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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.6对数与对数函数考纲展示?1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)考点 1 对数的运算1.对数的概念如果axN(a0 且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 _，其中 _叫做对数的底数，_叫做真数答案：xlogaNaN2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a0 且a1，M0，N0，
2、那么loga(MN)_；logaMN_；logaMn_(nR)；logamMnnmlogaM.(2)对数的性质：alogaN_；logaaN_(a0且a1)(3)对数的重要公式：换底公式：logbNlogaNlogab(a，b均大于 0 且不等于1)；logab1logba，推广 logablogbclogcd_.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：(1)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM(2)NN(3)logad(1)教材习题改编lg5 lg20的值是()A.12B1 C10 D100 答案：B(2)教材习题改编(log29)(log34)()A.
3、14B12C2 D4 答案：D(3)教材习题改编 已知 log53a，log54b，lg 2 m，求lg 3alg 4b的值(用m表示)解：lg 3alg 4blg 3lg 3lg 5lg 4lg 4lg 52lg 5 2(1 lg 2)2(1 m)误用对数运算法则(1)log334 log394131_.(2)(log29)(log34)_.答案：(1)2(2)4 解析：(1)原式 log3349431log3133 132.(2)解法一：原式lg 9lg 2lg 4lg 32lg 3 2lg 2lg 2 lg 34.解法二：原式2log23log24log23小学+初中+高中+努力=大学小
4、学+初中+高中+努力=大学22 4.典题 1(1)设 2a5bm，且1a1b2，则m()A.10 B10 C20 D100 答案 A 解析 由已知，得alog2m，blog5m，则1a1b1log2m1log5m logm2logm5logm102.解得m10.(2)计算：log222_；2log23log43_；(lg 2)2lg 2 lg 50 lg 25 _.答案 1233 2 解析 log222log22log22121 12；2log23log432 log232 log4332 log4332log2333.(lg 2)2lg 2 lg 50 lg 25(lg 2)2(1lg 5)
5、lg 2lg 52(lg 2lg 5 1)lg 22lg 5(1 1)lg 22lg 5 2(lg 2lg 5)2.(3)已知函数f(x)12x，x4，fx，x10a0 得x1，且函数ylog2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，)(2)函数yloga(x1)2(a0，a1)的图象恒过的点是_小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案：(2,2)解析：因为对数函数ylogax的图象恒过点(1,0)，所以函数yloga(x1)的图象恒过点(2,0)，所以函数y loga(x1)2 的图象恒过点(2,2)对数函数常见两误区：概念；性质(1)函数f(x)lgx3x
6、2的定义域是 _，函数g(x)lg(x3)lg(x2)的定义域是_答案：x|x3 或x3 解析：由x3x20 得x3 或x3 或x0，x30得x3，所以函数g(x)lg(x3)lg(x2)的定义域是 x|x3可以看出f(x)与g(x)不是同一函数(2)2014 天津卷 函数f(x)lg x2的单调递减区间是_答案：(，0)解析：函数f(x)lg x2的单调递减区间需满足x20 且yx2单调递减，故x(，0)典题 2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学Aa1，c1 Ba1,0
7、c1 C0a1，c1 D0a1,0 c1 答案 D 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a1.又当x0 时，y0，即 logac0，所以 0c1.(2)当 0 x12时，4x logax，则a的取值范围是()A.0，22B22，1C(1，2)D(2，2)答案 B 解析 由题意，得当 0a1 时，要使得4xlogax0 x12，即当 0 x12时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x12时，4122，即函数y4x的图象过点12，2.把点12，2 代入函数ylogax，得a22.若函数y 4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需22a1(如图所示)小学+初中+高中+努
8、力=大学小学+初中+高中+努力=大学当a1 时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是22，1.题点发散1 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x 1)2logax在x(1,2)时恒成立”，如何求解？解：设f1(x)(x 1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当 0a1 时，如图要使当x(1,2)时f1(x)(x 1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(2 1)2loga2，又即 loga21，所以 1a2，即实数a的取值范围是(1
9、,2 题点发散2 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x1)2(x 1)2恰有三个整数解，画出图象可知a1，其整数解集为2,3,4，则应满足loga2，loga2，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学得165a94.即实数a的取值范围为 165，94)点石成金 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.1.函数f(x)lg1|x1|的大致图象为()A B C D 答案：D 解析：f(x)lg 1|x1|
10、lg|x 1|的图象可由偶函数y lg|x|的图象左移1 个单位小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学得到由y lg|x|的图象可知选D.2设方程10 x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x21 D0 x1x21 答案：D 解析：作出y10 x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨设x1x2，则x11x20，所以 10 x1 lg(x1)，10 x2 lg(x2)，此时 10 x110 x2，即 lg(x1)lg(x2)，由此得 lg(x1x2)0，所以 0 x1x20 y0 y0 增减2反函数指数函数yax(a0 且a1)与对数函数yl
11、ogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 _对称答案：yx 考情聚焦 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有主要有以下几个命题角度：角度一比较大小 典题 3(1)设alog32，blog52，clog23，则()AacbBbcaCcbaDcab小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 答案 D 解析 323,1 25，32，log33log32 log33，log51log52log55，log23log22，12a1,0 b12，c1，cab.(2)已知xln，ylog52，ze12，则()AxyzBzx
12、yCzyxDyzx 答案 D 解析 x ln ln e，x1.ylog52log55，0y12.ze121e1412，12z 1.综上可得，yzx.点石成金 比较对数函数值大小的三种方法(1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底(2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”(3)图象法，根据图象观察得出大小关系角度二由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围 典题 4(1)函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，)B(0,1)C.0，13D(3，)答案 D 解析 由于a0，且a
13、1，uax3 为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又uax3 在1,3上恒为正，a30，即a3.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)设函数f(x)log2x，x0，log 12x，x0，log2alog2a或a0，log 12a2a，解得a1 或 1a0.(3)函数f(x)ax loga(x 1)在 0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为_ 答案 12 解析 yax与y loga(x1)的单调性相同当a1 时，f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(0)当 0a1 时，f(x)的最大值为f(0)，最小值为f(1)不论a 1
14、还是 0a1 都有f(0)f(1)a，即a0loga1aloga2a，解得a12.点石成金 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解2 对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1进行分类讨论角度三对数函数性质的综合问题 典题 5(1)设函数f(x)|logax|(0a1)的定义域为 m，n(mn)，值域为 0,1，若nm的最小值为13，则实数a的值为()A.14B14或23C.23D23或34小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 答案 C 解析 作出y|logax|(0a1)
15、的大致图象如图所示，令|logax|1，得xa或x1a，又 1a1a1 1a1aaaaa0，故 1a0 时，f(x)是增函数；当x1 且b1或 0a1 且 0b0；当a1 且 0b1 或 0a1时，logab0的条件下应为 logaM loga|M|(N*，且 为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围真题演练集训12015湖南卷 设函数f(x)ln(1 x)ln(1 x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案：
16、A 解析：由1x0，1x0，得 1x0，故f(x)在(0,1)上为增函数故选A.22015陕西卷 设f(x)ln x,0ab，若pf(ab)，qfab2，r12f(a)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpBqrpCprqDprq答案：C 解析：因为ba0，故ab2ab.又f(x)ln x(x0)为增函数，所以fab2f(ab)，即qp.又r12f(a)f(b)12(ln aln b)lnabp.32014天津卷 函数f(x)log 12(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)答案：D 解析：函数yf(
17、x)的定义域为(，2)(2，)，因为函数yf(x)是由ylog 12t与tg(x)x2 4 复合而成，又ylog 12t在(0，)上单调递减，g(x)在(，2)上单调递减，所以函数yf(x)在(，2)上单调递增故选D.42014福建卷 若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()A B 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C D 答案：B 解析：因为函数ylogax过点(3,1)，所以1loga3，解得a3，所以y3x不可能过点(1,3)，排除 A；y(x)3x3不可能过点(1,1)，排除 C；ylog3(x)不可能过点(3，1)，排除 D.
18、故选 B.5 2016浙江卷 已知ab1，若 logab logba52，abba，则a_，b_.答案：4 2 解析：由于ab1，则 logab(0,1)，因为 logablogba52，即 logab1logab52，所以logab12或 logab2(舍去)，所以a12b，即ab2，所以ab(b2)bb2bba，所以a2b，b22b，所以b2(b0 舍去)，a4.62015浙江卷 若alog43，则 2a2a_.答案：433解析：alog43log22312log23log23，2a2a2log232log2332log233333433.课外拓展阅读数形结合思想在对数函数中的应用小学+初
19、中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 典例 2017江西七校联考 已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x2)f(x)，当1x1 时，f(x)x3，若函数g(x)f(x)loga|x|至少有 5 个零点，则实数a的取值范围是()A(1,5)B.0，155，)C.0，155，)D.15，1(1,5 审题视角 当函数yf(x)与yloga|x|有 5 个交点时，求实数a的取值范围 解析 依题意知，函数f(x)的周期为 2，在平面直角坐标系内画出函数yf(x)与函数yloga|x|的图象，如图结合图象可知，要使函数g(x)f(x)loga|x|至少有 5 个零点，则有0a15或a5，即实数a的取值范围是0，15 5，)故选B.答案 B