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1、 下面我们从几个试验入手，揭示随机下面我们从几个试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：事件一个极其重要的特征：频率稳定性频率稳定性 在充分多次试验中，事件的频率总在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，越多，一般来说一般来说摆动越小摆动越小.这个性质叫这个性质叫做频率的稳定性做频率的稳定性.频率稳定性频率稳定性请看下面的试验请看下面的试验掷硬币试验掷硬币试验掷骰子试验掷骰子试验高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 再请看有人利用高尔顿钉板试验再请看有人利用高尔顿钉板试验来赚钱的街头活动：来赚钱的街头活动：街头赌博街头赌博 频率在一定程
2、度上反映了事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小可能性大小.尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的相当大，频率与概率是会非常接近的.因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的,频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.频率频率概率概率 考虑在相同条件下进行的考虑在相同条件下进行的S 轮试验轮试验.第二轮试验试验次数试验次数n2事件事件A出现出现m2次次第S轮试验试验次数试验次数ns事件事件A出现出现ms 次次试验次数试验次数n1事件事件
3、A出现出现m1次次第一轮试验事件事件A在各轮试验中频率形成一个数列在各轮试验中频率形成一个数列我们来说明频率稳定性的含义我们来说明频率稳定性的含义.指的是：当各轮试验次数指的是：当各轮试验次数n1,n2,ns 充分大时，在各轮试验中事件充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微值相差甚微.频率频率 稳定在概率稳定在概率 p 附近附近 频率稳定性频率稳定性 这种稳定性为用统计方法求概率的数这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路值开拓了道路.出时，人们常取实验次数很大时事件的频出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计
4、值，率作为概率的估计值，这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为频率方法频率方法.在实际中，当概率不易求在实际中，当概率不易求统统计计概概率率称此概率为称此概率为例例如如，若若我我们们希希望望知知道道某某射射手手中中靶靶的的概概率率，应应对对这这个个射射手手在在同同样样条条件件下下大大量量射击情况进行观察记录射击情况进行观察记录.若他射击若他射击n发，中靶发，中靶m发，当发，当n很大时，可很大时，可用用频率频率m/n作为他中作为他中靶概率的估计靶概率的估计.记左图所示正方形的面积记左图所示正方形的面积为为 ，其中的四分之一圆围成，其中的四分之一圆围成的区域为的区域为A.现向区域现向区域 随
5、机投点随机投点n次，由次，由几何方法可计算得几何方法可计算得利用频率和概率的关系，当利用频率和概率的关系，当 n充分大时，充分大时，A 于是于是蒲丰投针试验蒲丰投针试验 法国科学家蒲丰于法国科学家蒲丰于1777年发现了随机年发现了随机投针的概率与圆周率投针的概率与圆周率之间的关系，提供了之间的关系，提供了早期学者们用随机试验求早期学者们用随机试验求 值的范例值的范例.请看演示请看演示关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：关于频率和概率的关系，需要强调以下事实：对于较大的对于较大的n，n次试验中事件次试验中事件A的频的频率，一般与事件率，一般与事件A的概率的概率P相差不大，试验相差不大，试验次
6、数次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见就越少见.下面请同学们来回答几个问题：下面请同学们来回答几个问题：1、假假定定一一个个数数学学模模型型指指出出某某事事件件出出现现的的概概率率是是1/2,如如果果你你做做了了100次次试试验验，这这个个事事件件发发生生了了20次次，你你会会有有什什么么想想法法?如如果果你你有有20位位朋朋友友，他他们们每每人人都都做做100次次试试验验，在在这这2000次次试试验验中中，这这个个事事件件只只发发生了生了300次，你又会有什么想法次，你又会有什么想法?2、在在掷掷一一枚枚均均匀匀硬硬币币的的试试验验中中,我我们们能能
7、否否肯肯定定地地说说,当当n时时,正正面面出出现现的的频频率率以以1/2为为极极限限?我我们们能能否否说说,“正正面面出出现现的的频频率率以以1/2为为极极限限”这这一一事事件件发发生的概率很大生的概率很大?3、医医生生在在检检查查完完病病人人的的时时候候摇摇摇摇头头“你你的的病病很很重重，在在十十个个得得这这种种病病的的人人中中只只有有一一个个能能救救活活.”当当病病人人被被这这个个消消息息吓吓得得够够呛呛时时，医医生生继继续续说说“但但你你是是幸幸运运的的.因因为为你你找找到到了了我我，我我已已经经看看过过九九个个病病人人了，他们都死于此病了，他们都死于此病.”医生的说法对吗？医生的说法对
8、吗？4、一一个个职职业业赌赌徒徒想想要要一一对对灌灌过过铅铅的的骰骰子子,他他雇雇佣佣一一位位技技工工为为他他制制造造一一对对骰骰子子,要要求求使使得得掷掷得得两两个个一一点点的的概概率率恰恰好好是是六六十十四四分分之之一一而而不不是是三三十十六六分分之之一一,他他被被告告知知每每一一种种可可能能的的计计算算都都已已做做过过,并并且且所所需需要要的的概概率率毫毫无无疑疑问问是是六六十十四四分分之之一一.于于是是他他给给技技工工付付了了酬酬金金.然然而而骰骰子子并并没没有有掷掷过过,你你会会相相信信技技工工的的话话吗吗?概率是频率稳定性的依据，是随机事概率是频率稳定性的依据，是随机事件规律的一个
9、体现件规律的一个体现.这一讲，我们介绍了这一讲，我们介绍了频率和概率的关频率和概率的关系系.给出了给出了频率稳定性频率稳定性的含义以及确定概的含义以及确定概率的频率方法率的频率方法.实际中，当概率不易求出时，实际中，当概率不易求出时，人们常人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率似概率.它的理论依据我们将在第五章介绍它的理论依据我们将在第五章介绍.接下来的两讲中，将向大家介绍计接下来的两讲中，将向大家介绍计算概率的几个重要公式算概率的几个重要公式.为此，需要为此，需要引进事件的一些关系和运算引进事件的一些关系和运算.这部分内容留给同学们自学这部分内容留给同学们自学.休息片刻继续休息片刻继续