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1、11.2.函数行列式 教学目的 掌握函数行列式 教学要求(1)掌握函数行列式(2)能用函数行列式解决一些简单的问题 一、函数行列式 由nAR到 R 的映射（或变换）就是 n 元函数，即 12(,)nnx xxyfARRR，或 由nAR到nR的映射（或变换）就是 n 个 n 元函数构成的函数组，即 1212(,)nnnnnx xxy yyfARRR，或 表为12(,)nfff，设它们对每个自变量都存在偏导数,1,2,1,2ijfin jnx，行列式111122221212nnnnnnfffxxxfffxxxfffxxx （2）称为函数组12(,)nfff在点12,(,)nx xx的雅可比行列式，
2、也称为函数行列式，表为121212,12,(,)(,)(,)(,)nnnnfffD fffx xxD x xx或.例：求下列函数组（变换）的函数行列式：1.极坐标变换 2.柱面坐标变换 22cossin0(,)sincos0cossin(,)001xxxrzrx y zyyyrrrrrzrzzzzrz.3.球面坐标变换 二、函数行列式的性质 为了简单起见，仅就 n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n 都是正确的.已知一元函数()yf x与()xt的复合函数()yft的导数是dydy dxdtdx dt，与它类似的有：定理 1.若函数组(,),(,)uu x y vv x y有连续的偏导数
3、，而(,),(,)xx s tyy s t也有连续偏导数，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u vu vx ys tx ys t.证明：由复合函数的微分法则，有 由行列式的乘法，有(,)(,)(,)(,)uuxxxyu vx ystvvyyx ys txyst.若一元函数()yf x在点0 x某邻域具有连续的导数()fx，且0()0fx.由连续函数的保号性，在点0 x某邻域0,()()fxfx与保持同一符号，因而在函数()yf x严格单调，它存在反函数()xy，且 和它类似的有：定理 2.若函数组(,),(,)uu x y vv x y有连续的偏导数，且(,)0(,)u vx y，则存在有
4、连续偏导数的反函数组(,),(,)xx u vyy u v，且 证明：11.1.定理 3 的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理 1 中，令,su tv，有 10101uuuvvvuv，即 (,)1(,)(,)(,)u vx yx yu v，(,)0(,)u vx y.三、函数行列式的几何性质 一元函数()yf x是1R到1R的映射.取定一点0 x，它的象是00()yf x.当自变量x 在点0 x有改变量x，相应 y 在0y有改变量y.线段y的长y与线段x的长x之比yx称为映射f 在0 x到0 xx的平均伸缩系数，若当0 x 时平均伸缩系数yx存在极限，即 00000
5、()()limlim()xxyf xxf xfxxx，则称0()fx是映射 f 在点0 x的伸缩系数.由此可见，一元函数()yf x在点0 x的导数的绝对值0()fx有新的几何意义：它是映射 f在点0 x的伸缩系数.同样，2R到2R的变换(,),(,)uu x y vv x y也有类似的几何意义.定理 3.若函数组(,),(,)uu x y vv x y在开区域 G 存在连续的偏导数，且(,)x yG，有(,)(,)0(,)u vJ x yx y.函数组将 xy 平面上开区域 G 变换称 uv 平面上的开区域G.点00(,)xyG变换成 uv 平面上点000000(,)(,),(,)u vu xyv xyG，则包含点00(,)u v的面积微元d与对应的包含点00(,)xy的面积微元之比是00(,)J x y，即 0000(,)(,)(,)(,)xydu vJ xydx y.