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1、120192019 学年高一数学下学期期末综合测试试题（四）学年高一数学下学期期末综合测试试题（四） （含解析）（含解析）一、选择题一、选择题：1. 下列函数中，周期为 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】易知的周期为，的周期为，的周期为，的周期为；故选 D.2. 设 P 是ABC 所在平面内的一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】移项得.故选 B3. 已知向量若与平行，则实数 的值是（ ）a = (1,1),b = (2,x),a + b4b2axA. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】解法 1 因为，所以由于与平行，a = (1,1),b
2、 = (2,x)a + b = (3,x + 1),4b2a = (6,4x2),a + b4b2a得，解得。6(x + 1)3(4x2) = 0x = 2解法 2 因为与平行，则存在常数，使，即，根据a + b4b2aa + b = (4b2a)(2 + 1)a = (41)b2向量共线的条件知，向量与 共线，故。bx = 24. 已知 是所在平面内一点， 为边中点，且，那么（ ）O ABCDBC2OA + OB + OC = 0A. B. C. D. AO = ODAO = 2ODAO = 3OD2AO = OD【答案】A【解析】由O为BC边上中线AD上的点,可知，2OD = OB + O
3、C = - OA = AO故选：B.5. 若函数f(x)=sinx, x0, , 则函数f(x)的最大值是 ( )3123A. B. C. D. 12232232【答案】D【解析】【分析】先求出 的取值范围，然后再求出sinx的最大值，进而得到函数f(x)的最大值12x312【详解】，0 x 3，0 x26，0 sinx212，即，0 3sinx2320 f(x) 32的最大值为 f(x)32故选 D【点睛】本题考查函数的最值的求法，解题时将看作一个整体，求f(x)= Asin(x + )x + 出的范围后再结合函数的图象可得所求，注意整体思想及数形结合思想的运用x + 6. (1+tan25
4、0)(1+tan200 )的值是 ( )A. -2 B. 2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】3逆用两角和正切公式求解可得所求【详解】由题意得，(1 + tan25)(1 + tan20)= 1 + tan20+ tan25+ tan20tan25又，tan20+ tan25= tan(20+ 25)(1 - tan20tan25)= 1 - tan20tan25(1 + tan25)(1 + tan20)= 1 +(1 - tan20tan25)+ tan20tan25= 2故选 B【点睛】解答类似问题时既要熟悉常见三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公
5、式间的联系，掌握常见的公式变形，如和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)等7. 已知为锐角，a=sin()，b=，则a、b之间关系为（ ）、 + sin + cosA. ab B. ba C. a=b D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式可得，再由为锐角可得a = sin( + )= sincos + cossin、，从而得，即0 0)T =2函数在区间0，1至少出现 2 次最大值，y = sinx，542 1又， 0， 52 的最小值为52故选 A【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用，将函数在给定区间内取得最值的个数转化为函数在
6、该区间内周期的个数的问题解决，建立不等式后解不等式即可得到所求11. 在直角坐标系中，分别是与 轴， 轴平行的单位向量，若直角三角形中，xOyi, jxyABC，则 的可能值有 ( )AB = 2i + jAC = 3i + kjkA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】6试题分析：根据题意，由于直角三角形中，那么当角 A 是直ABCAB = 2i + jAC = 3i + kj角时，则满足，当角 B 为直角时，ABAC = (2i + j)(3i + kj) = 0,6 + k = 0,k = 6或者角 C 为直角时分别求解得到ABBC = (2i + j)(
7、i + (k1)j) = 0,6 + k1 = 0,k = 7无解，故有两个值，选 B.CBAC = (i + (1k)j)(3i + kj) = 0,3 + k(1k) = 0,考点：向量的数量积运用点评：解决该试题的关键是根据数量积为零来求解垂直问题，属于基础题。12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是 1， l2与l3间的距离是 2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则ABC的边长是 （ ）A. B. C. D. 2 34 633 1742 213【答案】D【解析】【分析】设与直线 交于点 作于 ，于于 ACl2DAE l2EBG AC
8、G，CF l2F设，则可得，由可得AD = xAC = 3xDG =x2,BG =3 3x2RtBDG RtCDFDF =23 3，然后根据勾股定理可得，于是可得ABC的边长为DF =13 3AD =2 2193AD =2 213【详解】设与直线 交于点 作于 ，于于 ACl2DAE l2EBG ACG，CF l2F设，则可得，于是AD = xAC = 3xDG =x2,BG =32 3x =3 3x2由题意得，RtBDG RtCDF7，即，BGCF=DGDF3 3x22=x2DF解得，DF =23 3DE =13 3在中，RtADE可得，AD2= AE2+ DE2= 1 + (13 3)2=
9、2827，AD =2827=2 219正ABC的边长AC = 3AD =2 213故选 D【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，等边三角形的性质，勾股定理等，考查学生的转化能力和运算能力，在本题的解法中作辅助线将问题进行转化是关键二、填空题：二、填空题： 13. 设两个向量 ，满足，的夹角为 60,若向量与向量e1,e2|e1|= 2,|e2| = 1e1,e22te1+ 7e2的夹角为钝角，则实数的取值范围为_.e1+ te2【答案】.(7,142) (142,12)【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数的取值范围，但要注意排除两向量
10、共线反向的情形【详解】，的夹角为 60,|e1|= 2,|e2| = 1e1,e2e1 e2= 2 1 cos60= 1向量与向量的夹角为钝角，2te1+ 7e2e1+ te2(，2te1+ 7e2) (e1+ te2)= 2te12+(2t2+ 7)e1 e2+ 7te22= 2t2+ 15t + 7 0a,ba b 0之不成立（注意共线反向的情形） 14. 若，（0，） ，则 tan=_.sincos =75【答案】或.4334【解析】【分析】由可得，由此可求得的值，然后可求得，sincos =752sincos = -2425sin + cossin,cos于是可得所求【详解】，sinc
11、os =75，(sin - cos)2= 1 - 2sincos =4925，2sincos = -2425，(sin + cos)2= 1 + 2sincos =125sin + cos = 15由解得，故得；sincos =75sin + cos =15 sin =45cos = -35 tan =sincos= -43由解得，故得sincos =75sin + cos = -15 sin =35cos = -45 tan =sincos= -34综上可得的值为或tan-43-34【点睛】对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一9个式子的值，其余二式
12、的值可求，其中转化的公式为(sin cos )212sin cos ，但解题中要注意判断 sin cos 和 sin cos 的符号15. 如右图，在中，是边上一点，则ABCBAC = 120,AB = 2,AC = 1,DBCDC = 2BD,_.ADBC =【答案】.83【解析】【分析】将向量用向量表示，然后根据向量数量积的定义求解可得结果AD,BCAB,AC【详解】由题意得，AD = AB + BD = AB +13BC = AB +13(AC - AB)=23AB +13AC又，BC = AC - ABADBC =(23AB +13AC)(AC - AB)= -23AB2+13AC A
13、B +13AC2= -23 4 +13 2 1 (-12)+13= -83【点睛】解决类似问题时，首先要抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题AB,AC方便快捷16. 下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 ；终边在y轴上的角的集合是|=；k2,k Z在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；把函数；y = 3sin(2x +3)的图象向右平移6得到y = 3sin2x的图象函数。y = sin(x -2)在0，上是减函数其中真命题的序号是_（写出所有真命题的编
14、号）10【答案】 .【解析】【分析】根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题【详解】对于，由于y = sin4x - cos4x =(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)= cos2x - sin2x，所以函数的最小正周期为 因此命题正确= cos2x对于，终边在y轴上的角的集合是，因此命题不正确| = k +2,k Z对于，在同一坐标系中，由三角函数的性质可得，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有在原点处有唯一的公共点因此命题不正确对于，把函数所得图象对应的解析式为y = 3sin(2x +3)的图象向右平移6因此命题正确y = 3sin
15、2(x -6)+3= 3sin2x对于，函数，所以函数在区间上单调递增因此命y = sin(x -2)= - sin(2- x)= - cosx0，题不正确综上可得所有正确命题的序号为 【点睛】本题考查角的有关概念和三角函数的性质及图象的有关知识，解答问题的关键是根据题意并结合相关的知识进行分析、判断，逐步得到所给的结论是否正确，考查学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力三三. .解答题：解答题：17. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B .(1)求b的值；(2)求的值23sin(2B3)【答案】(1) .b = 6(2) .
16、4 5 + 318【解析】(1)在ABC中，由，asinAbsinB且bsinA3csinB，a3，asinB3csinB，c1，由b2a2c22accosB，cosB ，可得b.23611(2)由 cosB ，得 sinB ，进而得2353cos 2B2cos2B1 ，sin 2B2sinBcosB.194 59所以 sinsin 2Bcos cos 2Bsin (2B3)334 5 + 31818. 已知函数R R.f(x) = 2cosx(sinx - cosx) + 1,x （1）求函数的最小正周期；f(x)（2）求函数在区间上的最小值和最大值f(x)8,34【答案】(1) .(2)
17、函数在区间上的最大值为最小值为.f(x)8,342,- 1【解析】【分析】（1）运用三角变换，将函数的解析式化为的形式，结合周期的计算公式f(x) = 2sin(2x -4)可得所求；（2）根据函数在区间上的单调性可求出最大值和最小f(x) = 2sin(2x -4)8,38值【详解】(1)由题意得 .f(x) = 2cosx(sinx - cosx) + 1 = sin2x - cos2x= 2sin(2x -4)函数的最小正周期为.f(x)T =22= (2)解法一：，8 x 34，0 2x -454当，即上单调递增；2 2x -428 x 38当，即上单调递减0 2x -45438 x
18、34当时，取得最大值，且最大值为；x =38f(x)f(38)= 2又f(8)= 0,f(34)= 2sin(32-4)= - 2cos4= - 1,函数在区间上的最小值为f(x)8,38- 1解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象，如下图所示：f(x) = 2sin(2x -4)8,9812由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.f(x)8,342,f(34)= - 1【点睛】本题考查三角函数中的特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查转化能力和基本运算能力其中的解题关键是把所y = Asin(x + )给函数化为的形式，然后再运用整体的思想解题y = Asi
19、n(x + )19. 设向量 a = (4cos,sin),b = (sin,4cos),c = (cos,4sin)（1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; b2ctan( + )|b + c|（3）若，求证：tantan = 16b【答案】(1)2.(2)32.(3)见解析.【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。20. 若函数在(0, 2)内有两个不同零点 、 。f(x) = sinx + 3cosx + a(1)求实数的取值范围；(2)求的值。tan( + )【答案】 （
20、1）a的取值范围是(-2, -)(-, 2).33（2）.3【解析】【分析】（1）由于，故可将问题转化为方程 sin(x+在(0, f(x)= sinx + 3cosx + a = 2sin(x +3) + a3) = -a22)内有相异二解，由条件得到，结合函数的图象可得所求范围 （2）根据 、3 x +373为函数的零点可得 sin+cos+=0 且 sin+cos+=0，将两式f(x) = sinx + 3cosx + a3313相减并结合和差化积公式可得 tan，从而可得所求 + 2=33【详解】(1)由题意得 sinx+cosx=2( sinx+ cosx)=2 sin(x+ )，
21、312323函数在(0, 2)内有两个不同零点，f(x) = sinx + 3cosx + a关于x的方程 sinx+cosx+a=0 在(0, 2)内有相异二解，3方程 sin在(0, 2)内有相异二解 (x +3) = -a202，x 3 x +373结合图象可得若方程有两个相异解，则满足且，- 1 -a2 1-a232解得且- 2 a 2a - 3实数的取值范围是( - 2, - 3) ( - 3,2)(2) 是方程的相异解，, sin+cos+=0 3sin+cos+=0 3 得(sin sin)+( cos cos)=0，-3- 2sincos2sinsin， - 2 + 2-3 +
22、 2 - 2= 0又 sin0， + 2 tan， + 2=33 tan( + )=2tan + 21 - tan2 + 2= 3【点睛】本题以函数的零点为载体考查三角变换及函数图象的应用，考查转化变形能力和运算能力以及数形结合能力，熟练掌握公式的变形及应用是解题的关键21. 一海监船发现在北偏东方向,距离 12 nmile 的海面上有一敌船正以 10 nmile/h 的45速度沿东偏南方向逃窜.海监船的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该敌船,15海监船应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和 角的正弦值.45 + 14【答案】所需时间 2 小时, , . .sin =
23、5 314【解析】分析：先设时间，表示路程，再根据余弦定理求时间，再根据正弦定理求角.详解： 设 ， 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 小时后在 处追上（如图所示）.ACxB则有，AB = 14xBC = 10xACB = 120，(14x)2= 122+(10x)2- 240x cos120所以，x = 2AB = 28BC = 20，sin =20sin12028=5 314所以所需时间为 2 小时，角 的正弦值为.5 314点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.22. 已知函数，f(x) = c
24、os2(x +12)g(x) = 1 +12sin2x（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值x = x0y = f(x)g(x0)（II）求函数的单调递增区间h(x) = f(x) + g(x)【答案】(1) 当 为偶数时，kg(x0) = 1 +12sin(6)= 114=34当 为奇数时，kg(x0) = 1 +12sin6= 1 +14=5415(2) 函数的单调递增区间是（） h(x)k512，k +12k Z【解析】试题分析：（1）先将三角函数化为基本三角函数，即利用降幂公式得，f(x) =121 + cos(2x +6)再利用基本三角函数性质得： ，即，所以2x0+6= k2x0=
25、 k6因此分 为奇偶讨论得，的值为或， （2）同样先g(x0) = 1 +12sin2x0= 1 +12sin(k6)kg(x0)将三角函数化为基本三角函数，此时要用到两角和余弦公式及配角公式，即h(x) = f(x) + g(x) =121 + cos(2x +6) + 1 +12sin2x，再利用基本三角函数性质=12cos(2x +6) + sin2x +32=12(32cos2x +12sin2x) +32=12sin(2x +3) +32得：，即（） ，故函数的单调递增区间是2k2 2x +3 2k +2k512 x k +12k Zh(x)（） k512，k +12k Z试题解析：（1）由题设知f(x) =121 + cos(2x +6)因为是函数图象的一条对称轴，所以 ，即（） 所以当 为偶数时，当 为奇数时，（2）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（） 考点：三角函数性质16