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1、2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1对数的概念如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN
2、b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质N；logaaNN (a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图像与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称知识拓展1换底
3、公式的两个重要结论(1)logab；(2)logab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限()题组二教材改编2lg lglg 7_.答案解析原式lg 4lg 2lg 7lg 8lg 7lg 52lg 2(lg 2
4、lg 5)2lg 2.3已知a，blog2，c，则a，b，c的大小关系为_答案cab解析0a1，b1.cab.4函数y的定义域是_答案解析由log(2x1)0，得02x11.0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()AdacBacdCcadDdac答案B6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1答案D解析由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图像与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图像是由函数ylogax的图像向左平移不到1个单位后得到的
5、，0c1.7若loga0且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，)题型一对数的运算1设2a5bm，且2，则m等于()A.B10C20 D100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2计算：100_.答案20解析原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.3计算：_.答案1解析原式1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)
6、合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题型二对数函数的图像及应用典例 (1)若函数ylogax(a0且a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()答案B解析由题意ylogax(a0且a1)的图像过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3xx，显然图像错误；选项B中，yx3，由幂函数图像性质可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图像不符；选项D中，ylog3(x)的图像与ylog3x的图像关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(，2)答案B解析由题意得，
7、当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图像在函数ylogax图像的下方又当x时，2，即函数y4x的图像过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图像在函数ylogax图像的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.引申探究若本例(2)变为方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图像知解得01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例 (1)若ab0,0c1，则()AlogaclogbcBlogcalogcbCa
8、ccb答案B解析当0c1时，ylogcx是减函数，logca0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上是减少的，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例已知函数f(x)loga(3ax)(a0且a1)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义
9、，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范围为(0,1).(2)假设存在这样的实数a.t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题跟踪训练 (1)设al
10、og32，blog52，clog23，则()AacbBbcaCcbaDcab答案D解析alog32log331，blog52log221，所以c最大由1log23，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)ln的定义域是(1，)，则实数a的值为_答案2解析由题意，得不等式10的解集是(1，)，由10，可得2xa，故xlog2a，由log2a1，得a2.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数
11、不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBabcCbacDacb(2)(2017新乡二模)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbca(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是()AabcBbacCcbaDacbcBbacCcabDacb解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.3
12、1，即c1.所以ba1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.故选B.(3)由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbaac.答案(1)C(2)B(3)A(4)B1设alog37，b21.1，c0.83.1，则()AbacBcabCcbaDacb答案B解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即cab，故选B.2(2017孝义模拟)函数yln sin x(0x)的大致图像是()答案C解析因为0x，所以0sin x1，所以ln sin x0，故选C.3已知偶函数f(x)，当x0,2)时，f(x)2si
13、n x，当x2，)时，f(x)log2x，则ff(4)等于()A2 B1C3 D.2答案D解析因为ff2sin ，f(4)log242，所以ff(4)2，故选D.4(2017北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033B1053C1073D1093答案D解析由题意，lglglg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.
14、故选D.5(2017江西红色七校二模)已知函数f(x)ln ，若fff503(ab)，则a2b2的最小值为()A6 B8 C9 D12答案B解析f(x)f(ex)2，fff2 012，503(ab)2 012，ab4.a2b28，当且仅当ab2时取等号6若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上是减少的，则a的取值范围为()A1,2) B1,2 C1，) D2，)答案A解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上是减少的，则有即解得1a1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.9(2017南昌模拟)设实数a，b是关于x的方程|lg x|c
15、的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y|lg x|的图像和直线yc有两个不同交点，ab1,0c0，则实数a的取值范围是_答案解析当0a0，即0a0，解得a，且a1，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，且2a0，解得a0，且a0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则f(x)(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以x2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以0|x21|4，解得x2成立
16、，所以xf(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能确定答案A解析由已知得0a1，所以1a1f(2)14已知函数f(x)ln(x21)，g(x)xm，若对任意x10,3，存在x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析当x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由题意可知原条件等价于f(x)ming(x)min，即0m，所以m，故选A.15已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是_答案解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，0a，故02ln 恒成立，求实数m的取值范围解(1)由0，解得x1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)ln ln ln1ln f(x)，f(x)ln 是奇函数(2)x2,6时，f(x)ln ln 恒成立，0，x2,6，0m(x1)(7x)在2,6上恒成立令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知，x2,3时函数g(x)是增加的，x3,6时函数g(x)是减少的，当x2,6时，g(x)ming(6)7，0m7.