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1、中考数学模拟试卷二十六（含解析）一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 1（4 分）（2021资阳）2 的相反数是（）A2 B2 C12 D12 2（4 分）（2021资阳）下列计算正确的是（）Aa2+a22a4 Ba2aa3 C（3a）26a2 Da6+a2a3 3（4 分）（2021资阳）如图是由 6 个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A B C D 4（4 分）（2021资阳）如图，已知直线 mn，140，230，则3 的度数为（）A80 B
2、70 C60 D50 5（4 分）（2021资阳）15 名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8 名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这 15 名学生成绩的（）A平均数 B众数 C方差 D中位数 6（4 分）（2021资阳）若 a=73，b=5，c2，则 a，b，c 的大小关系为（）Abca Bbac Cacb Dabc 7（4 分）（2021资阳）下列命题正确的是（）A每个内角都相等的多边形是正多边形 B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D三角形的中位线将三角形的面积分成 1：2 两部分 8（4 分）（2021资阳）如图是中国古代数
3、学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD连结 EG 并延长交 BC 于点 M若 AB=13，EF1，则 GM 的长为（）A225 B223 C324 D425 9（4 分）（2021资阳）一对变量满足如图的函数关系设计以下问题情境：小明从家骑车以 600 米/分的速度匀速骑了 2.5 分钟，在原地停留了 2 分钟，然后以 1000米/分的速度匀速骑回家设所用时间为 x 分钟，离家的距离为 y 千米；有一个容积为 1.5 升的开口空瓶，小张以 0.6 升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等 2 秒后，再
4、以 1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水设所用时间为 x 秒，瓶内水的体积为 y 升；在矩形 ABCD 中，AB2，BC1.5，点 P 从点 A 出发沿 ACCDDA 路线运动至点 A 停止设点 P 的运动路程为 x，ABP 的面积为 y 其中，符合图中函数关系的情境个数为（）A3 B2 C1 D0 10（4 分）（2021资阳）已知 A、B 两点的坐标分别为（3，4）、（0，2），线段 AB 上有一动点 M（m，n），过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线 ya（x1）2+2 于 P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点若 x1mx2，则 a 的取值范围为（）A4a32 B4a 32 C32a0 D
5、32a0 二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）（2021资阳）中国共产党自 1921 年诞生以来，仅用了 100 年时间，党员人数从建党之初的 50 余名发展到如今约 92000000 名，成为世界第一大政党请将数 92000000用科学记数法表示为 12（4 分）（2021资阳）将 2 本艺术类、4 本文学类、6 本科技类的书籍混在一起若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 13（4 分）（2021资阳）若 x2+x10，则 3x3=14（4 分）（2021资阳）如图，在矩形 ABCD 中，AB2cm，AD=3cm 以点 B 为圆心，AB 长
6、为半径画弧，交 CD 于点 E，则图中阴影部分的面积为 cm2 15（4 分）（2021资阳）将一张圆形纸片（圆心为点 O）沿直径 MN 对折后，按图 1 分成六等份折叠得到图 2，将图 2 沿虚线 AB 剪开，再将AOB 展开得到如图 3 的一个六角星若CDE75，则OBA 的度数为 16（4 分）（2021资阳）如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，DEBC 交 BC 的延长线于点 E连结 AE 交 BD 于点 F，交 CD 于点 GFHCD 于点 H，连结 CF有下列结论：AFCF；AF2EFFG；FG：EG4：5；cosGFH=32114其中所有正确结论的序号为 三、解答题：（本大
7、题共 8 个小题，共 86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17（9 分）（2021资阳）先化简，再求值：（2+2+12111）21，其中 x30 18（10 分）（2021资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图 请根据图中信息，解答下列问题：（1）求 C 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；（2）若 D 类职工中有 3 名女士和 2 名男士，现从中任意抽取 2 人进行随访，
8、请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率 19（10 分）（2021资阳）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励现要购买甲、乙两种奖品，已知 1 件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40 元，2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70 元（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用 20（10 分）（2021资阳）如图，已知直线 ykx+b（k0）与双曲线 y=6相交于 A（m，3）、B（3，n）两点（1）求直
9、线 AB 的解析式；（2）连结 AO 并延长交双曲线于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D，连结 AD，求ABD 的面积 21（11 分）（2021资阳）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，DEAC 交 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AC6，tanE=34，求 AF 的长 22（11 分）（2021资阳）资阳市为实现 5G 网络全覆盖，20202025 年拟建设 5G 基站七千个如图，在坡度为 i1：2.4 的斜坡 CB 上有一建成的基站塔 AB，小芮在坡脚 C 测得塔顶 A 的仰角为 45，然后她沿坡
10、面 CB 行走 13 米到达 D 处，在 D 处测得塔顶 A 的仰角为 53（点 A、B、C、D 均在同一平面内）（参考数据：sin5345，cos5335，tan5343）（1）求 D 处的竖直高度；（2）求基站塔 AB 的高 23（12 分）（2021资阳）已知，在ABC 中，BAC90，ABAC （1）如图 1，已知点 D 在 BC 边上，DAE90，ADAE，连结 CE试探究 BD 与CE 的关系；（2）如图 2，已知点 D 在 BC 下方，DAE90，ADAE，连结 CE若 BDAD，AB210，CE2，AD 交 BC 于点 F，求 AF 的长；（3）如图 3，已知点 D 在 BC
11、下方，连结 AD、BD、CD若CBD30，BAD15，AB26，AD24+3，求 sinBCD 的值 24（13 分）（2021资阳）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 B（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一点，BP 与 AC 相交于点 E，当 PE：BE1：2 时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 CD 方向平移，使点 D 落在点 D处，且DD2CD，点 M 是平移后所得抛物线上位于 D左侧的一点，MNy 轴交直线 OD于点N，连结 CN当5
12、5DN+CN 的值最小时，求 MN 的长 2021 年四川省资阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意 1（4 分）（2021资阳）2 的相反数是（）A2 B2 C12 D12【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号【解答】解：2 的相反数是2 故选：A【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 2（4 分）（2021资阳）下列计算正确的是（）Aa2+a22
13、a4 Ba2aa3 C（3a）26a2 Da6+a2a3【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可【解答】解：A.a2+a22a2，因此选项 A 不正确；B.a2aa2+1a3，因此选项 B 正确；C.（3a）29a2，因此选项 C 不正确；D.a6与 a2不是同类项，不能合并计算，因此选项 D 不正确；故选：B【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是得出正确答案的前提 3（4 分）（2021资阳）如图是由 6 个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该
14、位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A B C D【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为 3 个正方形，右边的一列为一个正方形，因此选项 C 中的图形符合题意，故选：C【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提 4（4 分）（2021资阳）如图，已知直线 mn，140，230，则3 的度数为（）A80 B70 C60 D50【分析】由两直线平行，同位角相等得到440，在根据三角形的外角性质即可得解【解答】解：如图，直线 mn，140，4140，32+4，
15、230，330+4070，故选：B【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即三角形的外角性质是解题的关键 5（4 分）（2021资阳）15 名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8 名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这 15 名学生成绩的（）A平均数 B众数 C方差 D中位数【分析】15 人成绩的中位数是第 8 名的成绩 参赛选手要想知道自己是否能进入前 8 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可【解答】解：由于总共有 15 个人，且他们的成绩互不相同，第 8 的成绩是中位数，要判断是否进入前 8 名，故应知道中位数的多少 故选：D【点评】本题
16、考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量 6（4 分）（2021资阳）若 a=73，b=5，c2，则 a，b，c 的大小关系为（）Abca Bbac Cacb Dabc【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出 a、b 的近似值，再进行比较即可【解答】解：137383，1732，即 1a2，又253，2b3，acb，故选：C【点评】本题考查实数的大小比较，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确判断的前提 7（4 分）（2021资阳）下列命题正确的是（）A每个内角都相等的多边形是正多边形 B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C过线段中点的直线是线段的垂直平分线
17、D三角形的中位线将三角形的面积分成 1：2 两部分【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即可选出正确答案【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题；D、三角形的中位线将三角形的面积分成 1：3 两部分，故错误，是假命题 （DE 是ABC 的中位线，DEBC，DE=12BC，ADEABC，相似比为 1:2，SADE：SABC1:4，SADE：S四边形DECB1：3）故选：B【点评】
18、本题考查正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握这些定理、定义 8（4 分）（2021资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD连结 EG 并延长交 BC 于点 M若 AB=13，EF1，则 GM 的长为（）A225 B223 C324 D425【分析】由大正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH 组成，在直角三角形 AEB 中使用勾股定理可求出 BFAEGCDH2，过点 M 作 MNFC 于点 N，由三角形 EF
19、G 为等腰直角三角形可证得三角形 GNM 也为等腰直角三角形，设 GNNMa，则 NCGCGN2a，由 tanFCB=23=2，可解得 a=45 进而可得 GM=2=425【解答】解：由图可知AEB90，EF1，AB=13，大正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH 组成，故 AEBFGCDH，设 AEx，则在 RtAEB 中，有 AB2AE2+BE2，即 13x2+(1+x)2，解得：x2 过点 M 作 MNFC 于点 N，如图所示 四边形 EFGH 为正方形，EG 为对角线，EFG 为等腰直角三角形，EGFNGM45，故GNM 为等腰直角三角形 设 GNNMa，则
20、 NCGCGN2a，tanFCB=23=2，解得：a=45 GM=2+2=(45)2+(45)2=425 故选：D 【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键 9（4 分）（2021资阳）一对变量满足如图的函数关系设计以下问题情境：小明从家骑车以 600 米/分的速度匀速骑了 2.5 分钟，在原地停留了 2 分钟，然后以 1000米/分的速度匀速骑回家设所用时间为 x 分钟，离家的距离为 y 千米；有一个容积为 1.5 升的开口空瓶，小张以 0.6 升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等 2 秒后，再以 1 升/秒的速度匀速
21、倒空瓶中的水设所用时间为 x 秒，瓶内水的体积为 y 升；在矩形 ABCD 中，AB2，BC1.5，点 P 从点 A 出发沿 ACCDDA 路线运动至点 A 停止设点 P 的运动路程为 x，ABP 的面积为 y 其中，符合图中函数关系的情境个数为（）A3 B2 C1 D0【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可【解答】解：小明从家骑车以 600 米/分的速度匀速骑了 2.5 分钟，离家的距离6002.51500（米）1.5（千米），原地停留4.52.52（分），返回需要的时间150010001.5（分），4.5+1.56（分），故符合题意；1.50.62.5（秒），2.5+24.5（秒），1.
22、511.5（秒），4.5+1.56（秒），故符合题意；根据勾股定理得：AC=2+2=22+152=2.5,当点 P 在 AC 上运动时，y 随 x 增大而增大，运动到 C 点时，y=1221.51.5,当点 P 在 CD 上运动时，y 不变，y1.5，当点 P 在 AD 上运动时，y 随 x 增大而减小，故符合题意；故选：A【点评】本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义，注意单位换算 10（4 分）（2021资阳）已知 A、B 两点的坐标分别为（3，4）、（0，2），线段 AB 上有一动点 M（m，n），过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线 ya（x1）2+2 于 P（x
23、1，y1）、Q（x2，y2）两点若 x1mx2，则 a 的取值范围为（）A4a32 B4a 32 C32a0 D32a0【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a0求出抛物线经过点 A 时 a 的值即可【解答】解：如图，由题意，抛物线的开口向下，a0 当抛物线 ya（x1）2+2 经过点 A(3,4)时，44a+2,a=32,观察图象可知，当抛物线与线段 AB 没有交点或经过点 A 时，满足条件,32a0 故选：C【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题 二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4
24、 分，共 24 分）11（4 分）（2021资阳）中国共产党自 1921 年诞生以来，仅用了 100 年时间，党员人数从建党之初的 50 余名发展到如今约 92000000 名，成为世界第一大政党请将数 92000000用科学记数法表示为 9.2107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：920000009.2107 故答案为：9.2107【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记
25、数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12（4 分）（2021资阳）将 2 本艺术类、4 本文学类、6 本科技类的书籍混在一起若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 13 【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可【解答】解：一共有 2+4+612 本书籍，其中文学类有 4 本，小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为412=13，故答案为：13【点评】本题主要考查概率公式，随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数事件 A 可能出现的结果数 13（4 分）（2021资阳）若 x2+x10，则 3
26、x3=3 【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据 x2+x10，可以得到 x1的值，然后代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：3x3=3（x1），x2+x10，x+11=0，x1=1，当 x1=1 时，原式3（1）3，故答案为：3【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 14（4 分）（2021资阳）如图，在矩形 ABCD 中，AB2cm，AD=3cm 以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 CD 于点 E，则图中阴影部分的面积为 (23223)cm2 【分析】连接 BE首先证明EBC30，根据 S阴S矩形ABCDSEBCS扇形AEB计算即可【解答
27、】解：如图，连接 BE 四边形 ABCD 是矩形，ADBC=3cm，CABC90，CDAB，在 RtBCE 中，AEBE2cm，BC=3cm，EC=22=1cm，EBC30，ABEBEC60,S阴S矩形ABCDSBECS扇形AEB,2121 3 6036022,(23223)cm 故答案为:(23223)【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形 30 度角的判断等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 15（4 分）（2021资阳）将一张圆形纸片（圆心为点 O）沿直径 MN 对折后，按图 1 分成六等份折叠得到图 2，将图 2 沿虚线 AB 剪开，再将AOB
28、 展开得到如图 3 的一个六角星若CDE75，则OBA 的度数为 135 【分析】根据翻折可以知道OAB=12DCE，且CDE75，CDCE，求出AOB和OAB 的度数即可求OBA 的度数【解答】解：由题知，AOB=1618030，有翻折知OAB=12DCE，CDCE，CDE75，DCE180757530，OAB=12DCE=12 30=15，OBA180AOBOAB1803015135，故答案为：135【点评】本题主要考查剪纸问题，熟练掌握剪纸中的翻折是解题的关键 16（4 分）（2021资阳）如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，DEBC 交 BC 的延长线于点 E连结 AE 交 BD
29、 于点 F，交 CD 于点 GFHCD 于点 H，连结 CF有下列结论：AFCF；AF2EFFG；FG：EG4：5；cosGFH=32114其中所有正确结论的序号为 【分析】由菱形 ABCD 的对称性可判断正确，利用CFGEFC,可得 CF2EFGF,从而判断正确，设 ADCDBCm,RtCDE 中，CECDcos60=12CD=12m,BE=32m,可得=32=23,设 AF2n，则 CFAF2n,EF3n,可得 FG=43n,EGEFFG=53n,从而 FG:EG(43n):（53n)4:5,可判断正确，设 CEt,RtCDE 中，CD2tAD,DE=3t,RtBDE 中，BD2DE23t
30、,可求出 DF=25BD=435t,RtDFH 中，FH=12DF=235t,RtADE 中，AE=2+2=(2)2+(3)2=7t,即可得 EF=35AE=375t,FG=49EF=4715t,RtFHG 中，cosGFH=2354715=32114,即可判断正确，【解答】解：菱形 ABCD，对角线 BD 所在直线是菱形 ABCD 的对称轴，沿直线 BD 对折，A 与 C 重合，AFCF,故正确，FADFCD,ADBC,FADFEC,FCDFEC,又CFGEFC,CFGEFC,=,CF2EFGF,AF2EFGF,故正确，菱形 ABCD 中，BAD120，BCD120，DCE60，CBDCDB
31、30，ADCDBC,设 ADCDBCm,DEBC，DEC90，RtCDE 中，CECDcos60=12CD=12m,BE=32m,ADBE,=32=23,设 AF2n，则 CFAF2n,EF3n,又 CF2FGEF,(2n)2FG3n,FG=43n,EGEFFG=53n,FG:EG(43n):（53n)4:5,故正确，设 CEt,RtCDE 中，CD2tAD,DE=3t,RtBDE 中，BD2DE23t,ADBE,=23,DF=25BD=435t,RtDFH 中，FH=12DF=235t,RtADE 中，AE=2+2=(2)2+(3)2=7t,EF=35AE=375t,FG:EG4:5,FG=
32、49EF=4715t,RtFHG 中，cosGFH=2354715=32114,故正确，故答案为：【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及菱形的轴对称性、三角形相似的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形性质，从图中找出常用的相似三角形模型解决问题 三、解答题：（本大题共 8 个小题，共 86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17（9 分）（2021资阳）先化简，再求值：（2+2+12111）21，其中 x30【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将 x 的值代入求出答案【解答】解：原式（2+2+121+121）12=2+2112 =(+1)(+1)
33、(1)12 =1,x30,x3,此时，原式=13【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键 18（10 分）（2021资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图 请根据图中信息，解答下列问题：（1）求 C 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；（2）若 D 类职工中有 3 名女士和 2 名男士，现从中任意抽取 2 人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率【
34、分析】（1）由 B 类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；（2）画树状图，共有 20 种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有 12 种，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）调查的职工人数为：15075%200（人），C 类职工所对应扇形的圆心角度数为：36015200=27，A 类的人数为 20015015530（人），补全条形统计图如下：（2）画树状图如图：共有 20 种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有 12 种，恰好抽到一名女士和一名男士的概率为1220=35【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率所
35、求情况数与总情况数之比 19（10 分）（2021资阳）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励现要购买甲、乙两种奖品，已知 1 件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40 元，2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70 元（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用【分析】（1）设甲种奖品的单价为 x 元/件，乙种奖品的单价为 y 元/件，根据“购买 1 件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40 元，购买 2 件甲种奖品和 3
36、件乙种奖品共需 70 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品 m 件，则购买乙种奖品（60m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之可得出 m 的取值范围，再由总价单价数量，可得出 w 关于 m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为 x 元/件，乙种奖品的单价为 y 元/件，依题意，得：+2=402+3=70，解得=20=10，答：甲种奖品的单价为 20 元/件，乙种奖品的单价为 10 元/件（2）设购买甲种奖品 m 件，则购买
37、乙种奖品（60m）件，设购买两种奖品的总费用为w，购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 2 倍，m12(60m)，m20 依题意，得：w20m+10（60m）10m+600，100，w 随 m 值的增大而增大，当学习购买 20 件甲种奖品、40 件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是 800 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 w 关于 m 的一次函数关系式 20（10 分）（2021资阳）如图，已知直线 ykx+b（k0）与双曲线 y=6相交于 A（m，3
38、）、B（3，n）两点（1）求直线 AB 的解析式；（2）连结 AO 并延长交双曲线于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D，连结 AD，求ABD 的面积 【分析】(1)由反比例函数解析式求得 A、B 点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 AB 的解析式；（2）根据反比例函数的对称性求得 C 的坐标，即可根据待定系数法求得直线 BC 的解析式，从而求得 D 的坐标，利用三角形面积公式求得 SACDSAOD+SCOD3,根据勾股定理求得 CD、BD 的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得ABD 的面积【解答】解：（1）直线 ykx+b（k0）与双曲线 y=6相交于 A（m，3）、B（
39、3，n）两点 3m3n6,mn2,A(2,3),B(3,2),把 A(2,3),B(3,2)代入 ykx+b 得2+=33+=2,解得=1=5,直线 AB 的解析式为 yx+5；(2)AC 经过原点 O,A、C 关于原点对称，A(2,3),C(2,3),设直线 CB 的解析式为 ymx+n,2+=33+=2,解得=1=1,直线 BC 为 yx1,令 y0,则 x1,D(1,0),SACDSAOD+SCOD212133,BC=(3+2)2+(2+3)2=52,BD=(3 1)2+22=22,CDBCBD32,=32,SABD=23SACD2【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定
40、系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键 21（11 分）（2021资阳）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，DEAC 交 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 AC6，tanE=34，求 AF 的长 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得ABCACBOBDODB，可证ODAC，可得 ODDE，可得结论；（2）由锐角三角函数可求 DE4，在直角三角形 ODE 中，由勾股定理可求 OE5，通过证明AEFOED，可得=，即可求
41、解【解答】证明：（1）如图，连接 OD，ABAC，ABCACB，OBOD，OBDODB，ODBACB，ACOD，DFCODF，DEAC，DFCODF90，ODDE，DE 是O 的切线；（2）AC6AB，AOOB3OD，ODDE，tanE=34，=34，DE4，OE=2+2=9+16=5，AEOEOA2，ACOD，AEFOED，=，25=3，AF=65【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出 OE 的长是解题的关键 22（11 分）（2021资阳）资阳市为实现 5G 网络全覆盖，20202025 年拟建设 5G 基站七千个如
42、图，在坡度为 i1：2.4 的斜坡 CB 上有一建成的基站塔 AB，小芮在坡脚 C 测得塔顶 A 的仰角为 45，然后她沿坡面 CB 行走 13 米到达 D 处，在 D 处测得塔顶 A 的仰角为 53（点 A、B、C、D 均在同一平面内）（参考数据：sin5345，cos5335，tan5343）（1）求 D 处的竖直高度；（2）求基站塔 AB 的高 【分析】（1）通过作垂线，利用斜坡 CB 的坡度为 i1：2.4，CD13，由勾股定理可求出答案；（2）设出 DE 的长，根据坡度表示 BE，进而表示出 CF，由于ACF 是等腰直角三角形，可表示 BE，在ADE 中由锐角三角函数可列方程求出 D
43、E，进而求出 AB【解答】解：（1）如图，过点 C、D 分别作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E、F，过点D 作 DMCF，垂足为 M，斜坡 CB 的坡度为 i1：2.4，=12.4，即=512，设 DM5k，则 CM12k，在 RtCDM 中，CD13，由勾股定理得，CM2+DM2CD2，即（5k）2+（12k）2132，解得 k1，DM5，CM12，答：D 处的竖直高度为 5 米；（2）斜坡 CB 的坡度为 i1：2.4，设 DE12a 米，则 BE5a 米，又ACF45，AFCF（12+12a）米，AEAFEF12+12a5（7+12a）米，在 RtADE 中，DE12a，AE7
44、+12a，tanADEtan5343，7+1212=43，解得 m=74，DE12a21（米），AE7+12a28（米），BE5a=354（米），ABAEBE28354=774（米），答：基站塔 AB 的高为774米 【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法 23（12 分）（2021资阳）已知，在ABC 中，BAC90，ABAC （1）如图 1，已知点 D 在 BC 边上，DAE90，ADAE，连结 CE试探究 BD 与CE 的关系；（2）如图 2，已知点 D 在 BC 下方，DAE90，ADAE，连结 CE若 BDAD
45、，AB210，CE2，AD 交 BC 于点 F，求 AF 的长；（3）如图 3，已知点 D 在 BC 下方，连结 AD、BD、CD若CBD30，BAD15，AB26，AD24+3，求 sinBCD 的值【分析】（1）证明BADCAE（SAS），进而求解；（2）证明四边形 ADHE 为正方形，则 BHBD+DH2+68,CHHECE624,在RtBCH 中，tanCBH=48=12,在 RtBDF 中，DFBDtanCBH212=1，进而求解；（3）由 DE22AD2DH2+EH2，得到（3x）2+（3+x）22（4+3），求出 BDx1，在 RtBCD 中，CBD30，BC23，BD1，用解直
46、角三角形的方法，即可求解【解答】解：（1）EAC+CADEAD90，BAD+DAC90，BADCAE，ABAC，ADAE，BADCAE（SAS），ACEABD45,BDCE，BCEACB+ACE45+4590，BDCE 且 BDCE；（2）延长 BD 和 CE 交于点 H，由（1）知 BDCE，即H90，CEBD2，而ADH90，DAE90,故四边形 ADHE 为矩形，而 ADAE，故四边形 ADHE 为正方形，在 RtACE 中,AE=2 2=2 2=(210)2 22=6DHEHAD，则 BHBD+DH2+68,CHHECE624,在 RtBCH 中，tanCBH=48=12,在 RtBD
47、F 中，DFBDtanCBH212=1，故 AFADDF615；（3）作DAE90，使 ADAE，连结 CE，延长 EC 和 BD 交于点 H，连接 DE，由（1）BDCE 且 BDCE，即H90，由作图知，ADE 为等腰直角三角形，设 CEBDx，在 RtBHC 中，HBC30，BC=2AB=2 6=23，则 CH=12BC，BHBCcos303，则 DHBHx3x,EHCH+CEx+3，则 DE22AD2DH2+EH2，即（3x）2+（3+x）22（4+3），解得 x23（舍去）或 1，即 BDx1，过点 D 作 DNBC 于点 N，在 RtBCD 中，CBD30，BC23，BD1，则 N
48、D=12BD1,BNBDcos30=32，则 CNCBBN23 32=332,则 tanBCD=1332，则 sinBCD=714【点评】本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等、解直角三角形、勾股定理的运用等，综合性强，难度较大 24（13 分）（2021资阳）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 B（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一点，BP 与 AC 相交于点 E，当 PE：BE1：2 时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 CD 方向平移，
49、使点 D 落在点 D处，且DD2CD，点 M 是平移后所得抛物线上位于 D左侧的一点，MNy 轴交直线 OD于点N，连结 CN当55DN+CN 的值最小时，求 MN 的长【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决(2)如图 1 中，过点 B 作 BTy 轴交 AC 于 T,过点 P 作 PQOC 交 AC 于 Q设 P(m,m2+2m+3),求出 BT,PQ,利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可（3）如图 2 中，连接 AD,过点 N 作 NJAD 于 J,过点 C 作 CTAD 于 T证明 ADx轴，由 OD=2+2=35,推出 sinODA=55,推出 NJNDsinODA
50、=55DN,可得55DN+CNCN+NJ,根据 CN+NJCT,可得结论【解答】解：（1）yx2+bx+c 经过 B（1，0），C（0，3），=31 +=0,解得=2=3,抛物线的解析式为 yx2+2x+3 (2)如图 1 中，过点 B 作 BTy 轴交 AC 于 T,过点 P 作 PQOC 交 AC 于 Q 设 P(m,m2+2m+3),对于抛物线 yx2+2x+3，令 y0,可得 x3 或1，A(3,0),C(0,3),直线 AC 的解析式为 yx+3,B(1,0),T(1,4),BT4,PQOC,Q(m,m+3),PQm2+2m+3(m+3)m2+3m,PQBT,=12,m2+3m2,解