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1、 专题8 导数的几何意义（切线问题）一、考情分析二、考点梳理1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线.（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上.（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点.（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够
2、成为在点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线. （4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）2、函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边
3、界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导.综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有
4、导数则必有切线，有切线则未必有导数.三、题型突破重难点题型突破1 在某点的切线方程例1（1）、（2021青铜峡市高级中学高三月考（理）已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ）ABCD（2）、（2021全国高三月考（文）函数的图象在处的切线方程为_.【变式训练1-1】（2020河南省实验中学高三二测）已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（ ）A1B2C3D4【变式训练1-2】（2020届四川省成都市高三第二次诊断）曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD【变式训练1-3】（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为_.重难点题型突破2 过某点的切线
5、方程例2（1）、（2018义乌市义亭中学高二期中）已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是（ ）A6B9C6D9（2）、（2022全国高三专题练习）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（ ）ABCe2D【变式训练2-1】（2020铜梁中学校高三期中）已知过点可作两条不同的直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）ABCD【变式训练2-2】（2022全国高三专题练习）已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_重难点题型突破3 综合问题例3（1）、（2021广东实验中学附属天河学校）已知k为常数，函数，若关于x的函数有4个零点，则实数k的取值范围为_.（2）. 己知曲线上存
6、在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D. （3）（2021江西临川一中高二月考（理）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（ ）ABCD【变式训练3-1】（2021全国）已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【变式训练3-2】（2021曲周县第一中学高二月考）设曲线上任一点处的切线的斜率为则函数的部分图象可以为（ ）ABCD【变式训练3-3】 （湖南省长沙市长郡中学2021届高三期中）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，的面积的取值范围是_
7、.四、迁移应用一、单选题1（2022全国高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）ABCD2（2021榆林市第十中学高三月考（文）若直线与曲线相切，则直线的斜率的最大值为（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知为奇函数，且时，则曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD4（2021江西高三月考（文）设函数的图象在点(t，f(t)处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的图象大致为（ ）ABCD5（2021南昌市豫章中学高三开学考试（文）点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ）ABCD6（2021广东汕尾高二期末）若直线与曲线相切，则
8、的值为（ ）A0BC1D27（2021山东省淄博实验中学高三月考）函数的图象存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）ABCD8（2021全国（理）已知函数，且曲线点处的切线方程为，则实数和的值分别为（ ）A，B，C，D，9（2020广西（理）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，且与垂直相交于点，分别与轴相交于点A，则的面积的取值范围是（ ）ABCD10（2021安徽省舒城中学（理）已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为（ ）AB1CD11（2020安徽高三月考（文）已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（ ）ABCD12（2020渝中区重庆巴蜀中学）已知函数若函数有四个零点，则
9、实数的取值范围是（ ）ABCD13（2020河北高三（理）已知函数有两个零点，则实数k的取值范围为（ ）A或B或CD或二、填空题14（2021长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）（文）曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_.15（2021太原市第五十六中学校（理）曲线在点处的切线方程为_.16（2021重庆市江津中学校高二月考）曲线的切线中，斜率最小的切线方程为_17（2021安徽高二月考（理）已知函数，若直线与曲线及均相切，且切点相同，求公切线的方程为_18（2021山东烟台市高二期末）与有一条斜率为2的公切线，则_.19（2021安徽宣城高三（文）曲线在点处的切线与曲线相切
10、，则_20（2021河南许昌（文）曲线在点处的切线方程为_21（2020全国（理）已知曲线在点处与曲线在点处的切线相同，则_22（2021江西宜春市（文）若，则曲线在点处的切线方程是_23（2020四川遂宁市射洪中学高二期中（文）点是曲线：上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于，两点，点是坐标原点，；的面积为定值；曲线上存在两点使得是等边三角形；曲线上存在两点，使得是等腰直角三角形，其中真命题的序号是_.24（2020全国（理）已知函数若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是_25（2020河南洛阳高二期末（理）已知函数，下面四个结论：函数在其定义域上为增函数；对于任意的，都有；有且仅有两个零点；若在点处的切线也是的切线，则必是的零点，其中所有正确的结论序号是_.26（2020江苏南通市）已知函数，在函数的图象上，对任意一点，均存在唯一的点（且、均不为），使得、两点处的切线斜率相等，则实数的取值构成的集合是_.9