若点C在移动（但不与A、B重合），试探究的值是否发生变化？若不变，求其值若变化，请说明理由（若为内心，试求）【答案】（1）；（2）【解析】解：（1），是的直径，由勾股定理得： 的半径R为5cm，AB是的直径，CD平分 设，由勾股定理得： 则， （2）如图1，过A作于E，过B作于F， 和是等腰直角三角形， ， ， 当点C在移动（但不与A、B重合），的值不发生变化，等于 如图2，为内心，是内切圆的半径，则，由图1得：，作业5阅读材料如图1
28、，若点P是O外的一点，线段PO交O于点A,则PA长是点P与O上各点之间的最短距离.图1 图2证明：延长PO交O于点B，显然PBPA.如图2，在O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC.PA长是点P与O上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题（1）如图3，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是 图3（2）如图4，在边长为2的菱形中，=60，是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接,求线段AM的长度;
29、求线段长的最小值图4【答案】（1）；（2）1，【解析】（2）由知，点A在以点M为圆心，1为半径的圆上连接CM交圆M于点A，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H.作业6如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60得AC，连接BC，作ABC的外接圆O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D（1）求APB的大小；（2）当点P运动到何处时，PDAB？并求此时CD：CP的值；（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明【答案】（1）120（2）当点P运动到的中点时，PDAB，3：4（3）PC=AP+PB【解析】（1）AB=AC，BAC=60，ABC是等边三角形，APB+AC
30、B=180，APB=120；（2）当点P运动到的中点时，PDAB，如图1，连接PC，OA，OB，设O的半径为r，则CP=2r，又O为等边ABC的外接圆，OAB=30，在RtOAD中，OD=OA=，CD=+r=，CD：CP=：2r=3：4；（3）PC=AP+PB证明：方法一：如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，APB=120，BPQ=60，BPQ是等边三角形，PB=BQ，CBP=CBA+ABP=60+ABP，ABQ=QBP+ABP=60+ABP，ABQ=CBP，在ABQ和CBP中，PB=QB，CBP=ABQ，CB=AB，ABQCBP，CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，CPB=60，PBM是等边三角形，CMB=120，CMB=APB，APBCMB，PC=AP+PB；方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，先证APN是等边三角形，再证ANCAPB，从而PC=AP+PB