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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第17讲讲本文件可从网址http:/上下载1协方差的计算在已知两个随机变量X和Y的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差cov(X,Y)呢,cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)=EXYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)2cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)即相乘的均值减去均值的相乘.其中E(X)和E(Y)是通过边缘分布计算的,因此关键是如何计算E(XY).3对于离散型随机变量,假设X,Y的概率函数为P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2,.),则
2、4对于连续型随机变量,假设X,Y的联合概率密度为f(x,y),则5例 假设X,Y的联合概率函数如下表所示X Y01/31101/121/301/60025/120067而X与Y的边缘分布及数学期望为:X102P5/121/65/12Y01/31P7/121/121/389在研究任何连续型随机变量的概率密度函数f(x)的时候,通常可将其表示为f(x)=kg(x)的形式,其中g(x)表示了f(x)的形状,而系数k的作用则是为了保证f(x)的性质1011因此我们在研究不同类型的连续型随机变量时,焦点放在它的形状函数g(x)上xg(x)面积为sxf(x)=g(x)/s面积为112例如,假如我们知道了一
3、随机变量的概率密度的形状函数为g(x)=elx,(x0,l0),我们就已经知道它是服从指数分布了,则f(x)=kg(x),而k不难求得为13G-分布所谓G-分布的概率密度函数的形状是这样的,它在x0时取0值,而在x0时为x的某次方乘上指数函数elx,即它的形状函数g(x)=xaelx,14g(x)=xaelx,但通常令其中的参数a=r1,即r=a+1,即将g(x)写成g(x)=xr1elx的形式,这虽然只是一个人为的规定,但是有一个好处就是,后面我们将证明,G-分布的数学期望为l1r,方差为l2r,且两个l参数相同的都服从G-分布的相互独立的随机变量的和也服从G-分布,和的分布中的r参数正好是
4、两个随机变量的r参数之和.15因此,如随机变量X服从G-分布,则它的概率密度函数为f(x)=kxr1elx,(x0)的形式,下面求常数因子k.1617其中18定义 如果连续型随机变量X具有概率密度19G-函数的一个重要性质是G(r+1)=rG(r),2021G-分布的数学期望2223G-分布的方差2425当r=1时,这是指数分布,26当r为正整数时,27当r=n/2(n是正整数),l=1/2时,这是具有n个自由度的2-分布(简记作2(n),它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一.如果Xc2(n),则E(X)=n,D(X)=2n.28定理 如果XG(l,r1),YG(l,r2)则X+YG
5、(l,r1+r2)证 只要证X+Y的概率密度具有2930推论如果X1,X2,.,Xn相互独立,且XiG(l,ri),(i=1,2,.,n),则X1+X2+.+XnG(l,r1+r2+.+rn)31推论(需要记住)如果X1,X2,.,Xm相互独立,且Xic2(ni),(i=1,2,.,m),则X1+X2+.+Xmc2(n1+n2+.+nm)32正态分布正态分布也叫高斯分布,它取一切实数值为可能值,它的形状是指数上的一个二次多项式,即正态分布的概率密度函数是形如33但最常见的是将指数项进行整理3435也就是说,f(x)总能整理成3637这里用到普阿松积分公式38普阿松积分公式的证明:39定义 如果
6、连续型随机变量X的概率密度为其中s,m为常数,并且s0,则称X服从正态分布,简记作XN(m,s2).40可以验证E(X)=m,D(X)=s2特别地,当m=0,s=1时,称其为标准正态分布,其概率密度记为j(x),分布函数记为(x),这时XN(0,1).41验证E(X)=m4243验证D(X)=s24445j(x)的图形xj(x)01146xj(x)01147j(x)除一般概率密度的性质外,还有下列性质(1)j(x)有各阶导数(2)j(x)=j(x),偶函数(3)在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0 处达到最大值:48(4)在x=1处有两个拐点;(5)x轴是j(x)的水平渐近线49
7、一般正态分布与标准正态分布的关系5051所以对标准正态分布的分布函数F(x)的值,可查标准正态分布表(附表3).52标准正态分布函数表如果XN(0,1),则对于大于零的实数x,(x)的值可以由附表3直接查到.而对于小于零的x则可通过对称性来求得.j(x)0u(u)x53j(x)0u(u)x54例 XN(0,1),求P(X1.96),P(X1.96),P(|X|1.96),P(1X2),P(X5.9).解 P(X1.96)=0.975=(1.96)P(X1.96)=P(X1.96)=1P(X1.96)=10.975=0.025=1(1.96)55P(|X|1.96)=P(1.96X1.96)=(
8、1.96)(1.96)=2(1.96)1=0.95P(1X2)=(2)(1)=(2)1(1)=0.81855P(X5.9)=(5.9)=156概括起来,如果XN(0,1),则57例 XN(8,0.52),求P(|X8|1)及P(X10)解 因为XN(8,0.52),所以(X8)/0.5N(0,1)58例 XN(m,s2),P(X5)=0.045,P(X3)=0.618,求m及s5960例6 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器的温度定在dC,液体的温度X(以C计)是一个随机变量,且XN(d,0.52)(1)若d=90 C,求X小于89 C的概率;(2)若要求保持液体的温度至少为80度的概率不低于0.99,问d至少为多少?61解(1)所求概率为62(2)按题意需求d满足63即亦即故需d81.163564作业 习题2-4 第31页开始第16,17,22,23,24题习题4-3 第71页第11题65