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1、专题22切线问题一、单项选择题（2021 云南红河高三月考（理）以下关于三次函数制=、法2+以+或/0） （xeR）表达正确的是（）函数/（x）的图象一定是中心对称图形；函数7“）可能只有一个极值点；当/了-2时，/（*）在4 = %处的切线与函数），= /*）的图象有且仅有两个交点； 3a当&S时，那么过点（天，）的切线可能有一条或者三条.A. B.C.D.【答案】A【分析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断.【详解】/（X）= 3clx2 + 2bx +。的对称轴为X 二 一二的轴对称图形，所以/（x） = axy +bx2 +cx + d必定是中心对称图 3a形，
2、且对称中心为（*/卜V）所以正确：（或者可用/（一导:| +-/；| = 2/1一第证明）由于函数/（X）的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故错误；设切点为（如/（%）, Xo） = N+Z?x：+K+d,斜率攵= /（%） = 3aq；+2Z%+c,切线为 了 一 / （/）=（工-玉），所以（加 + 加 + ex + d） - （av； + b* + cx0 + d ）= （x-Xo）（33+2Zuo + c）,化简得：（xf）2（o+2叫+） =。，/. x = %或者x = _2a）+ ,所以当% = 心时，即面=?时，切线与/*）有唯一的交点，当事工-?时，切
3、线与/（%）有两个不同的交 a3a3a点，所以正确；过点（如%）的切线的切点不一定是（不，）,设切点为（内，/（%）,那么切线方程为y-/（x） = /（x）（xf）,因为（不，/（%）在切线上，所以/（七）一/（%）=/（王）（陶一斗）,将/,（%）=渥 +麻+cq + d, /（xJ = M+bx：+B|+, /（xj =孙?+2如+c代入飞）一/（石）=）（再）（飞-e）化简可得:-Ao）2 （ax. + 2ax（） +Z?） = 0 ,二l =/或者$ =-也正,所以【详解】因为 / (X)= ar+sin X,所以 / (x) = a+cos x,因为函数/(x) =，M+sinx的
4、图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在工=内和1=占处的切线互相垂 直，贝 I (a+cos %) (a+cos x2) = -l,即 +(cos xi +cosx2)a + cos x, cos 七+1 = 0 ，因为a的值一定存在，即方程一定有解，所以 = (cosk+cosx2)2-4(cosX|Cosx2+1)2。，即(cos% -cos.gY 之4 ,解得cosX| -cosq ?2 或cose -cos9 4-2 ,又|cos,v|wi ,= l,cosx2 =-I ngcosx, =-l,cosx2 = I , A = o,所以方程变为/ =0,所以4 = 0,应选：B.【点
5、睛】关键点睛：此题考查导函数的几何意义，关键在于根据直线垂直的条件将问题转化为方程有解，再由根的 判别式和余弦函数的值域得以解决.11. (2021 全国高三专题练习)假设曲线/(x) = alnx + (a + l)x2 + imeR)在点0J)处的切线与直线 7x+y-2 = 0平行，且对任意的x，we(O,e),x产W,不等式|/(内)-/(占)|?|内-刈恒成立，那么实数利 的最大值为()A. 75B. 2Gc. 473D. 56【答案】C【分析】由函数解析式得/(1)且定义域为(0,+8),结合有r=-7求a值，进而可知/(X)的单调性，根据已 知不等式恒成立，令玉 / 。易得/伍)
6、+，%/(%) +，叫恒成立,假设8(力=/(丫) + “氏%即有/(刈4, 结合基本不等式即可求m的最大值.【详解】/3/ + 2(+1口 =也2,定义域为(0，y),又/(1) = 一7,2(4+1) +。/.j=-7,可得a = _3./. /(x) = -31nx-2x2 + l,且广(R=三二2心一司二f (8)- /(芭) 加(再- W ),即/(%2 ) +，% /(% ) +叫恒成立.令g(x) = /(x) + a，x0,那么g(x)在(0,+?)内单减,即gx)4O.g(x) = r(x) + ? = 2-4x +机 W0(x0),而3 +当且仅当 x 时等号成立，.X2m
7、 =+ x-+ 1叫，I 1 L , 2 .故=+ 7， = -1+ lnx0玉)工2 2a + b = -7 -1 + In (x0 0), 题?、,一4构造函数 g(X)= 7 -1 + In 0),g(X)= -y(x + 2)(x-2)其中方。，11 C 1 = + (x-xo),x2-4+ 一3XX【详解】所以g(x)在区间(0,2)上g(x)0, g(x)递增,所以g(x)在区间(0,+e)上的极小值也即是最小值为g(2) =(0,+e)上的极小值也即是最小值为g(2) =2PT1 +In 2 = In 2 2，即2。+ 的最小值为In2-g.应选：B【点睛】本小题解题关键是将。力
8、表示成的形式，然后利用导数求得的最小值.14.(2021 山西灵丘县第一中学校高二月考(理)曲线G ： /(幻=叱在x = 0处的切线与曲线。2 ：g(x) = (aeR)在x = l处的切线平行，令人(x) =/(x)g(x),那么抑x)在(0,田)上()xA.有唯一零点B.有两个零点C,没有零点D.不确定【答案】A【分析】先对函数/(外=必和8(工)=包吧求导，根据两曲线在x = l处的切线平行，由导数的几何意义求出“，得到函数(x) = /(x)g(x) = enx,对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在(0,m)上的最值，即可确定函数零点个数.【详解】x) = xev,r(x)
9、= (l + x),又g(x)=, .43=伫萼， X.X由题设知，r(o)=/(i),即(1+0)/=券，In v那么力(X)= /(x)8(x) = xex - = eInx,. 口 / (xlnx+l)ev h (x) = 6, lnx + = , x 0 ,x x令心)=xlnx+1 , x(),那么= Inx+1,当xe 0,口时，z(x)v。，即函数z(x) = xln1+1单调递减；当 xe(；，+8)时，(x)0,即函数7(x) = xlnx+l 单调递增;(1 A i.,.在(o,*)上?(x)的最小值为，仁=1-0 ,/. W(A) 0 , IjIlJ /(x) 0 , .
10、MH在(0,+巧上单调递增，且(i)=0.h(x)在(0,+e)上有唯一零点，应选：A.【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.(有时也需要利用数形结合的方法进行判断)15. (2021 北京临川学校高三期末)函数/=4伏+射门+匕工，丘2收)，曲线)，= /(x)上 k x总存在两点M(4y),使曲线y = /3在%N两点处的切线互相平行，那么+与的取值范围为( )A.仔+8X J【答案】B( )A.仔+8X J【答案】BB.C.2一 ,+83D.1 ,+oo【分析】I2 I12由题设可
11、知八处=一二+ 4伏+ ；)-1且XG (0,*0),令/ = 一即总存在且)=一/+4(火+)-1=/在(0,*0)XK xxk112上有两个不同的解4=7工，2=，那么l+g=4(A+：),利用基本不等式求+的范围即可.Xk【详解】19 11由题设，/(x) = -r + 4(k + ：A 1 且xw(0,y),令/ = (),y),xk xx要使y=/(x)上总存在两点m(f，x), NdoJ,使曲线y=/(x)在忆n两点处的切线互相平行,211假设双/)=/。)=一产+4伙 + 7)/-1 , A=-*/2=-, k%2.在(O.+oo)上总存在g(/) = ?有两个解分别为乙、弓，而
12、g)的对称轴/ = 2伏+ ：), k故乙+/2=干* = 4仅+$,而内7区：二)2,儿人)K4%+3芭玉241= 4a+7)7TT整理得、+定人儿| I414,再然后令 a（a）+W+XW+/（N）+ X2）,通过转化得出，?（）= -；4-卜4 +T，最后根据函数=ln + L的单调性即可求出取值范围.2a【详解】因为函数一如+ lnx,所以定义域为（0,+）, /以）=公。+ XX因为曲线y = /（x）在点（ J（xJ）处与点卜2，/&）处的切线均平行于X轴，所以M、/是方程以2-奴+1=0的两个不相等的正根，演+=1, X/，=L a/ -4。 0那么,、 ，解得心4, 令万卜。=
13、% +七+ NF + /（内）+ /（工），那么 /?() = I + + ar,2 - ar, +lnx, + av22 -ax2 + Inx2 a 22= 1+i-a+lnl+ll，构造函数 A（x） = -x,xl,通过求导数，判断函数的单调性，进而可得力（另的取值范围为即可得出结 果.【详解】令 f（x） =，g（x） = 1nx,那么r（x）=二，/（x）=L 所以, cxe人2因为h工k,故一;二一1,所以公=%2,因为90,故内1.又占一%二三一占，eV 1令（x） =下-工,工1,.,1 ., / 2 x ,2x eAWl/z（x） = _|=_,当X（l,+co）时，丁 =
14、2-工一炉为减函数，fii2-x-ex 2-l-e 0 ,所以（*）0在。，抬）上恒成立，故（另在。，+8）上为减函数，所以（力9，不等式 /（5）-/（毛）攵（5一王）恒成立，假设函数/（力=2/-Ahix,那么实数A的可能取值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】CD【分析】根据题意，问题转化为火2/（可在工（1，3）上恒成立，进而通过分参和构造函数得到答案.【详解】由/（芭）一/（七）4。-9），X恒成立，可得4之/（同在11，3）上恒成立.因为力=2/-Minx,kk4r24所以，（k） = 4x_7，所以4.4左，即含整理得4（x+l） +8K*.因为xl,3）,所以x+l
15、2,4）.令i = x+l,那么/0,所以g在（2,4）上单调递增，所以g29）,所以C9,应选：CD.【点睛】关键点睛：在证明恒成立问题时，构造函数利用导数求函数最值是解决问题的关健.18. （2021 全国高二课时练习）函数/（x） = e，, g（x）=巾+ ；的图象与直线y =机分别交于a、8两点,那么（）A. |A8|的最小值为2 + hi2B.n使得曲线/（%）在A处的切线平行于曲线8（力在6处的切线当与=一型对叱时，即=-二时，切线只有一条，当/工一二时，切线有两条，所以错误； a3。3。应选：A【点睛】此题考杳导数与函数的对称性的关系，考杳导数与极值，考查导数的几何意义，解题中
16、难度较大.特别是 求切线方程，计算难度很大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，此题属于困难题.2.（2019 江西南昌二中高三月考（文）假设函数/5） = 丁 + 1的图象与曲线C:g（x） = 2a e，+ l（a0）存在公共切线，那么实数。的取值范围为21（ 411、3、A. 0,B. 0,C. r,+8D. r,+8I0l夕）l_e- J【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为 交点问题，计算a的范围，即可.【详解】设函数/）的切点为（毛），%； +1），该切线斜率k = 2x。,所以切线方程为y = 2vV
17、 +1,g W的切点为（对2。/ +1），所以切线方程为y = 2aexx-2aex xl+2aer+,由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得2x0 = 2aex, -x02 +1 = -2aex 内 + 2aex +1，解得 ！ = aex, x0 = 2x, - 2得到新方程为2x2 = ae”，22构造函数a）= e1（x） = （x-l）解得/表示3）与G）存在着共同的交点，而（）过定点（LO），得到M6过。，0）的切线方程，设切点为U，井）,那么），该切点在该直线上，代入，得到浮=涉（七一 1）,解得=2,所以直线斜率为k = /，要使得力（力与/（力存在着交点，那么攵=/
18、工2 ,结合。 o,所以a的取值范围为0,应选A .aI e【点睛】C.函数/(x)-g(x)+?至少存在一个零点D.使得曲线/(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线【答案】ABD【分析】求出A、3两点的坐标，得出|同叫关于，的函数表达式，利用导数求出|AB|的最小值，即可判断出A选项( /fl的正误；解方程广(ln2)= g 2e 2，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数)，= /(%)-g(x) +，的单X/调性，结合极值的符号可判断出c选项的正误；设切线与曲线y = g(x)相切于点c(几g()，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出d选项的正误.进而得出
19、结论.【详解】V 1I令f(x) = =m,得x=lnm,令8=叱+,二降,得 = 2下， 乙 乙( 1 、卅一那么点A(ln肛加)、B 2e 2jn ,如以下图所示：由图象可知，MM = 2jTln?，其中?0，令MM = 2jW-lnz，M/f(w) = 2/-1,那么函数产W)单调递增，且(1 = ，当。，时, 叭, 时，破?) 0.所以，函数如)=2占-血在归)上单调递减，在仁，+8)上单调递增，所以，1人儿加=，口 = 2-lng = 2 + ln2 , A选项正确；,/(A)= ev, g(x) = ln： + J,那么/() = , /(x) = Lz 乙人曲线V = /(x)在
20、点A处的切线斜率为=曲线.V = g (x)在点8处的切线斜率为g曲线.V = g (x)在点8处的切线斜率为g1吁:，2e 2(mA1,令 r(ln?) = g 2e .|(xL、=/7(/)= e_ln： + ?_g令 r(ln?) = g 2e .|(xL、=/7(/)= e_ln： + ?_g ,即机=？，即 2%=1，72e 2那么，=；满足方程2,/吗=,所以，n使得曲线y=/W在a处的切线平行于曲线y=g(M在b处的切线,B选项正确;构造函数 b(x) = /(x) g(x) + ? = eTn： + L：,可得/(x) = e-，乙乙X函数9(x)=e，：在(，+8)上为增函数
21、，由于(|=五一20,使得产)=-；=0,可得/ = 一1皿，当 0x/时，Fz(x)0.- In? + /? + In 2 - - = - + r + /? + In 2 - 2 Jr - - + w + In 2 - - = + In 2 + /? 0 ,V t2 2所以，函数/(x) = x)-g(x)+m没有零点,C选项错误;设曲线y = /(x)在点A处的切线与曲线尸身(%)相切于点C(,g(),那么曲线y = f(x)在点A处的切线方程为y-m = enm(x-nm)，即y = mr+?(1Inm),171同理可得曲线尸g(x)在点c处的切线方程为)，=L+m，-5,1ni = 所
22、以，n,消去得?_(?_l)ln? + ln2 +2= 0 ,-G(x) = x-(x-l)lnx + ln2 + ,贝ij G*(.r) = 1 -lnx = -ln.r , 2xx函数)，= G(力在(O,+“)上为减函数，.G= l0, G(2) = g ln20, 那么存在 sl,2),使得 G，(s) = lns = O,且 x).当0x0,当时，G(x)0, G(8)=y-201n21,/(斓-0。-8(2X)+!恒成立，那么正实数a的最小值为1 2ec.假设/(x),g(x)图像与直线y = z分别交于力，B两点,那么|4臼的最小值为2 + ln2D.存在直线)=与x),g(x)
23、的图像分别交于4 8两点，使得“X)在/处的切线与g(x)在&处的切 线平行【答案】BCD【分析】利用导数求出函数的单调性即可得到函数的最小值，从而判断A;对于B利用同构的思想将不等式转化为Inxj J 、axlnxf参变别离得。2，再构造函数求出参数的取值范围；依题意可得A(ln/几?)，B 2e , x1)那么|A8|=2jT-lnm，再构造函数利用导数求出函数的最小值，即可判断C;根据导数的几何意义得到方 程，解得 ?，即可判断D;【详解】解：对于4因为/?(二炉-1|4一+加，所以以x)= e-_L,令，(的=/一_1 = 0,存在,%使得=；,2 2xx%故/心)在(。,与)单调递减
24、，在区间区+00)单调递增，蛇)的最小值为/?(.%) =淖-1吟-3 + ?，当“吊三十 3-淖时，力（x）不存在零点，故/错误.对于 不等式化为6小一。丫24-|4=*，一|，令y = e -X,那么y = e 1,所以y =-1在（。,一）上递增，故同构可得：依之Inx,即。之也的最大值，令x）=，那么r（X）=，所以x0，e）时，（工）。， XXX当xe,+cc）时，（x）0,所以心）2 =） = ：,所以成立，故B正确.（”/、 1 对于 G 可知 41nM6），B2e 2,mj, | AB|= 2/-Inm 令火x） = 2Unx ”（幻=261一:在（0,+00）上递增，且（g）
25、 = 0,当 x（og（x）O,当 x6，+oo）“（.r）0,所以，e（.r）mM=9（g） = 2 + ln2,故 C正确.（m-L ）J对于。，假设存在） = ?满足题意，可知4犯,8 2e ” ,fM = egf（x） = - l ）xln （ 011f（lnm） = e = m,g 2e 2 =r,因为在在力处与g（x）在8处的切线平行所以有，二, I J 2/ 22e 2即27厂工1，得? =，故存在相符合题意，故。正确应选：BCD22. （2021 福建师大附中高三月考）如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会到达平均速度100公里/
26、小时.上述问题转换成数学语言：，（x）是距离关于时间的函数，那么一定存在： 坐A/*/9）, /（c）就是。时刻的瞬时速度.前提条件是函数x）在 b-a回可上连续，在（。，为内可导，且也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是牛,/（c）是与割线平行的一条切线,与曲线相切于。点.对任意实数七,七（1,3）,且不 %, b-a不等式）恒成立，假设函数/（x） = 2f_&lnx,那么实数A的可能取值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】BCD【分析】根据题意，问题转化为左在（1,3）上恒成立，进而通过分参和构造函数得到答案.【详解】由/(5)-/(七)攵), N恒成立，可得女之4
27、(%)在xl,3)上恒成立.因为/(x) = 2nx,kZrA ,24所以，(工) = ,所以即空火，整理得4+1) + -8。，所以g在(2,4)上单调递增，所以 g(r)e(2,9),所以上29,应选：BCD.23. (2021 江苏无锡市青山高级中学高二期中)函数)，=戈+，过RL0)作切线交函数图像于点xM和点N,记|MN尸g，那么以下说法中正确的有()I时，PMLPN4g)在定义域内单调递增C.，=：时，M, N和(0, 1)共线D. g=6【答案】AC【分析】x.f = -2/先判断出，和脑内=2,再对四个选项一一验证：14/n=T对于A:直接计算即“左叩=-1,即可判断PM_L/
28、W.对于C:用同一法证明：假设跖 N和(Q, 1)共线，得到直线方程片21.将其与y = x + 2联立，利用韦x达定理计算，发现其与小八/所满足的韦达定理相同，即可判断；求出g(/) = 2石炉工，对于B:判断出g(f) = 2后庐二定义域为(yo,-1U。，”)的单调性，即可判断；.对于D：直接求出g(l),即可判断.【详解】对于y = x+,，该函数上任一点x处的切线方程为y = /(%)(x-$)+/(题),那么过R1,O)的切线方程就满 / / 足。=/(%)(1一%)+ /(毛)，即0= 1-= (1一%)+ / =xo2 + 2mo-/ = 0 , xo 7xoJ亦即过y = x
29、+-上的点的两个切线方程均经过/X1.0),此点即题目所给的M,N. xxM + xN = -2z故由韦达定理，有，几几=T所以&MN =2为定值.所以&MN =2为定值.再依次验证四个选项:对于A：因为 kpkpNXN + 一Xn% 1 4 - 11 (X - N ) + XMXNXMXN - = -4/所以当，小寸，Lk-1,所以故A正确;对于C：XM + / = - 1 ,又有3N =2为定值，那么假设，N和(,0, 1)共线，那么直线必为片2Al.将其与 XMXN =1_、一2联立，有2丁+2工-1 = 0.利用韦达定理计算，发现其与%，/所满足的韦达定理相同.故MN和(,0, ) 一
30、八十X1)共线.故C正确;由g(/)=也必/+1上-/|，有g(f) =xw + xN )2 - 4xmxn =2/5 yjr+t ,对于B: g(/) = 2石庐二定义域为(ro,TU0，*o),由复合函数单调性可得g(/)在(f，T上单调递减,在0，内)是单调递增.故B错误.对于 D: g) = 2 石 777?,所以 g(/) = 275W7T = 2而.故 D 错误;应选：AC【点睛】用导数求切线方程常见类型:（1）在尸（见，尤）出的切线：P（%，%）为切点，直接写出切线方程：y-% = r（R（x-小）；(2)过“见,比)出的切线：P(%，%)不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点
31、坐标(N，y),再写出切线方程：y-yrwtx-x.),24. (2021 福建宁德高二期中)假设以函数y = /(x)的图象上任意一点尸(芭,/,&)为切点作切线4,y = /(r)图象上总存在异于P点的点(?(三,八%),使得以Q为切点的切线4与人平行，那么称函数/*)为“和谐函数”，下面函数中是“和谐函数”的有()y = x3 -3xB. y = 3x + -xC. y = sinxD. y = (x-2)2 +ln.v【答案】BC【分析】求出导函数/(x),判断对函数定义域内任意是否都存在当使得八M)= /a).【详解】A.)，= 丁-3X，y = 3x2-3,当玉=。时，y = -3
32、是最小值，不存在不满足题意；A. fM = 3x + -9定义域是“lx/。, /(x) = 3-4,它是偶函数，因此对任意的玉。，取占二-玉都有 XXra)=r(),满足题意,B. /U) = sinx, r(A)= cos.r,它是周期函数，最小值正周期是2万，因此对任意 cR,取占=4+2兀， 都有/)= /a),满足题意，/Cv) = (x-2)2 + lnx,定义域是(0,2), /V) = 2(x-2) + l,x令g(x) = fx) = 2(x-2) + l(x0), gx) = 2-4 =,XX X-当OV%也时,g(x)巫时，g(x)0, g(x)递增，22g冷=2上-4是
33、极小值也是最小值，取1=等，那么不存在2%使得小 不满足题意.应选：BC.【点睛】此题考查新定义，解题关键是理解新定义，并利用新定义进行转化.此题解题实质就是求出导函数/&), 然后确定对函数定义域内任意的王，是否存在工王，使得r(z)=r(),由此可确定导函数/“)的奇偶 性与单调性、最值，从而得出结论.25. (2021 辽宁大连高二期末)设函数.fa)= e2=12/ + 10x,假设曲线丁 = /(力在点外/J(x。)处的 切线与该曲线恰有一个公共点尸，那么满足条件的与可以是()A. In8B. In6C. In4D. In3【答案】ABD【分析】利用导数求出切线方程，转化为=有且只有
34、一个根小令g(x) = /(x)-rk)(x-凝)-/(毛),那么函数以M有唯一零点的，对函数g(x)求导，讨论，确定单调区间，根 据有一个零点求出4的范围，对照四个选项即可得到答案.【详解】因为/(x) = *-l + 10x,所以广(力二2/、-12炉+ 10,那么在点尸处的切线方程为y=/E)(x-%)+/(%)y = /(x)假设在点尸处的切线与该曲线恰有一个公共点。，那么方程组j + /o)有且只有一组解，即方程 /(=/(%)(“一玉)+ /(%)有且只有一个根的令g(x) = /(x) r(%乂70)-/(为),那么函数以用有唯- 零点小，而g(x)=(X)-/(X。) = 2/
35、、_ 12/ _(2“ _ 121 ) = 2(/ _e司)(+ -6).当燎26时，即/Nln6,*一60恒成立，令g(x) =。，得当时，有g(x)x。时，有/(力0；所以g(x)在(f %)上单减,在(7),口)上单增，所以当x =而时,g(x)取得最小值,又g(%)=0,所以y = g(x)由唯一零点小.故与之仙6满足题意.当产=3时，即小=岳3,有短(x) = 2(e-e)io恒成立，所以g(x)在R上单增，又g&) = 0,所以此 时函数有唯一零点.故当/ =垢3时满足题意.当淖6且* =3,即x.%,那么当 xx1时，/(x)0,当时，/(x)0,所以g(x)在S，%),本道题考查了利用导数计算