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1、江西省新余市第一中学 2022 届高三高考押题卷 数学（理）试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数1iza，22+iz（i为虚数单位），若12z z是纯虚数.则实数a（）A12 B12 C2 D3 2已知集合22(,)|1Ax yxy，集合(,)|1Bx yyx，则集合AB的真子集的个数为（）A3 B4 C7 D8 3设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 4某学校调查了高三 1000 名学生每周的自习
2、时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30.根据直方图，以下结论不正确的是（）A估计这 1000 名学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是 300 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 C估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 D估计这 1000 名学生每周的自习时间的平均数是 23.875 5为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这
3、个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850 年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51gEmmE，联系两个天体的星等1m2m和它们对应的亮度1E2E.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（）倍.（当x较小时，2101 2.32.7xxx）A1.567 B1.568 C1.569 D1.570 6已知左、右焦点分别为1F，2F的双曲线C：2221(0)16xyaa上一点P到左焦点1F的距离为 6，点O为坐标原点，
4、点M为1PF的中点，若5OM，则双曲线C的渐近线方程为（）A2yx Byx C43yx D4yx 7使用某软件的随机数命令随机生成介于0与1之间的3000个随机数，构成1000个数对,x y z，其中满足2221xyz的共有t个，则以下t值最接近理论值的是（）A524 B314 C628 D105 8已知某几何体的三视图如图所示，点 A，B在正视图中的位置如图所示(A，B 分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从 A 到 B的最短距离为（）A3 32 B3 3 C3 72 D3 7 9已知平面向量,a b c满足24baa b，3cacb，则ca的最小值为（）A21 B71
5、2 C52 D72 10圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即ABC）约为44.5，夏至正午太阳高度角（即ADC）约为88.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）Asin44.5 sin88.5sin44a Btan44.5 tan88
6、.5tan44a Ctan88.5tan44a Dsin88.5sin44a 11已知F为抛物线24yx的焦点，点,A B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若15OA OB(O为原点)，则ABO和AFO的面积之和的最小值为（）A652 B52 C54 D18 12已知函数 cos cossin cos,f xxxxR，有下述四个结论：函数 f x是奇函数 函数 f x的最小正周期是 函数 f x在0,2上是减函数 函数 f x在,2上的最大值是 1 其中正确的结论一共有（）个 A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若(,)2，sintan 22
7、cos，则cos _.14已知正整数7n ，若1()(1)nxxx的展开式中不含 x5的项，则 n的值为_ 15若点A在曲线ln1yx上运动，点B在直线2yx上运动，,A B两点距离的最小值为_ 16以ABC为底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，并且正三棱锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为 45，记正三棱锥PABC和正三棱锥QABC的体积分别为1V和2V，则12VV_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导
8、与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数iy（单位：万元）与时间it（单位：年）的数据，列表如下：it 1 2 3 4 5 iy 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到 0.01）（若|0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式：1122221111()()()nniiiiiinnnniiiiiiiittyyt yntyrttyyt
9、tyy 参考数据：56.957.547，5552211185.2,10,22.78iiiiiiit yttyy（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案 方案一：每满 500 元可减 50 元；方案二：每满 500 元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得 100 元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立 某位顾客购买了 2000 元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由 18已知数列 na满足10011,20121nnnaaaa.（1）证明1na为等差数列，并求数列 na的通项na；（2）设1(1)2nnnnba，求数列 nb的前
10、2n项和2nT.19如图，在四棱锥PABCD，/AD BC，ABAP，PD 平面ABCD，22APBCABAD.（1）证明：PBAC；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.20 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12,F F，P为C上一点，2PF垂直于x轴，且1|PF、12|FF、2|PF成等差数列，1294PF PF.（1）求椭圆C的方程；（2）直线 l过点(1,0)，与椭圆C交于,A B两点，且点A在x轴上方.记212,ABFAFF的内切圆半径分别为12,r r，若122rr，求直线l的方程.21已知函数2()exf xmx（1）若x轴是曲线()yf x的一条切线
11、，求m的值；（2）若当0 x 时，()2sin1f xxx，求m的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）已知曲线 C1：2cossin1xtyt（t为参数），C2：2cossinxy（为参数且0），在以原点 O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 C3：4（R）（1）求曲线 C1，C2的普通方程；（2）若 C2上的点 P对应的参数 2，Q 为 C1上的点，求 PQ的中点 M 到直线 C3距离 d的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知2()21f xxx.（
12、1）解关于x的不等式：2()xf xx；（2）若()f x的最小值为M，且,abM a bR，求证：221abba.1页 参考答案：1A 2C 3A 4B 5B 6A 7A 8A 9D 10A 11A 12A 1314#-0.25 1410 152 2 1614#0.25 17 解：（1）由题知，1(12345)35t ，1(2.42.74.16.47.9)4.75y，5552211185.2,10,22.78iiiiiiit yttyy 则1221114.714.7227.82 56.95niiinniiiit yntyrttyy14.70.970.7515.095 故y与t的线性相关程度很
13、高，可以用线性回归方程拟合；（2）设X表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则24,5XB，2()41.65E Xnp 由于顾客每中一次可获得 100 元现金奖励，因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.6 100160 由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值 160 小于直接返现的 200 元现金，故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖 2页 18（1）由121nnnaaa，得1112nnaa，故1na是公差为 2 的等差数列，故1112(1)nnaa，由1001201a，得113a，故121nna，于是121nan.（2）依题意，(1)212(1)(21)
14、(2)nnnnnbnn ，故222122 3(2)5(2)41(2)nnnTbbbn 232 357(41)(2)(2)(2)(2)nn 1232(35)(79)41(41)(2)(2)(2)(2)nnn 2212 1(2)22221(2)33nnnn .19（1）证明：因为PD 平面ABCD，AB平面ABCD，所以PDAB.又因为ABAP，PDAPA，所以AB 平面PAD.因为AD 平面PAD，所以ABAD.又因为/AD BC，所以ABBC.连接BD.因为22APBCABAD，所以2tan2ABDADAB，2tan2ABACBBC，得ABDACB，又2ACBCAB，所以2ABDCAB，即AC
15、BD.因为PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PDAC，又PDBDD，所以AC 平面PBD，因为PB 平面PBD，所以PBAC.（2）解：由（1）知PD 平面ABCD，ABAD，以D为原点，以DA所在直线为x轴，过点D与AB平行的直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3页 因为22APBCABAD，设1AD，则0,0,0D，1,0,0A，1,2,0B，1,2,0C，0,0,3P，0,2,0AB，1,2,3BP ，2,0,0BC .设平面PAB的一个法向量为111,nx y z，则0,0,n ABn BP得111120,230,yxyz 所以10y.令11z，得1
16、3x，所以3,0,1n.设平面PBC的一个法向量为222,mxyz，则0,0,m BCm BP得222220,230,xxyz 所以20 x，23y，得22z，所以0,3,2m.则 2222210cos,103132n mn mnm，即平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为1010.20（1）设点12(,0),(,0)FcF c，因2PF垂直于x轴，则2(,)bP ca，122FFc，显然有2122PF PFPF，由已知得223|2bPFa，又12122|F FPFPF，即13|42PFc，而2221212|F FPFPF，从而得22233(2)()(4)22cc，解得1c，因222abc，于是
17、得224,3ab，所以椭圆C的方程为22143xy；4页（2）令点11(,)A x y，22(,)B xy，显然直线 l不垂直于 y 轴，设直线:1l xmy，由2213412xmyxy消去 x得22(34)690mymy，122634myym，122934y ym，由题意，有10y，20y，由2121222111|()(|)22ABFSFFyyABAFBFr，而22|4ABAFBFa，得1121()4ryy，由1 21211212211|(|)22AF FSFFyAFAFFFr，又1212|22AFAFFFac，得2113ry，又122rr，解得2153yy，于是得22211221212()
18、3653229(34)35yyyymyyy ym，解得213m，而21513yy ，即1226034myym，0m，得13m ，故直线l的方程为3(1)yx.21（1）根据题意，设切点为0,0 x，由2()exf xmx可得()e2xfxmx，切线的斜率000()e20 xkfxmx，又因为切点0,0 x在曲线()yf x上，所以0200()e0 xf xmx，由00020e20e0 xxmxmx可得：0020mxx，解得02x或00 x（舍），当02x时2e4m，所以m的值为2e4.（2）若当0 x 时，()2sin1f xxx，则2e2sin10 xmxxx 对于0 x 恒成立，令 2e2
19、sin1xg xmxxx，只需 min0g x，01 10g ，e22cosxgxmxx 0 x，则 01 02 10g ，e2sinxgxmx，01 2gm，5页 ecos0 xgxx，所以 e2sinxgxmx在0,单调递增，当1 20m即12m 时，01 20gm，此时 e2sin00 xgxmxg，所以 e22cosxgxmxx 在0,单调递增，所以 e22cos00 xgxmxxg，可得 2e2sin1xg xmxxx在0,单调递增，所以 min00g xg符合题意，当1 20m即12m 时，01 20gm，因为 e2sinxgxmx在0,单调递增，所以存在00 x,使得 00gx，
20、此时当00 xx时，0gx；当0 xx时，0gx；所以 e22cosxgxmxx 在00,x单调递减，在0,x 单调递增，又因为 00g，所以当00 xx时，00gxg；此时 2e2sin1xg xmxxx在00,x单调递减，所以当00,xx时，00g xg，不满足 2e2sin10 xg xmxxx 恒成立，综上所述：m的取值范围为12m.22 解：（1）曲线 C1：2cossin1xtyt（t为参数），转换为普通方程为22(2)(1)1xy 曲线 C2：2cossinxy（为参数且(0)，转换为普通方程为2214xy0y（）（2）由于 C2上的点 P 对应的参数 2，所以 P（0，1），点
21、 Q(2cos,sin1)tt，所以 PQ 的中点坐标为（cossin1,22tt），6页 直线 C3：4（R）转换为直角坐标方程为 xy0，所以 dcostsint1222sin()1242t，当sin()=14t时，min212d 23（1）不等式为2221xxxx，1x时，不等式为22(1)2xx，15x 或15x 所以15x ；01x时，不等式为22(1)2xx，0 x 或2x，无解；0 x 时，不等式为22(1)2xx，2(1)30 x恒成立，所以0 x 综上，原不等式的解集为(,0)(15,)（2）1x时，22()2(1)(1)3f xxxx，在1,)上递增，min()(1)1f xf，1x 时，22()2(1)(1)1f xxxx，在(,1)上递减，所以()(1)1f xf 综上min()1Mf x 2222222212222ababbabaabababbababaabab，当且仅当22,baabab，即12ab时等号成立 所以221abba