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1、7.3 抽样分布及其上分位数抽样分布及其上分位数 为了进一步研究未知参数的统计为了进一步研究未知参数的统计推断问题，本节介绍几个重要的抽样推断问题，本节介绍几个重要的抽样分布及其定理分布及其定理.一一 抽样分布抽样分布 统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为“抽样分布抽样分布”.研究统计量的性质和评价一个统计推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，取决于其抽样分布的性质的优良性，取决于其抽样分布的性质.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布分别表示样本均值和样本方差分别表示样本均值和样本方差.时，也称时，也称 是来自总体是来自总体的样本，仍用的样
2、本，仍用 如果如果 是来自总体是来自总体X的样本，当的样本，当统计上的三大分布统计上的三大分布记为记为定义定义3.1:3.1:如果随机变量如果随机变量 有概率密度有概率密度 分布分布(卡方分布卡方分布)1、称称 服从自由度为服从自由度为n的的 分布分布.来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分分布的密度函数图形自由度依次分布的密度函数图形自由度依次为为n=1,3,5,7=1,3,5,7n=1n=3n=5n=7分布的性质分布的性质定理定理3.1:3.1:如果如果 是来自总体是来自总体N(0,1)的样本的样本,则平方和则平方和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则
3、有定理定理3.2:3.2:如果如果 是来自总体是来自总体N(0,1)的样本，的样本，推论推论3.3:3.3:如果如果 ，则，则这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.则有则有 定理定理 3.4设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(student)分布分布.记做记做Tt(n).定义定义3.2:3.2:如果随机变量如果随机变量T具有概率密度具有概率密度称称T服从服从自由度自由度为为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布形状形状:中间高中间高,两边低两边低,左右对称左右对称
4、.当当n充分大时充分大时，t 分布分布近似近似N (0,1)分布分布.但对于较小的但对于较小的n，t分布分布与与N(0,1)分布相差很大分布相差很大.t分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n=1n=20 t(2)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比 t分布的性质分布的性质 定理定理3.5:3.5:如果如果ZN(0,1),且且Z与与 相互独立相互独立，则有，则有 定理定理 3.6 3.6 如果如果X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均
5、值和样本方差,则有则有且它们且它们独立独立.则由则由定理定理3.53.5得到得到证明：证明：由定理由定理3.4 具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变分布的随机变量量T的数学期望和方差为的数学期望和方差为:E(T)=0;Var(T)=n/(n-2),对对n 2 t分布的性质分布的性质3、F(n,m)分布分布定义定义3.3 如果随机变量如果随机变量F有概率密度有概率密度称称F服从自由度为服从自由度为(n,m)的的F分布分布，记做记做 FF(n,m).其中其中n称为第一自由度称为第一自由度，m称为第二自由度称为第二自由度.图形：图形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度图形，的密度图形，m=1,3,7,10F分布的性质分布的性质例例1 设设X 与与Y 相互独立相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与与 Y1,Y2,Y16 分别是取自分别是取自 X 与与 Y 的的简单随机样本简单随机样本,求统计量求统计量所服从的分布所服从的分布解解从而从而例例2 2 设总体设总体的样本的样本,为总体为总体 X试确定常数试确定常数c 使使cY 服从服从分布分布.解解故故因此因此二二 抽样分布的上分位数抽样分布的上分位数由标准正态分布和由标准正态分布和t分布的密度函数图形的分布的密度函数图形的对称性及分位数的定义有：对称性及分位数的定义有：