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1、120192019 年年( (二二) )期末考试高一数学测试卷期末考试高一数学测试卷一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的) )1.1.在数列中，则的值为（ ）A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】C【解析】试题分析：,数列是等差数列，通项为考点：等差数列通项公式2.2.已知过点和的直线与直线平行，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由过点和的直线与直线平行，根据斜率相
2、等即可求解A(2,m)B(m,4)2x + y + 1 = 0【详解】因为直线的斜率等于，2x + y + 1 = 02所以过点和的直线与直线平行，所以,A(2,m)B(m,4)2x + y + 1 = 0kAB= 2所以，解得，故选 B4mm + 2= 2m = 8【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力3.3.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm） ，其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为( )2A. 12cm2 B. 15cm2 C. 24cm2 D. 36
3、cm2【答案】C【解析】此几何体为一个圆锥，其表面积为.S表= 32+ 3 5 = 244.4.如果直线(2a+5)x+(a2)y+4=0 与直线(2a)x+(a+3)y1=0 互相垂直，则 a 的值等于（ ）A. 2 B. 2 C. 2,2 D. 2,0,2【答案】C【解析】(2a5)(2a)(a2)(a3)0，所以a2 或a2.5.5.已知圆，则两圆的位置关系为( )C1：x2+ y2- 2 3x - 4y + 6 = 0，C2：x2+ y2- 6y = 0A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】D【解析】【分析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关
4、系，即可求解【详解】由题意，可知圆，即为，表示以为圆心，半径为 1C1(x 3)2+ (y2)2= 1C1( 3,2)的圆，圆，即为，表示以为圆心，半径为 3 的圆，C2x2+ (y3)2= 9C1(0,3)由于两圆的圆心距等于等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选 D.3 + 1 = 2【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力6.6.一个球的内接正方体的表面积为 54,则球的表面积为( )A. 27 B. 18C. 19 D. 543【答案】A【解析】设正方体的棱长为，则，解得。6a2= 54a = 3设球的
5、半径为 ，则由正方体的体对角线等于球的直径得，解得。R2R = 3 3R =3 32所以球的表面积为。选 A。S = 4 (3 32)2= 277.7.若 a，bR 且 ab0，则 2a2b的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】解：a，bR 且 ab0，则 2a2b，选 A= 2a+ 2a= 2a+12a 2 2a12a= 28.8.数列前 项的和为（ ）112,214,318,4116,nA. B. C. D. 12n+n2+ n212n+n2+ n2+ 112n+n2+ n212n + 1+n2n2【答案】B【解析】，故选 B.Sn= (1 + 2 + 3
6、 + + n) + (12+14+18+ +12n) =n(n + 1)2+12(112n)112=n(n + 1)2+ 112n9.9.已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）x,yy x 2x + y 3 x2y 4?z = 2xyA. 5 B. 3 C. 1 D. -4【答案】A【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定最优解的取值之处，据此求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，2x + y = 3x2y = 4?A(2,1)据此可知目标函数的最大值为：.zmax
7、= 2 2(1)= 54本题选择A选项.点睛：求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.10. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2009 B. 20018C. 1409 D. 14018【答案】A【解析】试题分析：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和,长方体的三度为：,圆柱的底面半径为，高为，所以几何体的体积,故选 A5考点：三视图求面积，体积.视频11.11.若圆心在 x 轴上，半
8、径为的圆 C 位于 y 轴左侧，且与直线 x2y0 相切，则圆 C5的方程是 ( )A. (x)2y25 B. (x)2y2555C. (x5)2y25 D. (x5)2y25【答案】D【解析】试题分析：设圆心为 ，因为直线与圆相切，所以圆的方程为(a,0) (a 0)|a|5= 5 a = 5（x5）2y25考点：圆的方程12.12.动直线：（）与圆 ：交于点 ， ，则x + my + 2m2 = 0m RCx2+ y22x + 4y4 = 0AB弦最短为（ ）ABA. B. C. D. 22 564 2【答案】D【解析】分析：因为直线经过（2，2） ，因为圆 C 截得的弦 AB 最短，则和
9、 AB 垂直的直径必然过此点，则求出此直径所在直线的方程，根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为1，即可求出 m 值，然后利用勾股定理即可求出最短弦.详解：由直线 l：可知直线 l 过（2，2） ；x - 2 + m(y + 2)= 0因为圆 C 截得的弦 AB 最短，则和 AB 垂直的直径必然过此点，且由圆 C化简得x2+ y2- 2x + 4y - 4 = 0(x - 1)2+(y + 2)2= 9则圆心坐标为（1，2）然后设这条直径所在直线的解析式为 l1：y=mx+b，把（2，2）和（1，2）代入求得 y=4x+6，因为直线 l1和直线 AB 垂直，两条直线的斜率乘积为1，所以得 m=
10、4，即直线：x - 4y - 10 = 06弦最短为AB2 32-(|1 - 4 2 - 10|1 + 16)2= 4 2故选：D点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) )13.13.若ab0，则与 的大小关系为_1ab1a【答案】1ab1a【解析】【分析】作差化简，根据差的符号判断大小.
11、【详解】1ab1a=b(ab)a,a b 0 ab 0 1ab1a 0 1ab1a.【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本论证能力.14.14.ABC 中，若,那么角 B=_sin2Asin2B + sin2C = sinAsinC【答案】3【解析】【分析】利用正弦定理，条件可化为，再根据余弦定理，可求得答案a2b2+ c2= ac【详解】由题意，sin2Asin2B + sin2C = sinAsinC由正弦定理可得，所以，a2b2+ c2= accosB =a2b2+ c2ac=12又因为，所以.B (0,)B =3【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个
12、定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到15.15.已知x,y满足4 40, 则的最大值为_x2xy2x2+ y27【答案】12 + 8 2【解析】【分析】现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据的意义，结合图形即可求解x2+ y2【详解】由题意，曲线，即为，x24x4 + y2= 0(x2)2+ y2= 8所以曲线表示一个圆心在，半径为的圆，(2,0)2 2又由表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为 ，x2+
13、y22所以原点到圆上的点的最大距离为，2 + 2 2所以的最大值为x2+ y2(2 + 2 2)2= 10 + 8 2【点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把转化为原点到圆上x2+ y2的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力16.16.个半球的全面积为 ,一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 Q【答案】10Q9【解析】试题分析：设半球的半径和圆柱的底面半径为，高为，则，又考点：表面积和体积.【方法点晴】本主要考查表面积和体积，由于本题涉及方程思想，综合性较强，属于较难题型通过研析题设条件，由半球的全面积可得，再由圆柱与此半球等底等体积可得，从而得圆柱的
14、全面积为8，本 题要求考生具有一定方程思想和逻辑推理能力.三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤骤) )17.17.直线l经过两直线l1:2x-y+4=0 与l2:x-y+5=0 的交点,且与直线 x-2y-6=0 垂直.(1)求直线l的方程.(2)若点 P(a,1)到直线l的距离为,求实数 a 的值.5【答案】 （1）；（2）或2x + y8 = 0a = 1a = 6【解析】试题分析：（1）解方程组可得直线的交点为(1,6)，然后根据垂直可得直线l的斜率，由点
15、斜式可得l的方程；（2）有点到直线的距离公式可得，解得 a=1 或 a=6，即|2a + 1 - 8|5= 5为所求。试题解析：(1)由得2x - y + 4 = 0,x - y + 5 = 0 x = 1, y = 6 所以直线l1与l2的交点为(1,6),又直线l垂直于直线 x-2y-6=0,所以直线l的斜率为 k=-2，故直线l的方程为 y-6=-2(x-1),即 2x+y-8=0.(2)因为点 P(a,1)到直线l的距离等于,5所以=,|2a + 1 - 8|55解得 a=1 或 a=6.所以实数 a 的值为 1 或 6.18.18.已知公差不为 0 的等差数列的首项,且，成等比数列.
16、ana1= 1a1a2a6(1)求数列的通项公式;an9(2)记，求数列的前 项和.bn=1anan + 1bnnSn【答案】(1) ;(2) .an= 3n - 2n3n + 1【解析】【分析】（）设等差数列的公差为 ，根据成等比数列，求得，即可得到数列的通anda1,a2,a6d = 3项公式；（）由（）知，利用裂项法即可求解bn=13(13n213n + 1)【详解】 （1）设等差数列的公差为，and(d 0)，成等比数列， a1a2a6 a2 2= a1 a6 (a1+ d)2= a1 (a1+ 5d) a1= 1, d2= 3d d 0, d = 3 an= 3n - 2（2）由（1
17、）知， bn =1(3n - 2)(3n + 1)=13(13n - 2-13n + 1) Sn= b1+ b2+ + bn=13(1 -14) + (14-17) + + (13n - 2-13n + 1) =13(1 -13n + 1) =n3n + 1【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“列项法求和” ，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.19.19.如图，已知三角形的顶点为，求：A(2,4)B(0,2)C(2,3)（ ）边上的中线
18、所在直线的方程1ABCM（ ）求的面积2 ABC10【答案】 （1）；（2）11.3y + x4 = 0【解析】试题分析：（1）AB 中点 M 的坐标是M(1,1)中线 CM 所在直线的方程是，y131=x121即 2x3y50； 6 分（2）8 分|AB| =(02)2+ (24)2= 2 10直线 AB 的方程是3xy2 = 0点 C 到直线 AB 的距离是12 分d =|3 (2)32|32+ 12=1110所以ABC 的面积是14 分S =12|AB| d = 11考点：考查了求直线方程，两点间的距离，点到直线的距离公式点评：解本题的关键是由 A、B 两点的坐标求出 AB 中点的坐标，
19、利用两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长，再利用点到直线的距离公式求出这条边上的高，求出三角形的面积20.20.已知点，求A(1,2),B(1,4)（1）过点 A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点 A,B 且圆心在直线上的圆的方程2xy4 = 0【答案】 （1）；（2）x2+(y1)2= 10(x3)2+(y2)2= 20【解析】【分析】(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半ABA,B径，即可得到圆的方程(2) 解法 1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求得圆ABk = 3ABx3y + 3 = 0心坐标和圆的半径，得
20、到圆的标准方程；解法 2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方(xa)2+ (yb)2= r2a,b,r程【详解】(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小即AB中点(0,1)为圆心，11半径r|AB|.则圆的方程为：x2(y1)210.(2) 解法 1：AB的斜率为k3，则AB的垂直平分线的方程是y1x.即x3y3013由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)2x - y - 4 = 0r|AC|2.圆的方程是(x3)2(y2)220.(1 - 3)2+(- 2 - 2)2解法 2：待定系数法设圆的方程为：(xa)2(yb)2r2.则圆的方程为：
21、(x3)2(y2)220.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力21.21.在中， ABCA = 603b = 2cS ABC=3 32（ ）求 的值1b（ ）求的值2sinB【答案】 （1），；（2）.b = 2c = 3217【解析】试题分析：（1）由面积公式代入条件可得解；（2）由余弦定理，解得，再由正弦定理求解即可.a2= b2+ c2- 2bccosA试题解析：（ ）由和得，1A = 60S ABC=3 3212bcsin60 =3 32，bc = b
22、又，3b = 2c，b = 2c = 3（ ），2b = 2c = 3A = 60由余弦定理得，a2= b2+ c2- 2bccosA = 4 + 9 - 2 2 3 12= 712，a = 7由正弦定理可知，asinA=bsinB即，7sin60=2sinBsinB =2sin607=21722.22.已知曲线C:x2+ y22x4y + m = 0(1)若，过点的直线交曲线 于两点，且，求直线的方程；m = 1(2,3)CM,N|MN|= 2 3(2)若曲线 表示圆时，已知圆 与圆 交于两点，若弦所在的直线方程为，COCA,BABxy1 = 0为圆 的直径，且圆 过原点，求实数 的值.AB
23、OOm【答案】 （1）或(即) ；(2) y = 3y = 34x +323x + 4y6 = 02【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出圆心 C（1，2） ，2 为半径，由此利用点到直线的距离公式结合已知条件能求出 m=1（2）求出圆 的方程，两圆相减得公共弦方程，即得 m.试题解析：（1） 当时, 曲线 C 是以为圆心,2 为半径的圆,若直线的斜率不存在,显然不符，故可直线为:，即由题意知，圆心到直线的距离等于，即:解得或故的方程或(即) (2)由曲线 C 表示圆，即，所以圆心 C（1,2） ，半径，则必有设过圆心 且与垂直的直线为：，解得；，所以，圆心又因为圆 过原点，则；13所以圆 的方程为，整理得：；因为为两圆的公共弦，两圆方程相减得：；所以为直线的方程；又因为；所以