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1、专题25切线斜率与割线斜率一、单项选择题1. （2021 广东佛山一中高三月考）函数人（x） = alnx+3 l* + i （avO）,在函数力（劝图象上任取两点AB,假设直线A3的斜率的绝对值都不小于5,那么实数。的取值范围是（）B.【答案】B【分析】先对力求定义域，然后求导，得到函数（另为减函数.将Ji 25转化为6&）+5内4伍）+5W, 内一公构造函数/（n） = /?（x） + 5x,利用其导数恒小于零，结合一元二次不等式的判别式，可求得a的取值范围.【详解】/%） =迎二11三二0,那么（）+5与仇）+5W.设/（x） = （x）+5x,那么/（五）在（0,田）上单调递减，那么J
2、（x）= 2（aT）x +5x + k（）对xg（0,_ko）恒成立,贝ij2（4 1）丁+5x+a0对xw（0,+oo）恒成立，贝I XA0,解之得小一36或在2 + 3 又”0,所以人二一何 444【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中田线人/3的斜率的绝对值都不小于5的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.2. （2021 山西大同高一期中）函数人外送。）是定义在欠上的函数，且是奇函数，以外是偶函数，/Cr） + g（x） = /+aj记/心） = MV） +辿假设对于任意的1N2,都有力（%）一人（再）1,那么/=J-3/+3-
3、91m, UJ，9 (r-3)(2r+3)(1) = 2产-6/ + 3 -/ =-3L，fl,3)时，/(f)0, /(/)单调递增，可知：当，=3时，函数/取得最小值/(3) = -91n3,.冷一=/(夕考应选:BCD【点睛】关键点点睛：此题考查了椭圆的性质及几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值，解题的关键是由题意可得? = -2r,那么-二+ - + (ln|制+ ln|) =连+黑-等+ glnq= /：,然后利用导 a b 3mn J mn 2、1 b 3b b 2 a yb)数求解即可，属于较难题.12. (2021 海南海口中学高三月考。如果两地的距离是600公里，驾车
4、走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会到达平均速度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：/(“是距离关于时间的函数，那么一定存在：/()-/(“)=/), /就是。时刻的瞬时速度.前提条件是函数/(在句 b-a上连续，/(x)在(。力)内可导，且acb.也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是二， b-a广是与割线平行的一条切线，与曲线相切于C点.对任意实数x“We(L3),且不等式/(内)-/(电)江恒成立，可得左Nf(x)在xw(l,3)上恒成立.因为x) = 2f -nx,kZ*A 丁24所以/(x) = 4.l_,所以4x_KA,即多3 整理得4(x+l) +
5、 -8 .XXx+1X+1 因为xw（l，3）,所以x+lw（2,4）.令i = x+1,那么fw（2,4）,式化为4/+ ：-8KA .记g（/） = 4/ + +8外（2,4）,= 4（T）=4（f + ；?（）0,所以身在（2,4）上单调递增，所以 g（f）29）,所以攵之9,应选：CD.【点睛】关键点睛：在证明恒成立问题时，构造函数利用导数求函数最值是解决问题的关键.三、填空题（2021 河南南阳中学高三月考。在R上的函数,5）满足如下条件：函数/（x）的图象关于）轴对称；对于任意xeR, /（2 +力-2-力=0；当工0,2时，/（” = x ;函数4）（力=/（2小“，假设过点（T
6、O）的直线/与函数几）的图象在xeQ2上恰有16个交点，在直线/斜率攵的取值范围是【答案】崎【分析】根据条件判断函数的周期性，函数在一个周期内的解析式，再求出函数启,“）的解析式，作出函数几）。）的 图像，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】由题知任取XWR,有2 + x） = 2t）,那么函数/（X）的图象关于直线x = 2对称，又函数/（r）的图象关于）轴对称，那么/（“是周期为4的周期函数；假设xe2,0,那么re0,2, .二 -x,又/（力是偶函数,所以/（t） = t = /（x）, B|J/（-r） = -x, .re-2,0, / ri/、 fx,O A 2那么函数八1）在一
7、个周期-2,2上的表达式为X, -Z S X U因为九3 = /（2&）, 所以函数启）。）=/（16，cN”，其图象可由的图象压缩为原来的人得到，故函数之（制的周期为104作出函数工5。）的图像,如下图:易知过M（-1,0）的直线/斜率存在，设过点（-1,0）的直线/的方程为），=刈1+1）,那么要使直线/与几臼）的图象在工0,2上恰有16个交点，那么0&七-2-0 16亘，8故直线/斜率k的取值范围是；（），黑、故答案为：（0$【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）别离参数法：先将参
8、数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象, 利用数形结合的方法求解（2021 全国高二单元测试）直线（l-a）x + （a + l）y-4（a + l） = 0 （其中为实数）过定点产，点。在函数丫 = 乂+，的图像上，那么R?连线的斜率的取值范围是.x【答案】-3, + 8）【分析】把直线方程整理成。的多项式，根据恒等式的知识求出定点，的坐标，【详解】 由(1 a) x + (a +1) y _ 4(a +1) = 0 得(-x + y _ 4)a + _x+y _ 4 = 0-x+y-4 = 0fx
9、 = 0.夕(0,4) K，- 4 = 0，解得y = 4作出函数/(幻二+!的图象，如图，直线)=、和)轴是它的两条渐近线，因此当。点在第三象限时, XkpQ e(l,+),当。在第一象限时，直线。可能与函数图象相切，设切点为(/，%),= 那么-11 J ,解得小=万，此时攵=一3,片 七由图象可知2引-3,+ = /+%上I不同两点A(xQi), 8(受，%)，且百一=1,那么以A8)的取值范围是【答案】(0,当 【详解】 因为y = e + 1,所以3=d+lA=*+l,由题意可得h-演卜卜.=(内七)2+(/=/2+芭一七)2 ,又因为七=,所以同= + (-_* +1)2 ,故叭
10、A、B)=心一勺)AB2邛，令=卜一| = ef,那么。(A 8) = 2 + ； + 2 = -411U + 一U7(ar、_ 1Vl _a-B 因为+白22夜，所以以人力=二；-刃有二二-,应填答案(0,=1.14十十z2U点睛：解答此题的关键是如何理解“曲线y = /(.r)在点4 8之间的“平方弯曲度” ”这一新概念的新信息, 然后依据此概念建立了目标函数。(人砂=朝臬=1=ll ,再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用基本不等式求出该函数的最值使得问题获解.旨在考查与检测迁移新信息，运用新概念的创 新意识与分析问题解决问题的创新能力.14. (2021 海南北京师范大学万宁附属中学
11、高二期中)函数/(x) = mnx + L xel,2,函数Ay = ”图象上任意一点的切线的斜率k 1恒成立，那么a的取值范围是.【答案】展+8,【分析】由得竺二之：，14,2恒成立，进行参变别离得+ L xl,2恒成立，设g(x) = Ix+ 求导，分析其单调性，求得函数g(x)的最大值，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】,函数f(x) = lnx + T ,=，. V = /(X)图象上任意一点的切线的斜率k i恒成立，竺二工叩,2恒成立，+ L xel,2恒成立，设 g(x) = ；x + ,，那么 g (x) =1+)(：一)，所以当 1X 啦时，g(x)。，Z XO v-所以g
12、(x)=gx + g在1，拒上为减函数，在及,2上为增函数，313且贝1) = &(2)=弓，所以屋”的最大值为；，.3，.,.实数。的取值范围是展+8, .故答案为：+8).【点睛】易错点睛：此题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点，求函数的切线方程的注意：(1) 首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点.(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可 将切点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重 要的条件.15. (2021 北京二中模拟预测)函数f (x) =2 g (x) =x2 + ax (其中a R) .对于不相
13、等的实数Xi, x2,设m=, n=,现有如卜命题：A| - X2X -对于任意不相等的实数X1, x2,都有m0;对于任意的a及任意不相等的实数x” x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数X1，x2,使得m = n;对于任意的a,存在不相等的实数X1，x2,使得m=-n.其中真命题有 (写出所有真命题的序号).【答案】【详解】对于，因为(x) =2皿20恒成立，故正确对于，取a=-8,即g (x) =2x-8,当%, x?v4时nvO,错误对于，令(x) =g, (x), 0J2xln2=2x+a记 h (x) =2xln2-2x,那么 h (x) =2X (ln2) 2-2存在Xq
14、 (0, 1),使得h (x0) =0,可知函数h (x)先减后增，有最小值.因此，对任意的a, m = n不一定成立.错误对于，由 f (x) =-g (x),即 2xin2=-2x a令 h (x) =2xln2 + 2x,那么 h，(x) =2X (ln2) 2 + 20 恒成立，即h (x)是单调递增函数，当 X + 8时，h （X）f + 8当 Xf 8时，h （x） -8因此对任意的a,存在y=a与函数h （x）有交点.正确考点：此题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形 结合的思想，考杳分析问题和解决能提的能力.16. （2021 重庆
15、字水中学高二期末）函数/。）=匕2的定义域为,假设对任意的占， x ej勺.2,内）一/（/）恒成立,那么实数?的取值范围为. e A - x2x, x,【答案】（-8,4【分析】对小）求导判断“在1。上的单调性，再对不等式变形为/（）-3/（内）-令，再构造新函数 I ex2g（x） = /W-乌，根据单调性的定义可判断g（x）单调递减，再由g（x）W0恒成立，转化为最值问题即可求 .1解.【详解】 因为加中所以小）=所以小）=-XA-2-2A-x（l-21nx）5+ 4W -4（l-lnx） = -7-=-因为,所以/（力0,所以/（演）-/（）G+W）X -x2可变形为 |/（3）-/（
16、七）|（ ：）（% 一/）=4JVj A、X-y X|不妨设那么“Mi4-, X2 K所以/（w）-,即/（M）一?/（$）-2, k X2 Xl J毛Xl令 g(x) = /(x)-?,那么 g(x2)g(xj，所以 g(x) = /(x)-2在(。，单调递减，所以g(x)WO对于xc()T恒成立，/ 、 1 - 21nx in I-/?z-21nx- Zlnxly + zmrinx ”对于 xO,g 恒成立， XX所以Y + 27+41n.YW0对于xw(o3 恒成立，(1 -因为丁 = 2-21nx在(即匹2-21nx对于xc 0,一恒成立，所以，？(2 21nx) 1 0*单调递减，所
17、以in=2-2hJ = 2-2x(-1) = 4, e所以2 V4,故答案为：(,4【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法(1)分高参数法假设不等式月团之0(%。)工是实参数)恒成立,将/(乂4之0转化为/lNg(x)或2g(x)(XG0恒成立,进而转化为4 2g()a或尤鼠力疝工工。)，求8(工)的最值即可.(2)数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系(相对于X轴)求解.此外，假设涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.(3)主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式
18、求解，一般情况卜.条件给 出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.17. (2021 山东济南高三月考)数列q共12项，且=1, 4=2,关于x的函数/1(x) = y-V2+(a；-l)x+1, neN+,假设x = a,田(1 WW11)是函数的极值点，且曲线的)，=/,(同在点也2,6(42)处的切线的斜率为3,那么满足条件的数列n的个数为.【答案】336【分析】求导，由题意可得出何用-卬|=1,根据导数的儿何意义，即可求得4=。或4,分类讨论，即可求得满足 条件的数列4的个数.【详解】因为力3 = 5-。/2+q_1卜 + 1,那么（耳=/24/+ （个-,由可得（MG
19、T = 0 ,那么以“ 一4bl.由题意可得（的）=（%4）2-1=3,可得|一4| = 2, .4=2,可得=。或4.当生=。时，=（%-）+（4-生）+（。4一/）=2-1 = 1,得4+i-4（ = 123）的值有2个I, 1个-1,42_/=.5_卬）+ 3,-6）+ .+（42-4|） = 0-2 = -2 ,得4+4。= 4,5,11）的值有5个1, 3个I,此时，数列3的个数为仁。；=168个；当 % =4 时,“ -4 =3 -4）+（% -%）+3 -4）=2-1 = 1,得+（，=123）的值有2个1, 1个-1,a-。4）+&-%）+ +（出-） = 0-2 = -2 ,
20、得4+4。= 4,5，,11）的值有5个-1, 3个1,此时，数列也的个数为C；C； = 168个.综上所述，数列q的个数为168 +168 = 336.故答案为：336.【点睛】关键点点睛：此题考查数列个数的求解，解题的关键在于确定的值的个数，结合组合计数原理和分 类加法计数原理求解.根据/（x） + g（x）解析式及/*）,&*）奇偶性，应用函数方程组求它们的解析式，进而可得心） = +2x，由题设易知力“）在（1上单调递减，结合二次函数的性质求a的取值范围即可【详解】由题设有：由题设有：fM + g(x) = x +OV.f(-x) + g(_x) = (-x)2 + a(-x) ,/(
21、幻+心)=4双一/(x) + g(x)= (-X)2 +。(一X)/(x) = axg(x) = Jh(x) = ax2 + 2x,h(x) = ax2 + 2x,对于任意的lX /01、仲2 2aa 13. （2021 全国高一课时练习）函数吟假设对任意的为，%,且“产占，都4IX+ Z, X 0成立，那么实数a的取值范围是（）%一工2A.。收）B. 1,8）C. （4,8）D. 4,8）【答案】D【分析】根据/（*）一/。得到函数单调递增,得到, 司一工24-0,解得答案.a 4- -+ 2 2【详解】由丛上30,可知“X）在R上呈增函数，所以 MFa 14-02a4-+22解得4Ka,也
22、可能?.故A, B都不正确.? 0, /. eM 1 ,1 X -h(x) = x-nx ,那么/x) = =-,X X当Ovxl时，(x)l时，”(力0,那么在(I,”)上单调递增，/./(.)/?(!)= 1, gp x-nx 1又函数/(%)是定义在R上的奇函数，且对于任意的9。都有/(*)/)0成立, X 一工2故函数/(力在(F,0)和(0,y)上单调递减，因为?0,不妨设70,那么-0灯(2)= /(一)，? = -，即 |?|=同.帆| + |?叶词=2|小;帅| = |w|_ln网 z .叶同一问间 C- 42应选：D.6. (2021 河南高三月考(文)定义在0, +8)的函
23、数/(力，假设满足对任意两个不相等的实数冬,冬都有*一一2-1)2,那么称函数/(x)为“H函数” .那么以下函数符合上述条件的有()一七片a2; y=ev;_y=ln (x+1)A.B.C.D.【答案】B【分析】转化*7)一*-1)2 =V 0,即函数g(a=/(x 2x在1, +oo)七一工2XlX2上为减函数，对三个函数依次判断即可【详解】田-/(z -1) 2因为2可化为) 0 ,即7-2菁一8 1)27 0.戈 1 + In 2 ；令 g(x) 0. x I + In 2那么函数在(l+ ln2)上为减函数，在(1 + ln2,*c)上为增函数，不符合条件；对于：y = ln(x+l
24、)有g(x) = /(xl)2x = Inx2r,有g(x) =， 2 = ,当xl,+co), g(x)0 XX那么函数在1，*C)上为减函数，符合条件.综合可知，只有函数符合条件应选：B7. (2021 重庆西南大学附中高三月考)定义在欠上的函数人幻满足如下条件：函数八幻的图象3关于V轴对称；对于任意xcR, fM = f(2-x)；当x0,l时，/(a) = -x； (x) = /(4x).假设过点(-1,0)的直线/与函数g*)的图象在xe0,2上恰有8个交点，那么直线/斜率4的取值范围是()A(词B.后)C. (0,1)D.(0用【答案】A【分析】结合可知是周期为2的函数，再结合可知
25、g（x）是周期为方的函数，结合作出g*）在也2上的 图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】 因为函数/（X）的图象关于y轴对称，所以/（X）为偶函数，即/a）=/（T）, 又因为对于任意xeR, /(x) = /(2-x),所以/(x) = /(2-x) = /(-x),从而/（x） = /（X + 2）,即/（a）是周期为2的函数,因为双幻=/（4-V）,那么以x）图像是f（x）的图像的横坐标缩短为原来的g得到，4故8。）也是偶函数，且周期为2xJ =:， 4 23结合当时，=可作出g。）在。2的图像以及直线/的图像，如以下图所示:2-0当x = 7时，易知双外二弓，即a（7,3）,那么直
26、线ma的斜率七人 = 774，4 2_（_）1 14过点（T，。）的直线/与函数g（x）的图象在xeO2上恰有8个交点, 那么只需（）4七八=S，即直线/斜率左的取值范围是（， 应选:A.8. （2021 河南洛阳高二期末（理）函数 =/（幻图象上不同两点A（X，y）, “J为）处的切线的斜1攵-A I率分别是规定孤44） = 一7G叫做曲线），二7。）在点A与点4之间的“弯曲度”，给出以下命题： AB函数y = d-寸+ 1图象上两点A与B的横坐标分别为1, 2,那么以48）右；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A、8是抛物线y = / + l上不同的两点，那么以4B
27、）K2；设曲线），=，上不同两点A&,y ）,仪4,%）,且= 1 ,假设，以儿B） 1恒成立，那么实数t的取值范围是（yo, I） .以上正确命题的序号为（）A.B.C.D. 【答案】B【分析】求导确定的 =1,心=8及A与B的坐标，即可求W(A8),以尸1为例即可判断，设AA为广质+ , 而)， = 2x可得砥=2z, kR=2x2t两点公式求|A8|,进而可知dA8)的范围，由题设易得令m =令一令N 0那么r v令m =令一令N 0那么r ve(l,+8)恒成立，即可求范围.【详解】)/ = 3/-2%，所以 3=1, *=8,而 4(1,1), 8(2,5),那么以 A, B)=二
28、石，错误；以y = l为例,由原=0,即以A8) = o为常数,正确；由y = 2%，设4(西,y), 6*2, K),那么3=2百，=2，可令48为y =辰+力，可知I A8|= Jl + /. |x,-x2|,那么以A8)= J白方以正确；71 + k , | Xj - %21+ k由题设知：3=, 3=*,而 I A3|二 J(N工2)2+(凹一，2)2 = Jl+(e” 泊尸，所以I e* e |I tn I /A,=J+(/_/1，又*-=1,令? = N-e=(b要使/必A8)= J+： 1恒成立,那么4后c (1,+8)恒成立即Y1,错误；综上有正确.应选：B【点睛】 关键点点睛
29、：根据各项条件求心，即以及IA8I,结合“弯曲度” W(A8)的定义，判断正误即可.9. (2021 江苏高二专题练习)函数= /*),当X410时，f(x) = x2-10x + lf其图像的右端点为A,当X210时，其图象是以A为端点且斜率为的射线，假设“，b, c互不相等，且/(a) =/()=/(c),贝la+c的取值范围是A. (。,+8)B. (20,e)C. (20,22)D. (20,70)【答案】D【分析】x2-10x+l,x 102的范围是(10,60),可得结果.【详解】由题，求得点A(10,l),所以当的射线方程：/。) = -；+6x2 -10x+l,x 102当xW
30、】O时，/(x) = x2-10.r+l,易知二次函数顶点B(5,24)因为f(a) =f(b) =f(c),设a， b-a不等式/(%)-)比恒成立，可得4A0,所以g在(2,4)上单调递增，所以g(f)e(Z9),所以49,应选：BCD.10. (2021 重庆高三月考)椭圆C + = 1(。0)的左右顶点分别为5和3,尸是椭圆I： a- b-不同于4 8的一点.设直线力产，皮的斜率分别为m, n,那么当3+ /- + (lnW| + h巾I)取最小 b V 3？) nin 2 值时，椭圆。的离心率不可能是()A.巫B. 1C.BD. 13525【答案】BCD【分析】设?(如先)，千=(“
31、：一片).A(,0), 8(“0),那么a(,2 139/ I . I 1 3 2ay 3a29 b (t/A . a 1rllT 3-7- + + -(ln /n +In ) = + rr + ln = / -,令7=/1,那么3mn) mn 2b3b b 2 a b) b/(r) = 1r3-3r + 3r-91nr,利用导数求出最值，可得微=3,进而可得离心率.【详解】解：设必如坊),)，： =解：设必如坊),)，： =从年父).A（a,0），8（。0）,贝卜 =，?=/A（） + ClA（） Cl护3- 3inn39八 1 1 一3 2/ 3/ 9, b1 + _ + _（lnH + lnH） = _ + _+ _In_ = /