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1、雅可比行列式计算 若因变量 u1,u2,un 对自变量 x1,x2,xn 连续可微，而自变量 x1,x2,xn对新变量 r1,r2,rn 连续可微,则因变量(u1,u2,un)也对新变量(r1,r2,rn)连续可微，并且 这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。而公式(3)也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；例如，当(u，v)对(x，y，z)连续可微，而(x，y，z)对(r，s)连续可微时，便有 如果(3)中的 r 能回到 u,，则(3)给出。这时必须有(4)于是以此为系数行列式的联立线性方程组(2)中能够把(dx1,dx2,dxn)解出来，作为(du1,du2,
2、dun)的函数。而根据隐函数存在定理,在(u1,u2,un)对(x1,x2,xn)连续可微的前提下,只须条件(4)便足以保证(x1,x2,xn)也对(u1,u2,un)连续可微,因而(4)必然成立。这样,连续可微函数组(1)便在雅可比行列式不等于零的条件(4)之下,在每一对相应点 u=(u1,u2,un)与 x=(x1,x2,xn)的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。在 n=2 的情形，以 x1，x2 为邻边的矩形(R)对应到(u1，u2)平面上的一个曲边四边形(S),其面积 S 关于x1,x2 的线性主要部分，即面积微分是 这常用于重积分的计算中。如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负（其正负号标志着 u-坐标系的旋转定向是否与 x-坐标系的一致）。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组(u1,u2,un)是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。