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1、计算流体力学基础讲义-1-第五章 网格与相应变换 5.3 几何变换系数与雅克比行列式 首先回顾一下上节课学过的变换关系式(5.1a)至(5.1c)，其反映的是计算空间自变量,与物理空间自变量 x，y，z 之间的变换关系。(,)(,)()x y tx y tt=(5.1a)(5.1b)(5.1c)观察上节课所学的式(5.2)至(5.15)，可以发现变换关系里涉及网格几何形状的项，如/x，/y，/x，/y称为几何变换系数 metrics。如果式(5.1)给出的变换是解析的，则可以得到几何变换系数的解析值；如果式(5.1)给出的是数值的对应关系，那么几何变换系数须采用有限差分法计算。但是，在很多实际
2、应用中，这种变换是以方程(5.1a)至(5.1c)的反函数形式给出的，那么这种情况下如何求解几何变换系数呢？(,)(,)()xxyytt =(5.18a)(5.18b)(5.18c)我们观察式(5.18)给出的用反函数所表示的变换关系：式中自变量是,，但是式(5.2)至(5.15)中的几何变换关系如/xy，等，是以 x、y、t 为自变量的偏导数。因此，为了由反变换式(5.18)计算这些方程中的几何变换系数，需要将/xy，等与其逆形式/,/xy等联系起来,下面将详细讨论。考虑流动控制方程中的一个因变量，例如 x 方向的速度分量 u,令 u=u(x,y)，其中x=x(,)，y=y(,)。u 的全微
3、分形式可以写成式(5.19)。进一步可以得到 u 偏的表达式(5.20)，u 偏的表达式(5.21)。这两个方程可以看作是关于/,/uxuy 两个未知数的方程组。uududxdyxy=+(5.19)uuxuyxy=+(5.20)uuxuyxy=+(5.21)用克莱姆法则可以很容易求解该方程组，可得/ux的解：计算流体力学基础讲义-2-uyuyuxyxxy=(5.22)式中，分母定义为雅克比行列式，可以表示成：(,)(,)xyx yJxy=(5.22a)所以，式(5.22)可以写成式(5.23a)的形式，其中分子行列式写成了它的展开形式：1()()()()uuyuyxJ=(5.23a)同样道理，
4、运用克莱姆法则，我们可以得到/uy的解：xuxuuxyyxy=(A5.3.1)采用雅克比行列式的形式，进一步写成：=1()()()()uuxuxyJ(5.23b)在式(5.23a)和(5.23b)中，利用因变量 u 获得了逆变换，但实际上该逆变换可以应用于任意的物理量(不只是 u)。因此，可以写成更加一般的形式：1()()()()yyxJ=(5.24a)1()()()()xxyJ=(5.24b)这里式(5.24a)和(5.24b)给出了变换的一般形式。可见，它们用流场变量在计算平面上的偏导数来表示在物理平面上的偏导数。式(5.24a)、(5.24b)完成了与式(5.2)、(5.3)所给出的同计
5、算流体力学基础讲义-3-样的偏导数的变换。但是，式(5.2)、(5.3)的几何变换系数项是/x，/y等，而式(5.24a)、(5.24b)中的逆几何变换系数是/,/xy等。并且，注意式(5.24a)、(5.24b)包含了雅克比行列式。因此，只要我们已知由式(5.18a)至(5.18c)给出的变换关系式，就可以得到反变换系数/,/xy等的值，进而得到雅克比行列式的值，然后就可以通过这些反变换系数和雅克比行列式得到流动控制方程变换后的形式。通过对比式(5.24a)、(5.24b)和(5.2)、(5.3)，可以得到这样正变换系数与反变换系数之间的对应关系，如下所示：1yxJ=(5.36a)1yxJ=
6、(5.36b)1xyJ=(5.36c)1xyJ=(5.36d)这里需要强调一下，在阅读文献时，一旦看到流动控制方程是在变换坐标系中表示的，且有雅克比行列式 J，同学们就应该知道，在这些方程中用到的是反变换和反变换系数。如果在变换的方程中没有看到雅克比行列式 J，就说明用到的是正变换和正变换系数，唯一例外的是后面 5.4 节中将要讨论的问题。再次说明，当已知的是式(5.1a)至(5.1c)给出的正变换时，可以直接得到正变换系数，那么式(5.2)(5.3)(5.5)中的偏导数变换也很容易得到；另一方面，当已知的是式(5.18a)至(5.18c)给出的反变换时，可以直接得到反变换系数，那么式(5.2
7、4a)和(5.24b)中的偏导数变换也很容易得到。实际上，式(5.24a)和(5.24b)可以用更一般更通用的方法推导出来。为了方便，仍然考虑二维问题的正变换：(,)(,)x yx y=(5.25a)(5.25b)写出全微分：ddxdyxy=+(5.26a)ddxdyxy=+(5.26b)写成矩阵形式：ddxxyddyxy=(5.27)计算流体力学基础讲义-4-现在考虑反变换：()()xx,yy,=(5.28a)(5.28b)可得全微分：xxdxdd=+(5.29a)yydydd=+(5.29b)矩阵形式为：xxdxddyyyd=(5.30)式(5.30)右端的列向量d，d是待求解列向量。求解
8、式(5.30)以得到右端的列向量，即方程两边同乘以上式中 22 系数矩阵的逆矩阵，可以得到：1xxddxdyydy=(5.31)即：ddxxyddyxy=(5.27)可得：1xxxyyyxy=(5.32)根据求逆矩阵的法则，写出式(5.32)右端的逆变换结果，可以得到：yxyxxyxxxyyy=(5.33)考虑上式右端的分母，由于矩阵转置不影响行列式的值，所以可得：计算流体力学基础讲义-5-xxxyJyyxy=(5.34)可以看出，分母即为雅克比行列式。因此，式(5.33)可以进一步写成：1yxxyyxJxy=(5.35)比较式中左右两端的两个矩阵的对应项，便可以得到正变换系数和反变换系数之间的关系式：1 111yxJyxJxyJxyJ=(5.36a)(5.36b)(5.36c)(5.36d)这个结果与之前的结果完全一样。因此，我们完成了正变换系数与反变换系数之间的对应关系，那么不管一个具体问题的网格变换关系式是以正函数给出，还是以反函数给出，我们都可以很方便地得到相关的偏导数的变换式。