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1、机械工程控制基础系统的稳定性你现在浏览的是第一页，共86页5.1系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念5.1.1 系统不稳定现象的发生系统不稳定现象的发生 如图如图如图如图5.1.15.1.1所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为P Ps s的压力油，的压力油，的压力油，的压力油，经伺服阀和两条软管以流量经伺服阀和两条软管以流量经伺服阀和两条软管以流量经伺服阀和两条软管以流量 进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移进入或流出油
2、缸，阀芯相对于阀体获得输入位移进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移 后，活塞输出后，活塞输出后，活塞输出后，活塞输出位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系B B反馈到阀反馈到阀反馈到阀反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环系统，它
3、保证活塞跟随阀芯的运动而运动。系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。你现在浏览的是第二页，共86页 阀芯受外力阀芯受外力阀芯受外力阀芯受外力右移右移右移右移，即输入位移，即输入位移，即输入位移，即输入位移 后，控制口后，控制口后，控制口后，控制口2 2、4 4打打打打开，控制口开，控制口开，控制口开，控制口3 3，1 1关闭，压力油进入左缸，右缸接关闭，压力油进入左缸，右缸接关闭，压力油进入左缸，右缸接关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯通回油，活
4、塞向右移动。当外力去掉后，阀芯通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯停止运动停止运动停止运动停止运动,活塞滞后于阀芯活塞滞后于阀芯活塞滞后于阀芯活塞滞后于阀芯,继续右移继续右移继续右移继续右移,直至控制口直至控制口直至控制口直至控制口2 2关闭，回到原来的平衡位置。关闭，回到原来的平衡位置。关闭，回到原来的平衡位置。关闭，回到原来的平衡位置。因而使控制口因而使控制口因而使控制口因而使控制口1 1，3 3打开，打开，打开，打开，2 2，4 4关闭，压力油反过来进入右缸，关闭，压力油反过来进入右缸，关闭，压力油反过来进入右缸，关闭，压力油反过来进入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向左缸接能回油，这
5、使活塞反向左缸接能回油，这使活塞反向左缸接能回油，这使活塞反向（向左向左向左向左）移动，并带动阀体）移动，并带动阀体）移动，并带动阀体）移动，并带动阀体左移，直至阀体与阀芯回复左移，直至阀体与阀芯回复左移，直至阀体与阀芯回复左移，直至阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。到原来的平衡位置。到原来的平衡位置。到原来的平衡位置。因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍不能停止，不能停止，不能停止，不能停止，继续右移继续右移继续右移继续右移。你现在浏览的是第三页，
6、共86页 但活塞因惯性但活塞因惯性但活塞因惯性但活塞因惯性继续左移继续左移继续左移继续左移，使油路又反向，使油路又反向，使油路又反向，使油路又反向这样，阀芯在原位不动的这样，阀芯在原位不动的这样，阀芯在原位不动的这样，阀芯在原位不动的情况下，情况下，情况下，情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡活塞与阀体相对阀芯反复振荡活塞与阀体相对阀芯反复振荡活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数（如。由于所选择的系统各参数（如。由于所选择的系统各参数（如。由于所选择的系统各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，质量、阻尼和弹性等）不同，
7、当系统是线性系统时，质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是这种振荡可能是这种振荡可能是这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图如图如图如图5.1.25.1.2（a a）、）、）、）、（b b）、（）、（）、（）、（c c）所示。当这种自由振荡是）所示。当这种自由振荡是）所示。当这种自由振荡是）所示。当这种自由振荡是增幅振荡增幅振荡增幅振荡增幅振荡时，就称系统是时，就称系统是时，就称系统是时
8、，就称系统是不稳定不稳定不稳定不稳定的。的。的。的。你现在浏览的是第四页，共86页系统的不稳定现象值得注意几点：系统的不稳定现象值得注意几点：系统的不稳定现象值得注意几点：系统的不稳定现象值得注意几点：首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。入无关。入无关。入无关。如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，如上例
9、，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。构与参数，而与输入无关（非线性系统
10、的稳定性是与输入有关的）。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。如原系统是稳定的，如原系统是稳定的，如原系统是稳定的，如原系统是稳定的，那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。定的，加入反馈后就形成为闭环系
11、统，更可能不稳定。定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。你现在浏览的是第五页，共86页 当输入当输入当输入当输入X Xi i(s s)撤消后，此闭环系统就以初始偏差撤消后，此闭环系统就以初始偏差撤消后，此闭环系统就以初始偏差撤消后，此闭环系统就以初始偏差E E(s s)作为进一步运动的作为进一步运动的作为进一步运动的作为进一步运动的信号，产生输出信号，产生输出信号，产生输出信号，产生输出 X Xo o (s s)，而反馈联系不断将输出，而反馈联系不断将输出，而反馈联系不断将输出，而反馈联系不断将输出 X Xo o (s s)反馈回来，从
12、输反馈回来，从输反馈回来，从输反馈回来，从输入入入入 X Xi i(s s)中不断减去（或加上）中不断减去（或加上）中不断减去（或加上）中不断减去（或加上）X Xo o (s s)。若反馈的结果，削弱了若反馈的结果，削弱了若反馈的结果，削弱了若反馈的结果，削弱了E E(s s)的作用（即负反馈），则使的作用（即负反馈），则使的作用（即负反馈），则使的作用（即负反馈），则使 X Xo o (s s)越来越来越来越来越小，系统最终趋于稳定；越小，系统最终趋于稳定；越小，系统最终趋于稳定；越小，系统最终趋于稳定；若反馈的结果，加强了若反馈的结果，加强了若反馈的结果，加强了若反馈的结果，加强了E E(
13、s s)的作用（即正反馈），则使的作用（即正反馈），则使的作用（即正反馈），则使的作用（即正反馈），则使 X Xo o(s s)越来越大，此越来越大，此越来越大，此越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视时，此闭环系统是否稳定，则视时，此闭环系统是否稳定，则视时，此闭环系统是否稳定，则视 X Xo o(s s)是收敛还是发散而定。是收敛还是发散而定。是收敛还是发散而定。是收敛还是发散而定。你现在浏览的是第六页，共86页 第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。即讨论即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时输入为
14、零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即的稳定性，即 讨论系讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；统自由振荡是收敛的还是发散的；或者：讨论或者：讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。你现在浏览的是第七页，共86页5.1.2 稳定的定义和条件稳定的定义和条件 若系统在初始状态下（
15、不论是无输入时的初态，还是输入引起的初若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的稳定的。你现在浏览的是第八页，共86页你现在浏览的是第九页，共86页你现
16、在浏览的是第十页，共86页你现在浏览的是第十一页，共86页你现在浏览的是第十二页，共86页你现在浏览的是第十三页，共86页5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否均具有负实部。否均具有负实部。在实际工程系统中，根的求解就较困难，通过讨论在实际工程系统中，根的求解就较困难，通过讨论特征根的分布特征根的分布，看其，看其是否全部具有负实部，以此来是否全部具有负实部，以此来判别系统的稳定性，判别系统的稳定性，由此形成了由此形成了一系列一系列稳定性判据。稳定性判据。其中最重要的
17、一个判据就是其中最重要的一个判据就是1884年由年由E.J.Routh提出的提出的Routh判据判据。Routh判据是基于判据是基于方程根和系数的关系建立方程根和系数的关系建立的，它是判别系统稳定性的的，它是判别系统稳定性的充要充要条件条件-代数判据代数判据。你现在浏览的是第十四页，共86页5.2.1 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统特征方程为：设系统特征方程为：将式（将式（5.2.1）中各项同除以）中各项同除以an并分解因式，得并分解因式，得式中，式中，为系统的特征根，再将式（为系统的特征根，再将式（5.2.2）右边展开，得右边展开，得:（5.2.1）（5.2.2）（5.2.3）你
18、现在浏览的是第十五页，共86页比较式（比较式（5.2.2）与式（）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：）可看出根与系数有如下的关系：（5.2.4）你现在浏览的是第十六页，共86页 按习惯，一般取按习惯，一般取 为正值，因此，为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定的一个上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即必要条件，即当然，由式（当然，由式（5.2.4）还可看出，仅仅有各项系数）还可看出，仅仅有各项系数 ,还不一定能判定还不一定能判定 均具有负实部，也就是说，均具有负实部，也就是说，系统要稳定，必须满足式（系统要稳定，必须满足式（5.2.5）；而满足）；而满足(5.2.5）
19、，），系统可能稳定，也可能不稳定。系统可能稳定，也可能不稳定。从式（从式（5.2.4）可知，）可知，要使全部特征根要使全部特征根 均具有负实部，均具有负实部，就必须满足就必须满足以下两个条件以下两个条件，即系统稳定的必要条件，即系统稳定的必要条件:(1)特征方程的各项系数特征方程的各项系数 都不等于零，都不等于零，因为若有一系数因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（5.2.4）中各式。）中各式。(2)特征方程的各项系数特征方程的各项系数 的符号都相同，的符号都相同，这样才能满足式这样才能满
20、足式(5.2.4)中各式。中各式。（5.2.5）你现在浏览的是第十七页，共86页5.2.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件1.Routh表表（1）将系统的特征方程式（）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：）的系数按下列形式排成两行：（2）列）列Routh计算表：如以六阶特征方程为例，设：计算表：如以六阶特征方程为例，设：则有：则有：你现在浏览的是第十八页，共86页你现在浏览的是第十九页，共86页 高于高于6 6阶时阶时(一般不会一般不会)，见课本上通式，见课本上通式。（3 3）若上表）若上表第一列中各元的符号都相同第一列中各元的符号都相同，即第一列各元间依次序数下，
21、即第一列各元间依次序数下来，来，符号的改变次数为零，则具有正实部特征根的个数等于零，系统是稳定符号的改变次数为零，则具有正实部特征根的个数等于零，系统是稳定的；若第一列各元符号不同，则系统是不稳定的的；若第一列各元符号不同，则系统是不稳定的，其各元间，其各元间符号依序改变的次符号依序改变的次数数等于具有正实部特征根的等于具有正实部特征根的个数个数。2.Routh稳定判据稳定判据 根据根据Routh所表述条件，所表述条件，“Routh判据判据”即表示为：即表示为：“系统稳定充要条系统稳定充要条件是，件是，Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。”
22、你现在浏览的是第二十页，共86页【例1】：系统的特征方程第一列各元符号改变次数为2，因此：（1）系统不稳定；（2）系统有两个具有正实部的特征根。（改变符号一次）（改变符号一次）（改变符号一次）（改变符号一次）你现在浏览的是第二十一页，共86页 低阶系统的劳斯稳定判据低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统二阶系统劳斯阵列为：劳斯阵列为：s s2 2a a0 0a a2 2s s1 1a a1 10 0s s0 0a a2 2a a0 000，a a1 100，a a2 200从而，二阶系统稳定的充要条件为：从而，二阶系统稳定的充要条件为：你现在浏览的是第二十二页，共86页q 三阶系统三阶系统劳斯阵
23、列为：劳斯阵列为：s s3 3a a0 0a a2 2s s2 2a a1 1a a3 3s s1 1 0 0s s0 0a a3 3从而，三阶系统稳定的充要条件为：从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：特征方程的各项系数大于零，且：a a1 1a a2 2-a a0 0a a3 30 0 你现在浏览的是第二十三页，共86页q 例题例题例例1 1：系统方框图如下，试确定开环增益：系统方框图如下，试确定开环增益K K为为何值时，系统稳定。何值时，系统稳定。X Xi i(s s)X Xo o(s s)解：系统闭环传递函数为：解：系统闭环传递函数为：你现在浏览的是第二十四页，
24、共86页由三阶系统的稳定条件，有：由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：此系统为三阶系统，特征方程为：即：当即：当00K K300,亦即K0 （2）故能使系统稳定的参数K的取值范围为：0K0，表示，表示LF按顺时针方向包围原点按顺时针方向包围原点N次；次；N0，表示，表示LF按逆时针方向包围原点按逆时针方向包围原点N次；次；N=0，表示，表示LF不包围原点。不包围原点。你现在浏览的是第四十四页，共86页 应用幅角原理不能单独确定出包围应用幅角原理不能单独确定出包围Ls内的函数内的函数F(s)的零点数的零点数Z或其极点或其极点数数P，而仅能确定他们之间的差值，而仅能确定他们之间
25、的差值(Z-P)。Gk(s)的极点就等于的极点就等于F(s)函数的极点，函数的极点，因此因此，若已知系统的，若已知系统的Gk(s)，就可直，就可直接求得接求得P。若又能在若又能在F(s)平面上确定出平面上确定出LF曲线包围原点的圈数曲线包围原点的圈数N，则可由则可由Z=N+P计算出在计算出在s平面上包围于封闭曲线平面上包围于封闭曲线LS中的中的F(s)的零点数的零点数Z，这这些零点也就是些零点也就是GB(s)相应的极点。相应的极点。曲线曲线LS LF的形状对于的形状对于N，Z，P的数值是没有关系的，即的数值是没有关系的，即LF绕原点的圈数绕原点的圈数N仅取决于仅取决于LS所包围的所包围的F(s
26、)的零点和极点的数目的零点和极点的数目，而与，而与LS的形状无关。的形状无关。LF,LS也称为也称为Nyquist轨迹。轨迹。你现在浏览的是第四十五页，共86页5.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据 定常线性系统稳定的充要条件是，其定常线性系统稳定的充要条件是，其闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部的全部根具有负实部，即在，即在s平面的右半平面平面的右半平面系统没系统没有极点有极点，亦即，亦即F(s)在在s平面的右半平面平面的右半平面没有零点没有零点（Z=0）。）。你现在浏览的是第四十六页，共86页你现在浏览的是第四十七页，共86页1、s平面上的平
27、面上的Nyquist轨迹轨迹 s平面上的平面上的Nyquist轨迹如图轨迹如图5.3.3（a）所示。）所示。设在设在s平面上有封闭曲线平面上有封闭曲线LS，其中其中(1)，(2)两段是由两段是由 =-到到+的整个虚轴组成的，的整个虚轴组成的，(3)段是由半径段是由半径R趋于无穷大的圆弧组成的趋于无穷大的圆弧组成的。因此，因此，(1)，(2)，(3)段就封闭地包围了整个段就封闭地包围了整个s平面的右半平面平面的右半平面，由于在应，由于在应用幅角原理时，用幅角原理时，LS不能通过不能通过F(s)函数的任何极点。所以函数的任何极点。所以当函数当函数F(s)有若干个有若干个极点处于极点处于s平面的虚轴
28、或原点上时，平面的虚轴或原点上时，LS应被认为是以这些点为圆心，以无应被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按反时针方向从这些点的右侧绕过穷小为半径的圆弧按反时针方向从这些点的右侧绕过，如小段圆弧，如小段圆弧(4)与与(4)所示。由于所示。由于(4)，(4)紧贴极点绕过，因此，紧贴极点绕过，因此，可以认为可以认为LS曲线包围了整个曲线包围了整个s平面的右半平面平面的右半平面。这一。这一LS封闭曲线即为封闭曲线即为s平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹。当当 由由-变到变到+时，轨迹的方向为顺时针方向。时，轨迹的方向为顺时针方向。你现在浏览的是第四十八页，共86页2、F平面上的平面上的N
29、yquist轨迹轨迹 F平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹（F平面即平面即F(s)平面的简定）平面的简定）按按F(s)函数作出函数作出。若其图形如图若其图形如图5.3.3(b)所示，则其曲线不包围原点，即所示，则其曲线不包围原点，即N=0，说明相应的，说明相应的Ls曲线所包围的曲线所包围的F(s)函数的极点数与零点数相等，故其差值为零（函数的极点数与零点数相等，故其差值为零（N=Z-P=0）。）。注意：这里所说的注意：这里所说的Z，P是指包围于图是指包围于图5.3.3(a)上上Ls曲线中的曲线中的F(s)位于位于s平面的右半平面的零、极点数，不是指平面的右半平面的零、极点数，不是指F(s)
30、函数所有的零点数和极点数函数所有的零点数和极点数。由前述可知，系统稳定的充要条件是由前述可知，系统稳定的充要条件是Z=0。判别判别Z=0，不是在，不是在s平面上进行，平面上进行，而是转化到而是转化到F平面上进行。平面上进行。你现在浏览的是第四十九页，共86页 由由F平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹LF可知，若它包围原点可知，若它包围原点N圈，则可知圈，则可知N。另外，。另外，由已知的由已知的F(s)函数，可以先求得函数，可以先求得F(s)位于位于s平面的右半平面的极点数平面的右半平面的极点数P，从而可求得从而可求得Z=N+P，为保证系统稳定，应使为保证系统稳定，应使Z=0，即，即 N=Z
31、-P=-P 也就是，也就是，当当F平面的平面的Nyquist轨迹轨迹LF逆时针包围原点的圈数逆时针包围原点的圈数N等于等于F(s)函函数位于数位于s平面的右半平面的极点数平面的右半平面的极点数P时，系统稳定。时，系统稳定。你现在浏览的是第五十页，共86页3、GH平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹GH平面（即平面（即G(s)H(s)平面的简写）上的情况与此相似。因平面的简写）上的情况与此相似。因F(s)=1+G(s)H(s)，即，即G(s)H(s)=F(s)-1GH平面只不过是将平面只不过是将F平面的虚轴右移了平面的虚轴右移了1个单位之后所构成的新复平面。个单位之后所构成的新复平面。GH平面
32、上的（平面上的（-1,j0）点就是）点就是F平面上的原点平面上的原点。所以，在。所以，在GH平面上，平面上，包围点（包围点（-1,j0）的圈数）的圈数N，就等于在，就等于在F平在上平在上LF包围原点的圈数包围原点的圈数N，其关，其关系如图系如图5.3.3(b)，(c)所示。所示。GH平面的平面的Nyquist轨迹，如图轨迹，如图5.3.3(s)所示，它所示，它的相应的的相应的s平面的平面的Nyquist轨迹如图轨迹如图5.3.3(a)所示。所示。你现在浏览的是第五十一页，共86页由于任何物理上可实现的开环系统，其的分母的阶次由于任何物理上可实现的开环系统，其的分母的阶次n必不小于分于的阶系，必
33、不小于分于的阶系，故有：故有：和和 当然，当然，s或或s0，均指其模而言。所以，均指其模而言。所以，s平面上半径为平面上半径为的半圆映射到的半圆映射到GH平面上为原点或实轴上的一点；平面上为原点或实轴上的一点；s平面上的原点映射到平面上的原点映射到GH平面上为半平面上为半径径的半圆弧（当分母含有积分环节时）。的半圆弧（当分母含有积分环节时）。你现在浏览的是第五十二页，共86页因为因为LS表示：表示：s平面上平面上 中实部中实部 为零，为零，由由-变到变到+时时s的轨的轨迹（即虚轴），再加上半径为迹（即虚轴），再加上半径为的半圆弧；而的半圆弧；而s平面上半径为平面上半径为 的半圆弧映的半圆弧映射
34、到射到GH平面上只是一个点，它对于平面上只是一个点，它对于G(s)H(s)包围某点的情况无影响，包围某点的情况无影响，所以所以G(s)H(s)的绕行情况只需考虑的绕行情况只需考虑s平面的平面的j 轴映射到轴映射到GH平面上的开环平面上的开环Nyquist轨迹轨迹G(s)H(s)即可即可。GH平面上系统稳定的充要条件可表述为：平面上系统稳定的充要条件可表述为：若当若当GH平面上平面上Gk(s)，即，即G(s)H(s)的的Nyquist轨迹逆时针包围点（轨迹逆时针包围点（-1,j0）的圈数的圈数N，等于，等于Gk(s)在在s平面的右半平面的极点数平面的右半平面的极点数P时，则闭环系统稳定，时，则闭
35、环系统稳定，因为此时因为此时N=-P，由，由N=Z-P知知Z=0。这一充要条件也可表述为：这一充要条件也可表述为：当当 由由-到到+时，若时，若GH平面上的开环频率平面上的开环频率特性特性Gk(s)即即G(j）顺时针方向包围点（顺时针方向包围点（-1,j0）P圈（圈（P为为Gk(s)在在s平面的平面的右半平面的极点数右半平面的极点数P），则闭环系统稳定。），则闭环系统稳定。这一表述就是这一表述就是Nyquist稳定判据。稳定判据。你现在浏览的是第五十三页，共86页 在应用在应用Nyquist判据时，首先要知道系统的判据时，首先要知道系统的GK(s)在在s平面上的右半平面的极平面上的右半平面的极
36、点数点数P，然后分下述两种情况来判别：，然后分下述两种情况来判别：（1）当当P=0和和 从从-变到变到+时，若时，若GH平面上的平面上的G(j)H(j)不包围点（不包围点（-1,j0），即），即N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。（2）当当P0和和 从从-变到变到+时，若时，若GH平面上的逆时针包围点平面上的逆时针包围点(-1,j0)P圈，圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（则闭环系统稳定；若逆时针包围点（-1,j0）的圈数不到）的圈数不到P圈（表示圈（表示ZP），则闭环系统不稳定。），则闭环系统不稳定。你现在浏览的是第五十四页，共86页5
37、.3.3 开环含有积分环节时的开环含有积分环节时的Nyquist 判据判据 当系统中串联有积分环节时，开环传递函数当系统中串联有积分环节时，开环传递函数GK(s)有位于平面坐标原点处的极有位于平面坐标原点处的极点。应用点。应用Nyquist判据时，由于平面上的判据时，由于平面上的Nyquist轨迹轨迹LS不能经过不能经过GK(s)的极点，故应以半径为无穷小的圆弧的极点，故应以半径为无穷小的圆弧(r0)逆时针绕过开环极点所在的逆时针绕过开环极点所在的原点，如图原点，如图5.3.3(a)所示。这时开环传递函数在所示。这时开环传递函数在s平面的右半平面上的极点平面的右半平面上的极点数已不再包含原点处
38、的极点。数已不再包含原点处的极点。你现在浏览的是第五十五页，共86页 设开环传递函数为：设开环传递函数为：式中，式中，v为系统中串联积分环节的个数。当为系统中串联积分环节的个数。当s沿无穷小半圆逆时针方向移沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有：动时，有：映射到映射到GH平面上的平面上的Nyquist轨迹为：轨迹为：因此，当因此，当s沿小半圆从沿小半圆从=0-变化到变化到=0+时，时，角从角从 经经0变化到变化到 ，这时这时GH平面上的平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从 到到 。你现在浏览的是第五十六页，共86页5.3.4 关于关于Nyquist
39、判据的几点说明判据的几点说明 1）Nyquist判据并不是在判据并不是在s平面而是平面而是GH平面判别系统的稳定性。平面判别系统的稳定性。通过幅角原理将通过幅角原理将s平面的平面的Nyquist轨迹（虚轴）映射为轨迹（虚轴）映射为GH平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹G(j)H(j)，然后根据，然后根据G(j)H(j)轨迹包围点（轨迹包围点（-1,j0）的情况）的情况来判别闭环系统的稳定性，而来判别闭环系统的稳定性，而G(j)H(j)正是系统的正是系统的Gk(j)。2）Nyquist判据的证明虽较复杂，但应用简单判据的证明虽较复杂，但应用简单.由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，由于一
40、般系统的开环系统多为最小相位系统，P=0，故只要看开环，故只要看开环Nyquist轨迹是否包围点（轨迹是否包围点（-1,j0），若不包围，系统就稳定。），若不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统，当开环系统为非最小相位系统，P0先求出其先求出其P，再看开环，再看开环Nyquist轨迹包轨迹包围点（围点（-1,j0）的圈数，并注意）的圈数，并注意 由小到大时轨迹的方向，若是逆时针包围点（由小到大时轨迹的方向，若是逆时针包围点（-1,j0）P圈，则系统稳定。圈，则系统稳定。你现在浏览的是第五十七页，共86页 3）在）在P=0，即，即Gk(j)在在s平面的右半平面无极点时，按习惯有时称为开平
41、面的右半平面无极点时，按习惯有时称为开环稳定；环稳定；在在P0，即开环传递函数在，即开环传递函数在s平面的右半平面有极点时，按习惯有时称平面的右半平面有极点时，按习惯有时称为开环不稳定，有的书上介绍的就是首先判明开环是否稳定，亦即先确定为开环不稳定，有的书上介绍的就是首先判明开环是否稳定，亦即先确定P的数值，然后再用的数值，然后再用Nyquist判据来判别闭环系统的稳定性。判据来判别闭环系统的稳定性。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。你现在浏览的是第五十八页，共86页 4）开环开环Nyquist轨迹对实轴是对称的轨迹
42、对实轴是对称的,因为当因为当+变为变为-时时,G(-j)H(-j)与与G(j)H(j)的模相同，而相位异号，即：的模相同，而相位异号，即：所以，所以，由由-到到0与与 由由0到到+的开环的开环Nyquist轨迹对实轴对称。因而轨迹对实轴对称。因而一般只需绘出一般只需绘出 由由0到到+的曲线即可判别稳定性。的曲线即可判别稳定性。Nyquist轨迹在轨迹在 由由0到到+时，包围点（时，包围点（-1,j0）一圈，故已可知）一圈，故已可知 由由-到到+时共包围点（时共包围点（-1,j0）两圈，所以系统不稳定。两圈，所以系统不稳定。你现在浏览的是第五十九页，共86页 系统传递函数的分母反映了系统本身的固
43、有特性，现在闭环系统的传递系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性，现在闭环系统的传递函数的分母是函数的分母是1+G(s)H(s)，即，即F(s)，而，而F(s)包围包围F平面上原点的情况与平面上原点的情况与G(s)H(s)包围包围GH平面上点平面上点(-1，j0)的情况完全一样，因此，的情况完全一样，因此，G(s)H(s)这这一开环传递函数包围一开环传递函数包围GH平面上点平面上点(-1，j0)的情况就反映了闭环系统的固有的情况就反映了闭环系统的固有特性。特性。因此，用它来判别系统的稳定性，即由因此，用它来判别系统的稳定性，即由Nyquist判据用开环传递函数判据用开环传递函数判别闭环系统
44、的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。判别闭环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。你现在浏览的是第六十页，共86页5.3.5 Nyquist判据应用举例判据应用举例你现在浏览的是第六十一页，共86页5.3.6 应用应用Nyquist 判据分析延时系统的稳定性判据分析延时系统的稳定性 延时环节是线性环节，延时环节是线性环节，但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。你现在浏览的是第六十二页，共86页1.1.延时环节串联在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性延时环节串联
45、在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性 图图5.3.165.3.16所示为一具有延时环节的系统方框图，其中所示为一具有延时环节的系统方框图，其中G G1 1(s s)是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传递函数为：的开环传递函数为：其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为：其开环频率特性，幅频特性和相频特性分别为：由此可见，由此可见，延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化仅使相频特性发生变化。你现在浏览的是第六十三页，共86页你现在浏览的是第六十四页，共86页例如，在图例如，在图5.3
46、.165.3.16所示系统中，若所示系统中，若则开环传递函数和开环频率特性分别为：则开环传递函数和开环频率特性分别为：其开环其开环NyquistNyquist图如图图如图5.3.175.3.17所示。所示。，你现在浏览的是第六十五页，共86页你现在浏览的是第六十六页，共86页 由图由图5.3.175.3.17可见，当可见，当 ，即无延时环节时，即无延时环节时，NyquistNyquist轨迹的相位不超过轨迹的相位不超过180180度，只到第三度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着 值增值增加，相位也增加，加，相位也增加，NyquistNyquist轨迹
47、向左上方偏转，轨迹向左上方偏转，进入第二和第一象限，当进入第二和第一象限，当 增加到使增加到使NyquistNyquist轨轨迹包围点（迹包围点（1,j01,j0）时，闭环系统就不稳定。）时，闭环系统就不稳定。所以，由开环所以，由开环NyquistNyquist图上可以明显看出，串联延图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，时环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K K就不就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间的稳定性，还应尽可能地减小延时时间 。
48、你现在浏览的是第六十七页，共86页 Nyquist判据判据:利用开环频率特性的极坐标图（利用开环频率特性的极坐标图（Nyquist图）图）来判别闭环系统稳定性。来判别闭环系统稳定性。利用开环对数坐标图，即利用开环对数坐标图，即Bode图，来判别系统的稳定性。图，来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或或Bode判据。判据。它实质上是它实质上是Nyquist判据的引申。判据的引申。5.4 Bode稳定判据稳定判据你现在浏览的是第六十八页，共86页5.4.1 Nyquist图与图与Bode图的对应关系图的对应关系 开环开环B
49、odeBode图与开环极坐标图对应关系图与开环极坐标图对应关系：（1 1）极坐标图上的单位圆相当于）极坐标图上的单位圆相当于BodeBode图上的图上的0 0分贝线，即分贝线，即对数幅频特性图的横轴。对数幅频特性图的横轴。（2 2）极坐标图上的负实轴相当于）极坐标图上的负实轴相当于BodeBode图上的图上的180180线，线，即对数相频特性图的横轴。相位即对数相频特性图的横轴。相位GH GH 均为均为180180。由上对应关系，极坐标图也可画成由上对应关系，极坐标图也可画成BodeBode图，如图图，如图5.4.15.4.1中中(a)(a)可画成可画成(c)(c)，(b)(b)可画成可画成(
50、d)(d)。你现在浏览的是第六十九页，共86页你现在浏览的是第七十页，共86页 为为NyquistNyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时的频率称为的频率称为剪切频率剪切频率或或幅值穿越频率、幅值交界频率幅值穿越频率、幅值交界频率；为为NyquistNyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率相位穿越频率或或相位交界相位交界频率频率。由图由图