《专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练（解析版）.docx（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题10立体几何大题：垂直及其应用归类目录热点题型归纳1【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直1【题型二】面面垂直5【题型三】线线垂直10【题型四】垂直应用1：线面角13【题型五】垂直应用2：二面角17【题型六】翻折中的垂直20【题型七】垂直探索型25【题型八】垂直应用3：角度综合30二最新模考题型36【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。【例1】长方体AG中，
2、棱A8=8C=3,棱BB7=4,连接8/C,过B点作8/C的垂线 交CC/于E,交HC于F.直的判定可得A/：_L平面COE,而A尸 8G,所以可得8GL平面COE,然后由面面垂直 的判定定理可证得结论(I)取CE的中点G,连接产GAG,因为尸为。的中点，所以AGOE, FG = ；DE,因为A8_L平面AC),，平面ACD,所以A8OE,所以卬 A8,因为人8 = :。,所以/G = A8,所以四边形GE48为平行四边形，所以MBG,因为4/飞平面BCE，BGu平面BCE,所以AF 平面3CE,(2)因为ZVI。)为等边三角形，”为CQ的中点，所以因为。EJ_平面ACO, A尸u 平面AC。
3、，所以因为。=。，所以AE_L平面CDE,因为AFBG,所以AGJ平面CQE,因为BGu平面8CE,所以平面ACEJ平面CQE【题型三】线线垂直 【例1】如图，三棱柱A8C-A4G中，侧面叫CC为菱形，AC = ABl.(1)证明：ABA.B.C；(2)假设4c_L4/ NC%=60, AB = BC,求直线A4与平面ACq所成的角.【答案】(1)证明见解析60【分析】(1)连接8G，交用。于点。，连接A。，证明出B0_L平面A8。，再利用线面垂 直的性质可证得结论成立；(2)分析可知直线Ad与面4BC所成角等于直线A8与面八印？所成角，证明出BOCmROA,可得出AO_L8O,证明出8。_1
4、面八4。，可得出NBAO是直线A8与面所成角.结合三角形全等可求得结果.(1)证明：连接8。一交用C于点0,连接A。.因为四边形C88C为菱形，所以8G_LCq,。是8c的中点，乂因为AC = AB1,所以A。J.eC, 因为AOc3G=。，.8C_L平面ABO, .ABU平面ABO, .A8_18c. 解：因为AA/伙因，所以直线4罔与面AB。所成角等于直线A3与面AB。所成角.因为 AC_LAq,所以 AO = CO,乂因为A8 = C5, 80 = BO, AO = CO,所以，aBOC%aBOA,所以NC08 = ZA08 = 90 ,即 AO_LBO,T BO上B。, AOCBlC
5、= O,所以3O_L面人与C,所以/B4。是直线/W与面/蜴。所成角. 因为NC54=6。，所以N84O = NBCO = 60，所以直线A3与面同区。所成角等于60 , 所以直线人圈与面AB。所成角等于60 .【例2】如图，在三棱锥A 4C力中，点E, F分别是50, 3c的中点，AB = AD,AEBC, 求证：EF平面ACQ；(2)AE1CD【答案】(1)证明见解析证明见解析【分析】(I)由所 CD即可证明七产平面ACD；(2)由AE_L8), /_14。可证明八七_1平面3。，即可证得AE_LCO.(1) 因为点E,尸分别是BD, BC的中点，所以E尸 CO,又因为所二平面4。，COu
6、平面 ACD,从而E/平面ACQ.(2) 因为点E是8。的中点，且A8=AD,所以AEJ_Q,又因为4E_L8C, 8。匚平面8。，3u 平面 BCD,8CCBD=B,故AE_L平面8CQ,因为。匚平面吕。，所以AE_LCO【例3】如图，在四棱锥P-A8CO中，48co是正方形，PD工平面ABCQ, PD= AB, E,F、G 分别是PCPDBC的中点.p(1)求证：PC LAD；(2)求证：平面尸A8平面E尸G.【答案】(1)证明见解析证明见解析【分析】(1)由PD_L平面ABCD,得AD_LP),再根据线面垂直的判定定理和性质定理 得证(2)由EV/A8证明石厂平面目4乩 由反；/心证明E
7、G平面再由面面平 行的判定定理证明即可.(1) fhPOJL 平面 4BCO,得 AO_LPO,又 4O_LC7)(4BC。是正方形)，PDcCD=D,所以 AD_L 平面尸)。，所以4O_LPC.(2) 由瓦尸分别是线段PG夕。的中点，所以所/C。，又A8C。为止方形，AB/CD,所以 EF/AB, 乂 EFa平面PA3,所以砂/平面P43.因为G分别是线段PC,8C的中点， 所以EG/P8,又EG(Z平面抄V?,所以EG/平面.因为E/nEGME,EREGu平面 EFG ,所以平面FG平面PAB.【例4】如图，四棱锥P-48CZ)的底面A8C。为矩形，%_L底面ABC。，% = /AA,点
8、七是 棱网的中点.(2)假设AB = 2, BC = g,求三棱锥P-ACE的体积.(参考公式：锥体体积公式v=gs/?,其中S为低面面积，为高.)【答案】(1)证明见解析(分析(1)根据矩形和线面垂直性质可证得C8 J_ AB, A4 JL。，从而得到C8，平面PAB, 由线面垂直性质可得结论；(2)利用体积桥的方式可知/_八比二%一w=京如丁8。，由此可计算得到结果.(1) .四边形ABCO为矩形，.CBJ八3；.%_1_平面88。，C3u平面45CO, :.PA1CB； 又PAnA8 = A,户4481平面始8,，。8_1_平面248,AEu平面 Q4B.4 = 25=-X-x2x2=I
9、(2)4 = 25=-X-x2x2=I为依中点，5由（1）知：C4_L平面P48, .匕tce=L/川43。=立 #1 V-CzV- /*A /【题型四】垂直应用L线面角【例1】如图，矩形4BCO中，AB = 2, BC=, M为边CO的中点，将ADM沿直线AM 翻折成AME，且8七=6，点P为线段BE的中点.(I)求证：PC 平面4ME；求直线PC与平面A3历所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析巫10【解析】【分析】(1)取AE的中点。，连接QM, QP构造平行四边形可证；(2)取AM的中点0,先证E。垂宜于底面，根据(1)将问题转化为求角/4例。，然后结 合己知可得.(1)证明：取AE
10、的中点Q,连接QM, QP,因为P，。均为中点，故尸。 A8且=又因为MCA3,且 所以PQawc,所以四边形MCPQ为平行四边形，故PCQM, 又PCa平面AME, QM u平面AME故PC 平面4ME；取人M的中点。，连接。石，OB,因为所以O4_L。石且= 2因为 5M2 =44/2=402+02 =2，432=4所以 8V72+/U/2 = ab2,所以 AM_L8M在 RS8O例中，BO2=OM2 + BM2=- + 2 = -t 22因为 BO、OE2 = BE2,故 EO_LO4，又.O8cQ4 = O，QAu平面ABM, 08u平面ABM故E0_L平面ABM.又 PC/QM因此
11、4M。为直线PC与平面A8M所成角，sin AAMQ = sin(45 - NEMQ)=与(cos ZEMQ-sin NEMQ)cos/EMQ=空二壬 QM也cos/EMQ=空二壬 QM也在 RlZXMEQ中，sinZEA/(2 = - = - = -U, QM 75 v5T故 sin ZAMQ = -.【例2】如图，在四棱锥尸A8C中，底面A8CD是矩形，PA = AD=4, A8 = 2.M是棱尸O 上一点，且 CM =26,4M_L平面 PCD.（1）证明：平面Q48_L平面ABC。；（2）求直线CO与平面ACM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析巫3【分析】（【）根据勾股定理及线面
12、垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及 线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；（2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结 合线面角的定义即可求解.(1) 在矩形A8CD中，所以ACnJP+Z? = 2后.AM J_平面 PCD,CM u 平面 PCD,PDu平面 PCD,:. AM _L CM, AM PD ,AM = J(2病2-QG)2 = 2/2，在Q4O中，,PA = 4O = 4,AM为p。中点，PD = 2MD = 2 x 次 - (2)2 =4夜,PA2 + AD2 = PD2 即 P4JL4),乂 AB 1 AD,
13、AHrAP= A, BA u 平面 PAB、PAu 平面 PAB， 平面又u平面A8CD.平面尸48 J_平面ABCD: 由(1)知，5aca/ =-AM MC = -x2/2x2x/3 = 2/6 ,. AM _L平面 PCD, CO u 平面 PCD,AM 1 CD , 又 CD _L AD, ADnAM = A, AD, AM u 平面 PAD， C)人平面 PAO,又。48,./3_1平面以。， 又批 u 平面 PAD,ABA.PA,PAA. AB,平面 A48c 平面 ABCZ)=A8,PAu 平面 Q4B， 平面48CZ),由(1)知例为PD中点，所以M到平面ABCQ距离为! AP
14、 = 2,设D到平面ACM的距离为h ,由Vo-ACW = M-ACD 即x2/7 =xLx4x2x2,解得h =还,33 23设直线C。与平面ACM所成的角为氏那么 那么sin夕=心一二】.CD 3所以直线与平面ACM所成角的正弦值为它.3【例3】菱形A8CD的边长为2, Z4BC = 60,对角线AC、8。交于点0,平面外一 点?在平面A8CO内的射影为0, PB与平面ABC。所成角为30.(1)求证：fDlPA；HPN(2)点N在线段至上，且9jc”=火，求黄的值.12PB【答案】(I)证明见解析/c、PN 1(2) = PB 4(1)由P。_1_面480。得PO_L8O,然后证明出8D
15、JL面P4C即可(2)由PO_LtRA8C)得心与平面A8C。所成角为NP8O = 3()。，然后利用58c算 出点。到平面PCB的距离为孚,然后利用V3 =Vi即可算出答案.【详解】(1)由题意尸O_LfS A8C。，A PO1BD,菱形A8CO中，ACBD,又POnAC = O,贝 113。_1_面。4。，所以 3D_LP4；(2)因为PO_L面人8CQ,所以总与平面A6CD所成角为NP8O = 30, 又菱形边长为 2, ZABC = 60,所以80 =6，P0 = , PB = 2, C0 = , PC = O.所以cosNBPC = li = , sin NBPC =巫.2.2-V2
16、44设|PN|=RP8|=2/l,点。到平面PC8的距离为d由 Vp-PSC = SdBCD P。= S&PBC 4，BP x x2x2xsinl20x 1 = x x2xV2,解得d 二 一 3 23 247所以。到平面PNC的距离也为豆H.7所以 X，“m=%-pcN =；x；x&x2/lx 乎 = * = % = ；.【例4】如图，平面SA4为圆锥的轴截面，。为底面圆的圆心，M为母线S3的中点，N为 底面圆周上的一点，AB = 4,SO = 6.假设直线SO与MN所成的角为30,求仞V的长.【答案】(I) 4x/107r (2) 2瓜【详解】试题分析：(1)由题意知SOJL平面ABN ,
17、在町ASO8中，由条件和勾股定理求出母线 BS ,由圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积：(2)取08的中点C ,连接MCNC ,由条件和中位线定理可得MCIISQMC的长，由线面角的定义可得NNMC ,在RtAMCN 中由余弦函数求出MN的长.试题解析：(1)由题意知，SOJ平面A8N,在RTA5OB中，OB = -AB = 2,SO = 6,2:.BS = *+G =2而该圆锥的侧面积S = i ()B BS = 4M兀；取。3的中点C,连接MC,NC, M为母线S3的中点，.MC为MOB的中位线,:.mc/so,mc = Lso = 3、 2SO_L平面 ABN： MC _L 平面 ABN
18、,NCu 平面 ABN, .MC_LNC,直线SO与MN所成的角为30。，了./NMCn30。,MC在 RTAMCN 中，- = cos30, MNMC 3. fr.MN = = = 2,3.cos30 V3【题型五】垂直应用2：二面角【例1】如图，在四棱柱人BCD-AqGR中，底面ABC。为菱形，其对角线AC与4。相交 于点。，AB = AD = /.BAD = 60 , AA, = 3 , AB = 2.(1)证明：A。J平面 ABC。；求二面角A - AB- C的正切值.【答案】(1)证明见解析2&【分析】(I)连接那么“38g从。，所以4。=43,由等腰三角形的性质可 得A0_LBD,
19、在aAAB中，由余弦定理可知48 =。，由勾股定理的逆定理可得 从而由线面垂直的判定定理证得结论，(2)过。作OE_L48于E,连接4E，那么可得为二面角AA8C的平面角，从而 可求出其正切值(1) 连接ADA8, 丹。=4优/448 = /44。，4月为公共边，, .4。=48,又 丁。为 8。的中点，在 A4B中,由余弦定理可知A4 =+ 452 -2AV A4cos60。=币,在 RtAOB 中 AO =指，A4 = 3,AO = n/5,满足 4。2 + 4。2 = 442，/40,04，又AOcBOnO, .AO_L平面ABCO.(2) 过。作OE_LA8于 ,连接其邑丁 平面ABC
20、。，AB 平面A8CO, .A0，A8.又.A8_loe且00%。=0,.45，平面4。，凡匚平面4。，48_14,幺E0为二面角八mC的平面角,。 =旦幺田=黎=国=2收2【例2】如图，圆锥顶点为P,底面圆心为0,其母线与底面所成的角为22.5。，A3和CZ) 是底面圆0上的两条平行的弦，轴OP与平面PC。所成的角为60。.(1)证明：平面以B与平面PC。的交线平行于底面；(2)求二面角C-OP-O的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 17-12后.【分析】(1)设平面办8与平面尸C。的交线为/.由题意可证明平面PCO,从而可得 AB/1,从而可证明结论.(2)由题意可得NC8为二面角
21、C-OP-O的平面角.可证平面OPF_L平面PCD,直线OP 在平面PC。上的射影为直线PF, NOP为OP与平面PC。所成的角，通过解三角形可得 答案.【详解】(1)证明：设平面以8与平面PCO的交线为/.V AB/CD, A8(Z 平面 PCQ, .AB/平面 PCOABi面%B,平面办8与平面尸CO的交线为/, A AB/I YB在底面上，/在底面外/与底面平行；(2)因为。P_L。，OPLOC，所以NCOD为二面角COPD的平面角.设CO的中点为 F,连接。忆PF,由圆的性质，ZCOD = 2ZCOF, OF_LCTOPJ底面，CDu 底面，：.OPLCD 0?/2-B /. OC =
22、 -y= = (72 +1)/厂八厂OF gi 2伉在 RtOCF 年 i cos Z.COP = = 7=： = 7673 卜，oc (亚+ h。一cos /COD = cos(2ZCOF) = 2cos2 ACOF - 1 = 17 12夜p【例3】如图，四边形A8C是菱形，且4。= 60,以AO为交线作平面24。JL平面A8C。, 且侧面小是等边三角形，M为AO的中点，连接8M.（1）求证：BM LPDx（2）求证：ADA.PB；（3）求平面P8c与平面4BC7）所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3） 【分析】（I）证明利用面面及线面垂直的性质定理证明即可
23、.（2）利用线面垂直的判定及性质定理证明即可.（3）由二面角的定义可得NPBM即为二面角的平面角即可得解.【详解】（I）连接B。，四边形ABC。是菱形，ZBAD=ar, 那么A8。为等边三角形，因为M为AO的中点， 所以 8M_LAO,乂因为平面240平面ABCD，且平面PADC平面AI3CD=AD .所以8W _L平面以。，由尸Ou平面A4。，所以（2） PM是等边三角形，连接尸M, PMYAD,由 3A/JLAD,n PMcBM = M ,那么同。_1平面尸区W ,因为依u平面08W,那么（3）设等边PA。的边长为2,那么PM = 8M=G，因为平面 PBCn平面 ABCQ = 3C, A
24、D/BC,由（1） , （2）得 PB 工 BC,MBLBC、那么/PBM即为二面角得平面角，因为tan/P8M =1,所以NP3M=X,BM4所以平面.与平面A8CD所成锐二面角的大小町.求证A/C_L平面ESQ；求二面角4/-BEA/的正切值.【答案】(1)证明见解析16【分析】(I)先证明BEJ_平面A4C,那么再证明6。1平面44(,那么AC_L8。, 从而即可证明4/CJ平面EBD：(2)由AgJL平面与BCG，又BFd.BE,那么进而可得幺尸鸟是二面角用-田人的平面角，在RtqBC中，求出8/=1,即可在Rt”叫中求出与厂假设， 从而即可得答案.(1) 证明：.力4JL平面3田C,
25、 .A4_L3E,又/C_L3E, A与0片。=与，.8七_1平面48。，二4。，3,又/V_L 平面 A8CQ, .J8。，且 BOJ.AC, AA1 1 AC = A,.3。_1平面44。，/. A.C1BD,又 BEcBD=B,A/CJ_ 平面 EBD；解：:A耳_L平面用BCG，又B】F上BE；.AFBE,幺尸4是二面角用- BE -人的平面角,12在 RjBfC 中，BC = 3, BB = 4,B。= 5,;. BF =(,在RaBFq 中，BF = B,B2BF2 = y ,tanZA，亚=妆= - = f i Bp 屿 16.y【例2】如图，四棱柱C。-A4CQ的底面A8CD为
26、菱形，Z48C = 60。，其中侧面为矩形，E、尸分别为8C.8c的中点，。在线段AE上，且满足AP:PE = 1:2,过4G和点 Q的平面交于G,交。C于H.(1)证明：bghgh ；(2)证明：G_L平面A/L(3)假设AB=W = 12,且NEPfJ,求四棱锥E - G/7G4的体积.【答案】证明见解析.证明见解析.(3)288【例4】如图，在矩形A8C。中，A8 = 3G，8c = 3,沿对角线8。把48CZ）折起，使点。移到点C ,且C在平面ABD内的射影。恰好落在A8上.（1）求证：平面08cl_平面AOC：（2）求二面角C-AO-8的余弦值.【答案】（I）证明见解析：（2）底.3
27、【分析】（1）由题意易知BCjLAD,根据线面垂直的判定可得8C_L平面ADC,再由面 面垂直的判定证平面DBC 平面ADC .（2）由（1）结合勾股逆定理知CAJ.AZ）,根据线面垂直的判定有A/9_L面CA8,有NCAB 是二面角C-AO-8的平面角，即可求余弦值.【详解】（1）证明：C在平面4?。内的射影。恰好落在A8上，即A8为BC在面抽。上的射影，而 AB_LAO,所以区 UJLA。，V BC LCD, CDCAD=Dt8C_L平面AOC,又8Cu平面DBC,:.平面DBC _L平面ADC .（2）由（1）知：BCAC,在氏 aACB 中，有 AC = 3 五,CA2 + AD2 =
28、CDJCAD.又CAcAB=A,即 AOJL面C48,二面角C - AO - 8的平面角是NCAB,cos Z.CAB =-,AB 3二面角C AO8的余弦值是好.3【题型六】翻折中的垂直【例1】如图1,在直角梯形C。中，AB/CD, A_LA,且人4=八。=；。=1.现以 为一边向形外作正方形人。口、，然后沿边人。将正方形八。针翻折，使平面人/无厂与平面 A8CQ垂直，”为EO的中点，如图2.(1)求证：AM/平面BEC；(2)求证：BC_L平面BOE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行 的判定定理进行
29、证明即可；(2)根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可【详解】证明：取EC中点N,连结MMBN.在4EDC中，M N分别为ED, EC的中点，所以 MN/CD,且由己知 AB/CD, AB = -CD,所以 MNA8, RMN = AB, 2因此四边形MN8A是平行四边形，所以有BN/AM ,乂因为NuF面跖。，且AMs平面BEC,所以AM/平面跳:C；(2)证明：在正方形产中，EDA.AD.又因为平面/JL平面4BCD中，且平面4。样D平面4?C=4),所以小，平面A8CD,又BCu平面A8CO,所以ED_L 3c.在直角梯形ABC。中，AB = AD =
30、CD = f可得BC = 6.在公BCD中，BD=BC = 4i*CD = 2,所以 BD2 + BC2 = CD2.所以8D_L8C,BDcDE = D, BD, Ou平面8cl平面【例2】如图，等腰梯形43CO中，ADHBC, AB = AD = BC = 2, E是BC的中点,AE(yBD=M ,将胡E沿着AE翻折成片AE,使平面与AX_L平面AECQ.求证：。_1平面片。加；(2)求E与平面BXMD所成的角；在线段用。上是否存在点使得MP平面用人。，假设存在，求出差的值；假设不存在, O|C说明理由.1【答案】(1)证明见解析；(2)30。；(3)存在，-74 = -.0)02【分析】
31、(1)首先根据条件并结合线面垂直的判定定理证明AE_L平面片加。，再证明AE/CQ即可求解；(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合条件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及条件，看是否能求出点尸的具体位置, 即可求解.【详解】(1)因为AO/BC, E是8c的中点，所以A3 = AO = 8E = g8C = 2,故四边形A3)是菱形，从而A_L&),所以区沿着AE翻折成8/E后，AEIB , AEDM.又因为qMcOM =M,所以AE平面B】MD ,由题意，易知AD/CE, AD=CE,所以四边形AECO是平行四边形，故AEf/CD,所以CQ_L平面与DM ；(2)因为A
32、EJ_平面与加力，所以耳与平面片”。所成的角为/印必，由条件，可知 A8 = AE = 8, AB = AD = BE = BC = 2 ,所以始AE是正三角形，所以/EMM=3(T,所以瓦E与平面片”。所成的角为30:(3)假设线段上是存在点P,使得MP平面B/。，过点?作也2。交片。于。，连结AQ,如下列图：所以AMCDP。，所以a, M,尸,Q四点共面，又因为平面&AD,所以MP/AQ,所以四边形人MP。为平行四边形，故AM=PQ = ：CO,所以为与。中点，故在线段4C上存在点P,使得MP平面瓦A。，且黑二；.1 C Z【例3】如图，矩形A8CQ中，AB = 2,BC=l,七为C。的中
33、点，把aAOE沿AE翻折，使 得平面4)E_L平面ABCE.D（1 ）求证：AO_L班；（2）在CD上确定一点R 使A。/平面血下；（3）求四棱锥/-A8CE的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）线段CO上取CD的三等分点/（靠近C） ； （3）虫.6【分析】（1）先由勾股定理证明再由面面垂直的性质得出BEJL平面D4E，进 而由线面垂直的性质得出线线垂直；（2）作辅助线并证明AO/FG,再由线面平行的判定定理求解即可；（3）先由面面垂直的性质得出正，平面ABCE,进而确定四棱锥尸-人3CE的高，最后得 出体积.【详解】（I）证明：二平面AZ比_L平面A8CE,平面AOD平面A8CE = A
34、E 又由己知可得AE = 8E = &，AB = 2,，BE1.A：,那么 8EJ_平面D4E ：ADu平面。AE，A BEIAD 故人OJLBE：（2）连接AC交的G,那么穿=g=，在线段C。上取的三等分点尸（靠近C，GA AB 2连接尸G，那么竺二%二,，可得AD/FG CD CA 3而AOu平面出汉”Gu平面5EF,那么AD/平面既产；（3）取AE中点O,连接。，那么。_LAE又平面ADE平面ABCE，且平面ADEC平面ABCE=AEDO JL平面A8CE,在mA4OE中，可得。0 = 12了为C。的三等分点/（靠近C）,J到平面A8CE的距离为二巫=立.3 26可得四棱锥尸-八8CE的
35、体积为:x；（l + 2）x2x聆邛.D【例4】四边形A8C。是边长为2的菱形，N8AO=60。，ACQBD=O,如图甲，以AC为折 痕，将平面A8C翻折到A8c的位置，如图乙，得到三棱锥8-AC。，M为8c的中点， DM=4i .(1)求证：OM平面A8。；(2)求证：平面/WC_L平面QOM；(3)求二面角夕CO0的正切值.【答案】(1)证明过程见详解；(2)证明过程见详解；(3) 侦3【分析】(1)由可得OM/A8,根据线面平行的判定定理，即可证明结论；(2)求出ODOM,通过勾股定理可得。Q_LOM ,结合OO_LAC,可证平面ABC , 即可证明结论；(3)根据(2)可得80_L平面
36、ACO,在平面ACO中，过点。作ON_LCO交。于点N , 连接ZTN,可证二面角的平面角为NBNO,求出OV,即可得出结论.【详解】(1)证明：点。是菱形A8C。的对角线的交点，点。是AC的中点，”为8c的中点J OM/A8 ABu平面 A8C,OM(Z 平面 ABC, A OM 平面 ABI)；(2)证明：在ABC中，： OM/AB, ：.OM =-AB=.2在菱形 A8CO中，NBAD=60。, ACCBD=O,：.OD = -BD = , DO工AC 2 DM= V2，OM2+ OD2 = DM2,：.DO1OM,又：ACfW = O,DO,平面A8C, DOu平面DOM,，平面48C
37、_L平面。0M(3)又(2)可知DOL平面/WC,；.平面A夕C_L平面AC。, BOLAC,平面八Bin平面ACQ = 4C 8。，平面ACO在平面ACO中，过点。作ON_LCO交CO于点N,连接夕N,如图BfOlCD,ON 1 CD,BOl ON = O, C)A平面夕夕N , 二面角8 - CO -。的平面角为ZBNO,由题意可知：BO = , OD = 1 , OC = 6 ,DC = 2, ON = OD，OC , DC 2tan NBNOtan NBNOB,O _ 1 _ 26一而一？J一亍 ,二面角8-CD-。的正切值：巫 3【题型七】垂直探索型【例1】宜三棱柱ABC-4MG中，
38、AB = 5, AC = 3f 3C = 4,点。是线段AB上的 动点.（1）当点。是A8的中点时，求证：ACJI平面区C。；（2）线段A8上是否存在点。，使得平面A8B4,平面。片？假设存在，试求出A3的 长度；假设不存在，请说明理由.9【答案】（1）见解析；（2）-【解析】【试题分析】（1）连接。G，交用。于点后，连接那么点E是3G的中点，利用三角 形的中位线有。E/AG，由此证得线面平行.（2）当时平面用A _L平面 C。用利用CDA.ABXD1AA,，可证得。JL平面A阴4 ,由此证得两个平面垂直. 利用等面积法求得4。的长.【试题解析】（1）如图，连接交BC于点石，连接。石，那么点E
39、是BG的中点，又点。是A8的中点，由中位线定理得。E|AG，因为DEu平面B.CD . AC）a平面B.CD ,所以ACJ平面（2）当8_LA3时平面ABB141平面CDB,.证明：因为AA_L平面ABC，CDu平面43。，所以AA_LCO.又 CD_LAB, AAnAB = A,所以 CO_L 平面 ,因为CDu平面。与，所以平面4B用4 _L平面。片，故点。满足CO_LA8.因为A8 = 5, AC = 3, BC = 4,所以AC? + 8C? = A3?，故AA8c是以角。为直角的三角形，9 乂 CD工 AB ,所以 AO =一 .【例2】如图，在三棱柱48C AMG中，CG_L底面A
40、BC, AC上CB,点。是AB的 中点.(I )求证：AC 1 BCX ；(II)求证：AG 平面CD片.(III)设A8 = 2A4, , AC=BC,在线段A4上是否存在点M ,使得8W _L。线？假设存在，确定点M的位置；假设不存在，说明理由.【答案】(I )见解析；(II)见解析；(III)存在，M为线段A4的中点，理由略.【解析】试题分析：(I )通过证得CG_LAC,且4CJ_4C,即可证得ACJ_平面8CG4，即证AC 1 BJ ；(II )设eq与GB的交点为石，连结DE,因为。是的中点，石是8G的中点，由 三角形的中位线定理得。E / AG，又由线面平行的判定定理即证AG 平
41、面。片；(III)在线段4片上存在点M,使得BM_LCg,且M为线段A耳的中点.证明如下： 由得八人_L CO.由AC = BC，力为线段A8的中点，所以CDJL4B,可得CD_L平面A4,与3 .连接 BM .因为BMu平面所以CQ_L8W,易证8W_L5。，所以8M _L平面与CD , 即可得J_CB1 .试题解析：(I )在三棱柱中，因为CC|_L底面AAC, ACu底面A6C， 所以CG _LAC.又AC_LBC，8CnCC=C,所以AC_L平面BCCM.而BJu平面3CG4，那么 AC 1 BC,.(II)设CB,与C力的交点为E,连结DE，因为。是人B的中点，E是60的中点，所以。
42、七 AC-因为)fu平面。伉，八。12平面。用，所以AG 平面。片.(HI)在线段A片上存在点M,使得8W_LCq,且M为线段A片的中点.证明如下：因为A4, 底面/WC, COu底面AAC,所以A4,_LC、O.由AC = 6C，。为线段AB的中点，所以。又 AA fl AB = 4 ,所以6_1平面人人用4 .取线段A4的中点M,连接8M.因为3M u平面44,用8，所以COJ.BM.由AB = 2M，由平面几何知识可得5M，与。.又。04。=。，所以8W_L平面4co.又平面8C。，所以 _LCg .【例3】三棱锥尸一人3。中，AB = AC = 2、BC = 2&PA = PB = 5
43、面%8_1_面48。.(1)求PC长；(2)求三棱锥体积；(3) AE4C内(含边界)上是否存在点，使面必C.假设存在“点，求出H点 的位置；假设不存在H点，说明理由.【答案】(1)3； (2)金；(3) 存在，在棱Q4上，且A= 述.35【解析】【分析】(1)根据勾股定理可得CA1AB .进而可得ZCAP = 90，再用勾股定理计算PC即可.作AB的中点M,连接PM可知EW _L平面ABC,再求解体积即可.(3)作于H,再证明阳_1面抬。即可.【详解】AB2 + AC2 =BC2 ZC4B = 9O,G4/AZ?. 平面 PAB J_ 平面 ABC,平面平面 ABC = AB, C4u平面
44、ABC CAIAB,可知 C4_L平面 BAB, ZC4P = 90. PC = y/AC2 + AP2 =3-(2)作A8的中点，连接PM,由题意知AM J平面ABC,(3)作3”_L附子“，”在Q4上AH = ABsn /ABH = ABsin ZAPM =.5CAJ_平面 B”u平面 Q4B.；. BH LCA,且 d. PA, C4u平面 PAC, BA u平面PAC, C41 PA = A,：,BH平面PAC,即H存在,在棱PA上,且【例4】长方体A8CO 44GD，点。为gA的中点.（1）求证：ABJ/面 AQD；2RF（2）假设AB = Wa4,试问在线段上是否存在点E使得AC_
45、L AE,假设存在求出 , 3假设不存在，说明理由.BE 4【答案】（1）证明见解析；（2）在线段8片上存在点E有 =-网 9【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平 行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）解决是否存在的问题时先假设存在，如果 推出矛盾那么不存在，如果成立找出成立的点试题解析：（1）证明：连结A。交于点G,所以G为AR的中点，连结&G 在中，。|为四。的中点:.01G AB】：QGu面且八四a面面6分DtGH（2）假设在线段8片上存在点七得4。_L AE,连结48交AE于点M 8。_1.面且 AEu 面 A844 /. BC AE又.ACnBC = C 且 ACBCu面ABC.AE，面