《专题09 立体几何大题证明：平行归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题09 立体几何大题证明：平行归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练（解析版）.docx（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题09立体几何大题证明：平行归类目录一、热点题型归纳1【题型一】“平移法”（平行四边形）证明线面平行1【题型二】 “拉缩法”（中位线）证明线面平行6【题型三】构造平面法证明线面平行10【题型四】线面平行探索性13【题型五】面面平行18【题型六】面面平行探索性22【题型七】线面平行应用：虚做交线27【题型八】平行综合应用31【题型九】翻折与平行34二、最新模考题组练38备注：平行专练，大题只分析训练对应“平行”这一问【题型一】“平移法”（平行四边形）证明线面平行基本规律L利用平移法做出平行四边形2 .利用中位线做出平行四边形【例1】如图，圆锥的顶点为P,底面圆心为。，点8、C、O在底面圆周上，
2、。D BC, OB = 3, PO = BC = 4, M为线段0。上一点，OM = 2MD, A为PC的中点.（1）证明：AM 平面P03；（2）求四棱锥A O3CN的体积.湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）证明见解析2石【解析】【分析】（1）取8尸的中点7,连接07, 7A,利用三角形中位线定理结合条件可得四边形OMAT 为平行四边形，从而得AM 07,进而利用线面平行的判定理可得结论，EFG因为四边形ABC。为平行四边形，所以AC BQ互相平分.又G为尸。的中点，所以0G为三角形AC厂的中位线，所以AQ/OG.因为OGu面加QA/.面BZX7,
3、所以4F/平面BDG.(2)因为四边形ABC。为平行四边形，所以A8CD因为CD u面CDEF, AB仁面CDEF，所以平面CDEF.因为面ABF,面CDEb 口面ABE/7二七?所以 AB/EF.【题型三】构造平面法证明线面平行基本规律做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”，但是在证明后续的“探索性”题型时非常实用。授课时可以先用“中点型”培养“找面做面”的思维。【例。在四棱锥夕ABC。中，BC =BD = DC = 2y/3 9 AD = AB = PD= PB = 2.(1)假设为尸。的中点，求证：BE 平面口。.(2)当平面平面ABC。时，求二面角C-9-5的余弦值.【答案】(1
4、)证明见解析(2) 叵13【分析】(1)作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；(2)建立空间直 角坐标系，利用空间向量解决二面角.(1)取8的中点M,连接EM, BM,由得，BCD为等边三角形，由得，BCD为等边三角形，BM LCD.V AD = AB = 2, BD = 273 , A ZADB = ZABD = 300 9 ZADC = 90 , A BM / AD.又5W 平面B4Q, ADu平面Ri。，囱/平面以D石为PC的中点，M为CO的中点，：.EM/PD.又.EMa平面。，PDu平面以O,M 平面 而。V EM BM = M , PDcDA = D,，平面跳70平
5、面附D1 3u平面BEM, 3E平面以。.【例2】如图，四棱锥P-A8C。中，物，底面ABC。，AD/BC, AB=AD=AC=39 % = BC=49 M为线段AO上一点，AM=2MD, N为PC的中点.(1)证明：MN平面肉&(2)求四面体N - BCM的体积.河南省实验中学2021-2022学年高一下学期期期中考试数学试题【答案】(1)证明见解析述3【解析】【分析】(1)过MN构造平面平行于平面B4B即可；(2)根据题中条件，求出底面积及高即可求出体积.(1) 取中点区连接EN, EM,丁 N为PC的中点，J NE是公PBC的中位线NE/ PB,又： XDBC, ：.BE/AD,*：AB
6、=AD=AC=3, PA = BC=4, M为线段 4。上一点，AM=2MD,：.BE=； BC=AM=2, 四边形ABEM是平行四边形,：.EM/AB,，平面NEM平面以8,.MNu平面NEM, .MN平面 反取AC中点尸，连接NF 府是4%。的中位线，：.NF/PA, NF=LpA = 2,又弘，面488,敏，面 A8CO, 2如图，延长至G,使得CG=AM,连接MG,4加。6且40 =。6,工四边形ACGM是平行四边形，.AC=MG=3,又,：ME=3, EC=CG=2, J MEG 的高/二右，/. SBCM = x BC x /i = x 4 x 亚=2 5 ,22四面体 N- 5c
7、M 的体积 VNBCM=-xS x NF = -x25 x2 = .3 皿 33【例 3】如图，AD/BC且 AO=2BC, ADCD, EG/AD 且 EG = AD , CD/G且 CD = 2/G, DG_L平面A3CO, DA = DC = DG,假设M为Cb的中点，N为EG的中点，求证：MN/平面CDE.【答案】证明见解析【解析】【分析】取”是。G的中点，连接N, MH,证明NH, ”都与平面CDE平行，得面面平行，从而 再得线面平行.【详解】证明：设”是OG的中点，连接N”，MH,由于M是。尸的中点，所以由于AW平面CDE, COu平面CDE,所以平面CDE.由于N是EG的中点，所
8、以NHDE,由于由于NHN平面CDE, DEu平面CDE,所以N”平面CDE.由于 NHCMH=H, NH,MH u 平面 MNH ,所以平面MNH平面CDE,由于MNu平面MNH,所以MN/平面CDE.【例4】在三棱锥。 ABC中，O, E, F,分别是线段AC, AD, 3。的中点，G是0C中点. 求证：FG平面BOE.D河北省唐山市滦南县第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题【答案】证明见解析【解析】【分析】通过构造面面平行的方法来证得/G/平面BOE.【详解】取BC中点H,连GH, FH,VO, , F, ”分别是 AC, AD, BD, 8C 中点，OE/CD, FHU
9、CD ,OEHFH ,TO石u平面80E, FHu平面BOE,尸”平面BOE,V G,“分别是0C5C的中点， GH/OB,:OBu 平面 BOE, G(z 平面 BOE, 平面BOE,； FHCGH = H , fHu平面尸GH, 6” =J16-12 = 2, X1x6x6xsin60 = 9/3 ,所以 Ve-bom = ( X ； hS .ABC = .O 34【题型五】面面平行基本规律面面平行的核心思维是“线面平行二【例。在正方体A3CO-4与G2中，E、尸分别是棱8用和棱CG的中点.(1)求证：平面片平面ACE；试问平面瓦。尸截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.广东省广州市仲
10、元中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】【分析】(1)易证与得到4尸/平面AEC,连接3。交AC于点O,连接OE,那么彳 / /0E , 从而4。/平面AEC ,再利用面面垂直的判定定理证明；(2)由(1)平面与。尸平面ACE,利用面面平行的性质得到AG/AE,再结合正方体的 性质和平行四边形的定义判断.(1) 证明：如图所不：因为区产为中点，那么线E/b, BE = CF ,所以四边形及后。方是平行四边形，那么B/CE,又用尸二平面AEC, CEu平面AEC,所以男尸/平面4EC,连接3。交AC于点0,连接0,那么彳/龙，且旦平面AE
11、C , OEu平面AEC ,所以与。/平面AEC ,又BD c B、F = B、,所以平面3QF 平面ACE；(2) 由(1)知：平面耳平面AC石，且平面/c 4434=30,平面AECI平面所以4G/AE,又AE/O尸，所以。G/QF,乂 GDI ICE,那么 G。/与/，所以四边形8。尸是平行四边形，又DF=DG,故平面B、DF截正方体所得的截面是菱形B、GDF.【例2】如图,在正方体A5CD-A4GA中,E, F, H, G分别是棱A力，AD，CD, BfC 的中点.求证：平面AE/平面”G8D新疆乌苏市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】证明见解析【解析】【
12、分析】利用中位线定理证明EF/HG,得到HGH平面AEF ,连接AC交8。于O,连接AC交EF于 M ,交GH于N,交8D于O,那么可证四边形49MW是平行四边形，得到40/ON,于 是ON/平面A户，最后得到平面户/平面3G”。【详解】连接9D,(2)取BC的中点E,连接。E, 0C,由OB = OC = 3可得OEJ_3C, OE = B 那么可求出 梯形O3CN的面积，从而可求出四棱锥A-WCM的体积2如图，由得OM=qOO = 2.取3尸的中点T,连接OT, 7M,因为A为PC中点，所以7X3C, TA = -BC = 2. 2因为0。3。，所以 7XOM, TA = OM ,所以四边
13、形OMA7为平行四边形，所以AM 07,因为O7u平面PO5, AM仁平面尸05,所以AM 平面PO以(1) 因为A为尸。的中点，所以A到平面03cM的距离为尸。=2. 2取8c的中点区连接。, 0C由 05 = 00 = 3得OE_L5C， OE = y/OB2-BE2 =75.由OM 3C得四边形OBCM为梯形，故 S梯形obcm = Jx(4 + 2)x6=36.所以四棱锥A OBCN的体积匕一。8cM =；xS梯形08cM x? = 2小.【例2】如下图，在四棱锥PABS中，3。平面24。,8。= !4。，E是PO的中点.求证：AD/平面P3C (2)求证：CE/平面B4B.因为E,
14、F , G ,分别是棱4笈，ADr, BfC, C。的中点，所以跖/ABZ, HG/BfDf, 所以 EF/HG,又跖匚平面A尸，GN平面A跖，所以“G平面4石尸，连接ACnBD =。，连接4c交E/于“，交GH于N ,交笈。于。那么 AM = CN = LaO,所以 MN = LaC,又 AO =AC, AC = AC, AC/4C, 222所以四边形AONM是平行四边形，所以AM/ON,又40u平面AF, CWu平面AF, 所以ON/平面A所，又ONu平面BGHD, HGu平面8GHD, HGcON = N ,所以平面AEF/平面3G【例3】如图，长方体ABCD-A4GR的底面是边长为4的
15、正方形，高为2, E,RG分别 是3C,CQ,CG的中点.(1)求三棱锥C-EFG的体积；(2)求证：平面EFG平面A8Q.宁夏吴忠市吴忠中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题2【答案】:证明见解析【解析】【分析】(1)利用体积% 一由G=%.CM，由棱锥体积公式可求得结果；(2)根据三角形中位线性质和线面平行判定可证得E尸平面AAA，同理可得EG平面AB.,由面面平行的判定可证得结论.(1).GC = -x2xl = -.Sqf = CE CF = x2x2 = 2 , GC_L平面 ABCD,C-EFG = Vg-CEF ScEF(2) 连接bdig，,尸分别为中点，.二及7
16、/BD,v BBJ/DD, , BB】=DQ ,.二四边形3D。片为平行四边形，.a)3a，二及7/旦。, 又BQU平面ABQ-E尸二平面ABQ, .产平面A42； 同理可得：EG平面ABR ,又 EGCEF = E, EG.EFcEFG,.二平面石FG平面 43a.【例4】正方体AB8-A/3/C/D, 0/为底面A/8/C/S的中心.求证：平面A8/。平面CiBD；求直线与A4/所成角.湖南省长沙市明德中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)证明见解析呜【解析】【分析】(1)在正方体中，分别证明耳。1/平面G3。，A2/平面。出。，由面 面平行的判定定理可证.(2)异
17、面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解.(1) 证：在正方体ABC。-A4G2中，DDJ/BB ,且DR =所以四边形8。4为平行四边形，那么BQ/BD,同理A。/8G.BDu平面A2a平面GBQ；所以4R/平面G&),同理A。/平面。出。，且所以平面ABQ/平面GED.(2) / ADJ/QB, NG 34是直线A A与84所成角，/ BAl = 4G = BC、,71NG%=每，J直线RA与BA所成角为?.【题型六】面面平行探索性基本规律找面的经验：任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行【例。如图，在四棱柱A3CO-44G2中，点M是线段5Q上的一个动点，E,b分
18、别是设G为棱CO上的一点，问：当G在什么位置时，平面GM 平面8。2月？(2)设三棱锥C-区。方的体积为乂，四棱柱ABC。-的体积为力,求江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)G为CD中点时，平面GEF 平面，12【解析】【分析】(1)G为CO中点时，先证政平面8。耳，再证GE 平面即可证得平面GE尸平面5。，与；(2)由匕一结合BQ/平面3co得力.MC=%映=5匕即可求得G为CO中点时，平面GEb平面3。2百，理由如下：连接8M,取CO的中点G,连接 EG,FG , 因为尸分别是区。,。用的中点，那么跖 跖U平面平面 那么平面, 同理可得G石 BO,
19、 GEg平面BDD4,BDu平面BDD耳,那么GE 平面 又GEcEF = E , GE,EFcz1|GEF,那么平面GEb 平面8OR4 ； (2)由尸是。的中点得匕.蚊=%_即0=:九一加0，又片。13。，3Ou平面3CO,反口仁平 面38,那么42平面38,又点M是线段耳。上的一个动点,那么_血=%-咖=5%-4BCD匕BCD - ABiGD =%匕，1 11 M 1K=-x-V2=-V2,那么不运【例2】如图，在四棱锥P-A3CD中，底面四边形A3C。是平行四边形，AB = 1, AD = 2,乱尸 分别为棱PC 43的中点.证明：平面ADP；(2)在底面四边形内部(包括边界)是否存在
20、点G,使得平面GEb平面ADP?如果存在求 点G的位置，并求/G的最大值，如果不存在请说明理由.湖北省问津联合体2021-2022学年高一下学期5月质量检测数学试题【答案】(1)证明见解析存在，理由见解析，m的最大值为2【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行；(2)取CD中点为V,连接VF, VE,证明出面面平行，从而得到点G的位置，且求出用 的最大值.(1) 证明：取尸。的中点0,连接AO,OE.QVPCZ)中，01分别为。/。的中点，/. OE/CD,OE = CD,瓦尸分别为P。48的中点，/. AF/CD,AF = -CD, /. AF/OE, AF = OE
21、9 2故四边形AFEO为平行四边形，.瓦7/Q4,斯Z平面AD,OAu平面P4。，二所平面P4D.解：取CO中点为V,连接VF, VE,在PCD中，,石分别为。,。的中点，班夕。，VEa平面P4D,尸Du平面pa。，.1(Z平面尸3C,那么AO 平面P3C；那么5/3c且所= 3。，那么四边形3CEF为平行四边形，那么C石即，又Bbu平面Ca平面E4B,那么CE平面匕【例3如下图，在直三棱柱A8C-A4G，裕=6, 45C是边长为4的等边三角形，。、 E、歹分别为棱耳G、A4、3片的中点，点尸在棱上，RBC = 4CP4B(1)证明：AP平面。CE；求点3到平面AP尸的距离.湖北省重点高中智学
22、联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】(1)证明见解析迪E/DA四边形43co是正方形，即。是AC中点，而M是矩形ACE尸边E歹的中点，那么有A0 =,AC = L比= ME,且49/ME,于是得四边形49E”为平行四边形， 22那么 AM/QE,又Ou平面EDE, AM(Z平面5DE,所以AM/平面瓦汨.(1) lllm,由(1)知，4/平面及汨，又40(=平面4M，平面4)知0平面区。 = /,因此，/411,AM/平面3DE,又AMu平面ABM,平面ABMc平面及汨=根，因此，m/IAM , 所以/ 根.【例4.如下图，点P是平行四边形A5CZ)所在平面外一点，M,
23、N, Q分别B4, PB, PC的中点，平面P3CD平面APO = /.证明平面MNQH平面ABCD ；(2)求证：1/IBC.【答案】(1)证明见解析证明见解析【解析】【分析】(1)由线面平行、面面平行的判定即可证明.(2)利用线面平行的性质定理即可证明.(1) 证明：因为M, N,。分别B4, PB, PC的中点，所以MN/AB,NQ/BC, 又 MN, NQ u 平面 ABC。AB, 3C u 平面 A5CD,所以 MV/平面 A3CZ), NQ/平面 A3CQ,因为 MNp|NQ = N, MN,NQu 平面 MNQ,所以平面MNQH平面ABCD,证明：因为6C/AD, ADu平面PA
24、。，3cz平面PAD, 所以BC/平面PA。，又平面P4DD平面P8C = /, BCu平面P3C, 所以3C/.【题型八】平行综合应用【例1】如图，在四棱柱A5CO-44G2中，点M是线段四。|上的一个动点，E,b分别是求证：73/平面BDDB；(2)设G为棱CO上的中点，求证：平面GEF/平面BQ。4.福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学 试题【答案】(1)证明见解析证明见解析【解析】【分析】(1)如图，连接证明族/BV,结合线面平行的判定定理即可证明；取C。的中点G,连接EG FG,推出EG/8D,证明EG/平面83。旦，结合族/平面证
25、明平面G/平面即可.(1) 在四棱柱ABC。-中，连接8M,如图，因E,尸分别是5C, CM的中点，那么有EF引0,又EFB平面8Wu平面3。耳，所以EF/平面BDD耳;G是QC中点，使得平面GEF/平面BDQ4,理由如下：取CD的中点G,连接EG FG,而后是3c的中点，于是得EG/BD,而EG仁平面BO。4, BDu平面5。4,从而得EG/平面BDD禺,由(1)知政/平面8。，与，EFCEG = E,且斯、Gu平面GE/L因此平面GF/平面,所以当G是。的中点时，平面GE产/平面【例2】如下图，在三棱柱ABC-A4G中，E、F、G、分别是A& AC, 4月，4G的 中点，求证：(1)G 平
26、面4石户(2)平面 EF II 平面 BCHG.黑龙江省七台河市勃利县高级中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由G是ZX4与G的中位线和石/是aABC的中位线，得到跖G,然后应用线面平 行判定定理即可；(2)由(1)知GH 平面4片尸，然后证明8G平面4片尸，再应用面面平行判定定理即 可.(1) 因为g, h分别是A片，4G的中点，所以G是与弓的中位线，那么GAII4G，因为，尸分别是4瓦，4G的中点，所以E/是aABC的中位线，那么族/3C,又因为4G3C,所以EFGH , Fu平面4片/，GHa平面AEF所以G 平面4石尸.(2) 由G, E分别为44，A8的中点，4片 AB,所以A|G|E3, AG = EB,所以4E8G是平行四边形，所以A|G3. 4Eu平面4/，5Ga平面4石厂所以8G 平面AH又3GU平面3C”G, GHu平面BCHG,且BGnGH = G,所以平面/平面3C”G.【例3】如图，四棱锥P-A3CD中，底面A8CO为平行四边形，点M、N、。分别是PA. BD、PO的中点.求证：(1)MV平面 PCD；(2)平面MNQ /平面PBC.广西三新