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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 全等综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾全等综合（二）知识精讲一平行四边形1平行四边形的性质（1）边的性质：对边平行且相等如下图：，（2）角的性质：平行四边形的对角相等如下图：，（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分如下图：，2平行四边形的判定（1）与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
2、二矩形1矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）对角线相等（3）是轴对称图形，对称轴是边的垂直平分线2矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形3直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半三菱形1菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线2菱形的
3、判定（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形3面积问题：如下图：四正方形1正方形的性质（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质；（3）正方形是轴对称图形，对称轴有4条2正方形的判定（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形3弦图模型：如图1，RtDCERt
4、CAF；如图2，RtBAERtCBF三点剖析一考点：1平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质；2四边形与三角形全等的结合二重难点：1解题过程中辅助线的构造三易错点：1正方形、矩形、菱形性质与判定的区别一考点：1平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质；2四边形与三角形全等的结合题模精讲题模一：全等与四边形综合例1.1.1（1）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是边BC、CD上的点，且求证：；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且，（1）中
5、的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【答案】见解析【解析】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG，又 EG=EF EG=BE+BG EF=BE+FD（2）（1）中的结论依然成立（3）结论EF=BE+ED不成立，应当是EF=BE-FD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， AG=AF 例1.1.2在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB过延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作，垂足为M，交的平分线于点N（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM
6、，下列两个结论：FM的长度不变；MN平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明【答案】见解析【解析】解：（1）四边形BCDO是正方形，CD=BC=OD=OB， （2）在OD上取OH=OM，连接HM，OD=OB，OH=OM，HD=MB， NB平分， ，在和中， ；（3）MN平分成立证明如下：延长BO到A使OA=CF，在与中， ， 在与中， ， 过M作于P，则， ，即MN平分 例1.1.3如图，在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求ABC的面积；（2）如
7、图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）（2）见解析（3）成立【解析】（1）四边形ABCD是菱形，ABC=60，ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，BEAC，AE=AB=1，BE=，ABC的面积=ACBE=；（2）如图2，作EGBC交AB于G，ABC是等边三角形，AGE是等边三角形，BG=CE，EGBC，ABC=60，BGE=120，ACB=60，ECF=120，BGE=ECF，在BGE和ECF中，BGEECF，EB=EF；（3）成立，如图3，作E
8、HBC交AB的延长线于H，ABC是等边三角形，AHE是等边三角形，BH=CE，在BHE和ECF中，BHEECF，EB=EF例1.1.4如图，四边形、均为正方形，（1）如图1，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形绕点顺时针旋转角（），如图2，连接、相交于点，连接，当角发生变化时，的度数是否发生变化？若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由（3）在（2）的条件下，过点作交的延长线于点，请直接写出线段与的数量关系：【答案】（1）且（2）不变；（3）【解析】（1），理由为：正方形，正方形，在和中，延长交于点，；（2）的度数不发生变化，的度数为理由为：过作，在和中，为的平分线，
9、（3）在上截取，连接，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即，即，在和中，则例1.1.5在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点（1）在图1中证明；（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，分别连结、（如图3），求的度数【答案】（1）见解析（2）（3）60【解析】该题考查四边形综合（1）证明：如图1：AF平分，四边形ABCD是平行四边形，AD/BC，AB/CD，,（2）连结GC、BG，四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为矩形，AF平分，DFAB，ECF为等腰直角三角形，G为EF中点，CGEF，ABE为等腰直角三角形，在BEG和DCG中，BEGDCG（SAS），又DG
10、B为等腰直角三角形，（3）延长AB、FG交于H，连结HDADGF，ABDF四边形AHFD为平行四边形，AF平分，DAF为等腰三角形，平行四边形AHFD为菱形ADH，DHF为全等的等边三角形，在BHD与GFD中，BHDGFD（SAS）随堂练习随练1.1在中，的平分线交直线BC与点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，分别连接DB、DG（如图3），求的度数【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1，平分， 四边形ABCD是平行四边形， ， （2）解：连接GC、BG，四边形ABCD为平行四边形， 四边形ABCD为矩形，AF平分，
11、 ， 为等腰直角三角形，AB=DC， ， 在与中， 又， 为等腰直角三角形， （3）解：延长AB、FG交于H，连接HD，四边形AHFD为平行四边形 ，AF平分， 为等腰三角形 平行四边形AHFD为菱形，为全等的等边三角形 ， ， 在与中， ， 随练1.2图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形（1）如图1，连接DE，BG，M为线段BG的中点，连接AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论【答案】见解
12、析【解析】解：（1），理由是：如图1，设AM交DE于点O，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ， 在中，M为线段BG的中点，AM=BM， ， ， ，即（2），理由是：如图2，延长AM到N，使MN=AM，连接NG， 由（1）得：AB=AD， ， ， ， 随练1.3如图所示，请在图中画出物体AB在平面镜中所成的像【答案】【解析】分别作出物体AB端点A、B关于平面镜的对称点A、B，用虚线连接A、B即为AB在平面镜中的像如图：随练1.4如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求
13、MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将CEF沿EF折叠，连接BM，BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长【答案】（1）MD的长为2（2）可以；CE=2或四边形ABMD的周长的最小值为（4+12），此时CE的长为4【解析】（1）如图1，作ENAD于点N，ANE=ENM=90四边形ABCD是矩形，A=B=C=D=90，AB=CD=4，AD=BC=8，A=B=ANE=90，AB=NE=4，AN=BEEC=5，BE=3，AN=3EFC与EFM关于直线EF对称，EFCEFM，EC
14、=EM=5在RtEMN中，由勾股定理，得MN=3，MD=833=2答：MD的长为2；（2）如图2，当BME=90时，EMF=90，BMF=180，B、M、F在同一直线上F是BC的中点，CF=DF=CD=2EFC与EFM关于直线EF对称，EFCEFM，MF=CF=2，EC=EM在RtBCF中，由勾股定理，得BF=2BM=22设EC=EM=x，则BE=8x，在RtBME中，由勾股定理，得（8x）2x2=（22）2，解得：x=CE=；如图3，当BEM=90时，MEC=90EFC与EFM关于直线EF对称，EFCEFM，EMF=C=90，CF=FM=2，四边形ECFM是正方形，MF=CE=2CE=2或；
15、如图4，四边形ABMD的周长最小，BM+MD最小，B、M、D在同一直线上，点M在BD上连结MC，EFC与EFM关于直线EF对称，EFCEFM，EC=EM，FC=FMEF垂直平分MC，MG=CG，GF是CDM的中位线，FGBD，BE=CEBC=8，CE=4在RtABD中，由勾股定理，得BD=4四边形ABMD的周长的最小值为：4+4+8=4+12答：四边形ABMD的周长的最小值为（4+12），此时CE的长为4随练1.5ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF
16、的位置关系为：BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长【答案】（1）垂直；BC=CF+CD；（2）CD=CF+BC；（3）【解析】（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFBD；故答案为：垂直；DABFAC，CF=BD，B
17、C=BD+CD，BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，ABD=ACF，BAC=90，AB=AC，ACB=ABC=45ABD=18045=135，BCF=ACFACB=13545=90，CFBCCD=DB+BC，DB=CF，CD=CF+BC（3）解：过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，ENCF于N，BAC=90，AB=AC，BC=AB=4，AH=BC=2，CD=BC=1，CH=BC=2，DH=3，由（2）证得BCCF，CF=BD=5，四边形ADEF是正
18、方形，AD=DE，ADE=90，BCCF，EMBD，ENCF，四边形CMEN是矩形，NE=CM，EM=CN，AHD=ADC=EMD=90，ADH+EDM=EDM+DEM=90，ADH=DEM，在ADH与DEM中，ADHDEM，EM=DH=3，DM=AH=2，CN=EM=3，EN=CM=3，ABC=45，BGC=45，BCG是等腰直角三角形，CG=BC=4，GN=1，EG=随练1.6如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PEAD（或延长线）于E，作PFDC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，AP=
19、x，求y关于x的函数表达式；（2）结论：GBEF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：FGCPFB【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用正方形的性质得出对应角以及对应边的关系是解题关键（1）根据题意得出S四边形ABFE=4-EDDF-BCFC进而得出答案；（2）首先利用正方形的性质进而证明FPEBHP（SAS），即可得出FPGBPH，求出即可；（3）首先得出DPCBPC（SAS），进而利用相似三角形的判定得出FGCPFB（1）PEAD，PFDC，四边形EPFD是矩形，AP
20、=x，AE=EP=DF=x，DE=PF=FC=2-x，S四边形ABFE=4-EDDF-BCFC=4-x（2-x）-2（2-x）=x2+2；（2）证明：如图1，延长FP交AB于H，PFDC，PEAD，PFPE，PHHB，即BHP=90，四边形ABCD是正方形，AC平分DAB，可得PF=FC=HB，EP=PH，在FPE与BHP中，FPEBHP（SAS），PFE=PBH，又FPG=BPH，FPGBPH，FGP=BHP=90，即GBEF；（3）证明：如图2，连接PD，GBEF，BPF=CFG，在DPC和BPC中，DPCBPC（SAS），PD=PB，而PD=EF，EF=PB，又GBEF，PF2=FGEF
21、，PF2=FGPB，而PF=FC，PFFC=FGPB，=，由得FGCPFB随练1.7（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足，联结AE、BF交于点H请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD求证：；图3图2图1【答案】（1）；（2）见解析（3）见解析【解析】本题考查的是几何综合（1）易证明ABM和BCF（SAS），即-1分（2）判断：-2分证明：过点A作AMGE交B
22、C于M正方形ABCD，ADBC，ABMBCF -3分AMGE且ADBC -4分（3）：过点B作BNFG，且使联结NG、NE四边形NBFG是平行四边形，BFNG由（2）可知，且且NGE为等腰直角三角形由勾股定理得当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线此时，在BEN中，即-5分当点F与点D重合，点E与点C重合时，N、B、E三点共线此时，即-6分：正方形ABCD以GF为直径作P，则点D在P上点H也在P上 -7分自我总结 课后作业作业1已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作交于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图绕B点逆时针旋
23、转，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）【答案】见解析【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，在中，G为DF的中点，同理，在中，（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG证法一：连接AG，过G点作于M，与EF的延长线交于N点在与中，DG=DG， 在与中， ； 四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN，在与中， （3）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：过F作CD的平行线并延长
24、CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点，易证，得到 又因为BE=EF，易证，则，EM=EC ，即 是等腰直角三角形 为中点，作业2已知，在中，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF=BC-CD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC
25、，探究的形状，并说明理由【答案】见解析【解析】（1）证明：，AB=AC，四边形ADEF是正方形， 在和中， 由可得， （2）与（1）同理可得BD=CF，CF=BC+CD；（3）与（1）同理可得，BD=CF，CF=CD-BC； AB=AC,则 四边形ADEF是正方形， 在和中，, ,则为直角三角形 正方形ADEF中，O是DF的中点， 正方形ADEF中， 是等腰三角形作业3如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC的中点（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（
26、1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）当点P在线段AO上时，在和中， 过点P作，于点M，作于点N， ， 在与中， 故 （2）四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BA=DA， 又 （i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，（ii）当点E在BC的延长线上时，如图 综合（i）（ii），（3）同理即得出：，作业4我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面
27、是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由（1）思路梳理AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线根据_，易证AFG_，得EF=BE+DF（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系_时，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45猜想BD、DE、EC应
28、满足的等量关系，并写出推理过程【答案】（1）SAS；AFG（2）B+D=180（3）DE2=BD2+EC2【解析】（1）AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线，在AFE和AFG中，AFEAFG（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF，（2）B+D=180时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC
29、+B=180，FDG=180，点F、D、G共线，在AFE和AFG中，AFEAFG（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF；（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：连接DE，根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，AECABE，BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，在RtABC中，AB=AC，ABC=ACB=45，ABC+ABE=90，即EBD=90，EB2+BD2=ED2，又DAE=45，BAD+EAC=45，EAB+BAD=45，即EAD=45，在AED和AED中，AEDAED（SAS），DE=DE，DE2=BD2+EC2作业5已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，C
30、D上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论【答案】（1）AFDE
31、；（2）成立；（3）四边形MNPQ是正方形【解析】（1）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AF=DE，DAF=CDE，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（2）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AF=DE，CDE=DAF，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（3）四边形MNPQ是正方形理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交
32、DE于点H，点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，四边形OHQG是平行四边形，AF=DE，MQ=PQ=PN=MN，四边形MNPQ是菱形，AFDE，AOD=90，HQG=AOD=90，四边形MNPQ是正方形作业6某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动
33、时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值【答案】（1）不是，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK（3）6（4）【解析】（1）当点P
34、运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设AP=x，则PB=8-x，根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK依题意画出图形，如答图2所示设AP=a，则PB=BF=8-aPEBF，=，即=，PK=，DK=PD-PK=a-=，S APK=PKPA=a=，S DFK=DKEF=（8-a）=，S APK=S DFK（3）当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为
35、DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A此时在RtAPQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：24=6（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为如答图4-1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形点O为中点，OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，点O的运
36、动路径为线段XY，XY=MN=3，XYAB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5如答图4-2，作点M关于直线XY的对称点M，连接BM，与XY交于点O由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM最小在RtBMM中，MM=24=8，BM=7，由勾股定理得：BM=MM2+BM2=OM+OB的最小值为作业7在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E
37、同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由【答案】（1）见解析（2）真命题，证明见解析或【解析】本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解（1）证明ADFDNC，即可得到DF=MN；（2）首先证明AFECDE，利用比例式求出时间t=
38、a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论（1）证明：DNC+ADF=90，DNC+DCN=90，ADF=DCN在ADF与DNC中，ADFDNC（ASA），DF=MN（2）解：该命题是真命题理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CDABCD，AFECDE，=，AE=EC，则AE=AC=a，t=a则CM=1t=a=CD，点M为边CD的三等分点能理由如下：易证AFECDE，=，即=，得AF=易证MNDDFA，=，即=，得ND=tND=CM=t，AN=DM=a-t若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知FANNDM，AF=ND，即=t，得t=0，不合题意此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MNDF知，HN=HM，DN=DM=MC，t=a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：AN=DM，AD=CD，ND=CM，MFCNMD，FC=DM=a-