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1、.函数行列式函数行列式教学目的教学目的掌握函数行列式教学要求教学要求(1)掌握函数行列式(2)能用函数行列式解决一些简单的问题一、函数行列式一、函数行列式由A Rn到 R 的映射（或变换）就是 n 元函数，即(x1,x2,xn,y)f AR RnR，或,xn),(x1,x2,xn)A.y f(x1,x2,由A Rn到Rn的映射（或变换）就是 n 个 n 元函数构成的函数组，即(x1,x2,xn,y1,y2,yn)f ARn RnRn，或y1 f1(x1,x2,xn),y f(x,x,x),2212n(x1,x2,yn fn(x1,x2,xn).表为(f1,f2,xn)A.(1)fn)，设它 们
2、对每个 自变量都 存在偏导数fi,i 1,2xjn,j 1,2n，行列 式f1x1f2x1fnx1f1x2f2x2fnx2f1xnf2xn（2）fnxnxn)的雅雅可可比比行行列列式式，也称为函函数数行行列列式式，表为称为函数组(f1,f2,fn)在点(x1,x2,(f1,f2,(x1,x2,fn)xn)或D(f1,f2,D(x1,x2,fn).xn)例：求下列函数组（变换）的函数行列式：求下列函数组（变换）的函数行列式：1.1.极坐标变换极坐标变换x rcos,y rsin.x(x,y)r(r,)yrxcosysinrsin rcos2 rsin2 r.rcos2.2.柱面坐标变换柱面坐标变
3、换x rcos,y rsin,z z.xr(x,y,z)y(r,z)rzr3.球面坐标变换xyzxzcosy sinz0zzrsin0rcos0 rcos2rsin2 r.01x rsincos,y rsinsin,z rcos.xr(x,y,z)y(r,)rzr二、函数行列式的性质二、函数行列式的性质xyzxsincosy sinsincoszrcoscosrcossinrsinrsinsinrsincos r2sin.0为了简单起见，仅就 n=2 的情形加以讨论，所有结果对任意自然数 n 都是正确的.已知一元函数y f(x)与x(t)的复合函数y f(t)的导数是有：定理定理 1.1.若函
4、数组u u(x,y),v v(x,y)有连续的偏导数，而x x(s,t),y y(s,t)也有连续偏导数，则(u,v)(u,v)(x,y).(s,t)(x,y)(s,t)dydy dx，与它类似的dtdx dt证明：证明：由复合函数的微分法则，有uu xu y uu xu y,sx sy s tx ty tvv xv y vv xv y,sx sy s tx ty t由行列式的乘法，有u(u,v)s(s,t)vsu xu yux sy stvv xv ytx sy su xu yx ty tv xv yx ty tuxvxuyvyxsysxt(u,v)(x,y).y(x,y)(s,t)t若一元
5、函数y f(x)在点x0某邻域具有连续的导数f(x)，且f(x0)0.由连续函数的保号性，在点x0某邻域,f(x)与f(x0)保持同一符号，因而在函数y f(x)严格单调，它存在反函数x(y)，且dx1.dydydx和它类似的有：定理定理 2.2.若函数组u u(x,y),v v(x,y)有连续的偏导数，且数的反函数组x x(u,v),y y(u,v)，且(x,y)1.(u,v)(u,v)(x,y)(3)(u,v)0，则存在有连续偏导(x,y)证明：证明：.定理 3 的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理 1中，令s u,t v，有(u,v)(x,y)(u,v)(x,
6、y)(u,v)(u,v)uuvuuv101，v01v即(u,v)(u,v)1 0.，(x,y)(x,y)(x,y)(u,v)三、函数行列式的几何性质三、函数行列式的几何性质一元函数y f(x)是R1到R1的映射.取定一点x0，它的象是y0 f(x0).当自变量 x 在点x0有改变量x，相应 y 在y0有改变量y.线段y 的长y与线段x的长x之比yx称为映射 f在x0到x0 x的平均伸缩系数平均伸缩系数，若当x 0时平均伸缩系数yx存在极限，即limx0yf(x0 x)f(x0)lim f(x0)，x0 xx则称f(x0)是映射 f 在点x0的伸缩系数伸缩系数.由此可见，一元函数一元函数y f(
7、x)在点在点x0的导数的绝对值的导数的绝对值f(x0)有新的几何意义：它是映射有新的几何意义：它是映射 f f在点在点x0的伸缩系数的伸缩系数.同样，R2到R2的变换u u(x,y),v v(x,y)也有类似的几何意义.定理定理 3.3.若函数组u u(x,y),v v(x,y)在开区域 G 存在连续的偏导数，且(x,y)G，有J(x,y)(u,v)0.函数组将 xy平面上开区域 G 变换称 uv 平面上的开区域G.点(x0,y0)G变(x,y)换成 uv 平面上点(u0,v0)u(x0,y0),v(x0,y0)G，则包含点(u0,v0)的面积微元d与对应的包含点(x0,y0)的面积微元之比是J(x0,y0)，即d(u,v).J(x0,y0)d(x,y)(x0,y0)