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1、5.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念第1页/共49页第2页/共49页第3页/共49页第4页/共49页第5页/共49页第6页/共49页5.2 Routh稳定判据稳定判据n nRouth判据：通过系统特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件。从而判别系统的稳定性，是一种时域判据。第7页/共49页一、系统稳定的必要条件一、系统稳定的必要条件第8页/共49页二、系统稳定的充要条件二、系统稳定的充要条件第9页/共49页n n对于二阶系统：充要条件对于二阶系统：充要条件a20,a10,a00a20,a10,a00n n三阶系统：充要条件三阶系统：充要条件 a30,a20,a1
2、0,a00,a30,a20,a10,a00,且且a1a2a0a3a1a2a0a3n n例：略例：略 p161p161n n例：设系统传函方框图如图示，已知例：设系统传函方框图如图示，已知=0.2=0.2，Wn=86.6Wn=86.6，试确定为何值，系统方能稳定。试确定为何值，系统方能稳定。n n例例3 3：题略：题略 p163p163第10页/共49页第11页/共49页第12页/共49页三、三、Routh判据特殊情况判据特殊情况n n(1)如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是Routh表的计算无法继续。为了克服这一
3、困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算Routh表的其余各元。若上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。第13页/共49页n n例:设系统特征方程为D(s)=s3-3s+2=0,试判别系统稳定性.n n解:列Routh表:S3 1 -3S2 0 2S1 -3-2/0S0 2(改变符号一次)(改变符号一次)Routh表中第一列符号不一致系统不稳定系统不稳定,有两个具有正实部的根有两个具有正实部的根.第14页/共49页n n (2)(2)如果在如果在RouthRouth表中任意一行的所有元素均为表中任意一行的所有元素均为
4、0 0，RouthRouth表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元构表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成RouthRouth表的下一行。这样，表的下一行。这样，RouthRouth表中的其余各元就可以计表中的其余各元就可以计算下去。算下去。n n出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根符号相反的实根(系统自由响应发散，系统不稳定系统自由响应发散，系统不稳定)，或存，或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对
5、共轭复根在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根(系统自系统自由响应发散，系统不稳定由响应发散，系统不稳定)，或存在一，或存在一 对共轭的纯虚根对共轭的纯虚根(即即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定界稳定)，或是以上几种根的组合等。这些特殊的使系统，或是以上几种根的组合等。这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。得到。第15页/共49页n n例例5:5:设系统特征方程为设系统特征方程为 D(s)=sD(s)=s5 5+2s+2s4 4+24
6、s+24s3 3+48s+48s2 2-25s-50=0-25s-50=0 试用试用RouthRouth判据判别系统的稳定性判据判别系统的稳定性.解解:列列RouthRouth表表:S S5 5 1 1 24 -2524 -25 S S4 4 2 48 -502 48 -50 S S3 3 0 0 00 0 0 由第二行各元构造辅助方程由第二行各元构造辅助方程:2s 2s4 4+48s+48s2 2-50=0 (-50=0 (注意注意s s的幂次的幂次)取取F(s)F(s)对对s s的导数的导数:8s:8s3 3+96s=0+96s=0 S3 S3中各元可用此方程中系数中各元可用此方程中系数8
7、 8和和9696代替代替,得得RouthRouth表如表如下下:第16页/共49页 S5 1 24 -25 S4 2 48 -50 S3 8 96 0 S2 24 -50 0 S1 112.7 0 S0 -50 (符号改变一次)该系统包含一个具有正实部的特征根,系统不稳定.解辅助方程 s=1,s=5j第17页/共49页5.3 Nyquist稳定判据稳定判据nNyquist判据也是根据系统稳定的充要条件导出的一种闭环系统稳定判别方法，它将系统特性从复数域引到频域来分析，利用图解法来判断闭环系统的稳定性，是一种几何判据。第18页/共49页nNyquist判据的主要特点：n（1）通过图解法来判别系统
8、稳定性；n（2）应用Nyquist判据可通过分析系统的开环频率特性来判断其闭环的稳定性；n（3）可判定系统的绝对稳定性和相对稳定性；n（4）能指出组成系统各环节对系统性能的 影响。第19页/共49页5.3 Nyquist稳定判据稳定判据n n一、预备知识一、预备知识n n1 1、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系；、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系；n n2 2、映射概念、映射概念n n3 3、幅角原理（映射定理）、幅角原理（映射定理）n n二、二、Nyquist稳定判据稳定判据n1、s平面封闭曲线的选择n2、幅角定理的推广n3、Nyquist稳定判据n n三、开环含有积
9、分环节时的三、开环含有积分环节时的Nyquist轨迹轨迹n n四、关于四、关于Nyquist判据的几点说明判据的几点说明n n五、五、Nyquist判据应用举例判据应用举例第20页/共49页一、预备知识n n1 1、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系、辅助函数及其与开环、闭环传函零点与极点的关系 如图所示闭环系统，其闭环传函为如图所示闭环系统，其闭环传函为如图所示闭环系统，其闭环传函为如图所示闭环系统，其闭环传函为G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)其闭环传函为其闭环传函为其闭环传函为其闭环传
10、函为令令F(s)=1+G(s)H(s)，则，则F(s)=0为闭环系统特征方程。为闭环系统特征方程。比较这三个式子：比较这三个式子：GB(s)F(s)GK(s)零点零点 极点极点 零点零点 极点极点 零点零点 极点极点第21页/共49页n n2、映射概念 若函数F(s)=Re(s)+jIm(s)，而s=+jw，则在复平面s上每个点都能在复平面F(s)上找到其相应的像点，这种对应关系叫映射；而平面F(s)上的像点，则称作映射轨迹。例：F(s)=s2，s=1+2jjwsF(s)ReIm第22页/共49页n n3 3、幅角原理（映射定理）、幅角原理（映射定理）第23页/共49页二、Nyquist稳定判
11、据n1、s平面封闭曲线的选择第24页/共49页n2、幅角定理的推广n n特征函数特征函数F(s)=1+G(s)H(s)F(s)=1+G(s)H(s)满足映射定理满足映射定理n n N=Z-PN=Z-Pn n稳定的系统特征函数在平面稳定的系统特征函数在平面ss的右半部应没有零的右半部应没有零点，即点，即z=0z=0n n N=-P N=-Pn n系统稳定性的充要条件进一步阐述为：若平面系统稳定性的充要条件进一步阐述为：若平面ss的虚轴不包含的虚轴不包含F(s)F(s)的极点，则当的极点，则当s s沿沿-jj-jj顺顺时针方向转一周时，其在平面时针方向转一周时，其在平面F(s)F(s)上的映射轨迹
12、上的映射轨迹L LF F必须逆时针包围原点必须逆时针包围原点P P次，系统才能稳定；否则，次，系统才能稳定；否则，不稳定。不稳定。第25页/共49页n3、Nyquist稳定判据n我们要将判据建立在开环的基础上，因此需要对（）的含义作一些变更：n（1）将F(s)的极点数P理解为开环传函G(s)H(s)的极点个数；n（2）将特征函数平面F(s)转换成开环传函平面G(s)H(s)第26页/共49页n n（3 3）平面）平面ss上，将上，将-j-jjj组成的曲线，换组成的曲线，换成仅由虚轴（即成仅由虚轴（即-jj-jj）代表的曲线。）代表的曲线。n n综上所述，综上所述，NyquistNyquist判
13、据表述如下：判据表述如下：第27页/共49页第28页/共49页例例1：第29页/共49页第30页/共49页三、开环含有积分环节时的Nyquist轨迹第31页/共49页第32页/共49页四、关于Nyquist判据的几点说明n n（1）Nyquist判据不是在s平面而是在GH平面上判别系统的稳定性；n n（2）Nyquist判据的应用很简单；n n（3）开环稳定，闭环可能不稳定；开环不稳定，闭环仍可能稳定；n n（4）开环Nyquist轨迹是实轴对称的。第33页/共49页五、Nyquist判据应用举例第34页/共49页第35页/共49页第36页/共49页第37页/共49页第38页/共49页5.4
14、Bode稳定判据稳定判据n nNyquist判据是利用开环频率特性的极坐标图来判定闭环系统的稳定性的。如果将开环极坐标图改画成开环对数坐标图，即Bode图，同样可以利用它来判定系统稳定性。这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据或Bode判据，它实质是Nyquist判据的引申。第39页/共49页5.4 Bode稳定判据稳定判据n n一、Nyquist图和Bode图的对应关系n n二、穿越的概念n n三、Bode判据第40页/共49页一、一、Nyquist图和图和Bode图的对应关系图的对应关系第41页/共49页二、穿越的概念二、穿越的概念第42页/共49页第43页/共49页三、三、Bode判据判据第44页/共49页5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性第45页/共49页第46页/共49页第47页/共49页The End！第48页/共49页感谢您的观看。感谢您的观看。第49页/共49页