学案1函数与方程思想.ppt

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1、学案1函数与方程思想 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.3.数列的通项与前数列的通项与前n n项和是自变量为正整数的函数项和是自变量为正整数的函数,用用 函数的观点去处理数列问题十分重要函数的观点去处理数列问题十分重要.4.4.函数函数f f(x x)=()=(a a+bxbx)n n(n nNN*)与二项式定理密切相关与二项式定理密切相关,利用这个函数利用这个函数,用赋值法和比较法可以解决与二项式用赋值法和比较法可以解决与二项式 定理有关的诸多问

2、题及求和的问题定理有关的诸多问题及求和的问题.5.5.解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位 置关系问题，需通过二元方程组才能解决置关系问题，需通过二元方程组才能解决.6.6.立体几何中的有关线段、角、面积的计算立体几何中的有关线段、角、面积的计算,经常需经常需 用到方程或建立函数表达式的方法加以解决用到方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空建立空 间向量后，立体几何与函数方程之间的关系就能较间向量后，立体几何与函数方程之间的关系就能较 为密切为密切.1.1.设函数设函数f f(x x)=)=x x3 3+x x,则对任意实数则对任意实数a

3、 a,b b,“,“a a+b b0”0”是是“f f(a a)+)+f f(b b)0”)0”的的 ()()A.A.充分必要条件充分必要条件 B.B.充分而不必要条件充分而不必要条件 C.C.必要而不充分条件必要而不充分条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 因为函数因为函数f f(x x)=)=x x3 3+x x,所以所以f f(x x)在在R R上是递增的奇上是递增的奇 函数，又函数，又a a+b b0,0,所以所以a a-b b,则则f f(a a)f f(-(-b b)=-)=-f f(b b),),所以所以f f(a a)+)+f f(b b)0)0，且

4、每一步都是可逆的，且每一步都是可逆的.故选故选A.A.A A2.2.已知已知|a a|=2,|=2,|b b|=1,|=1,为为a a与与b b的夹角的夹角,则关于则关于x x的方程的方程 x x2 2+|+|a a|x x+a ab b=0=0有实数根的概率为有实数根的概率为 ()()A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析因方程因方程x x2 2+|+|a a|x x+a ab b=0=0有实数根有实数根,所以所以=|=|a a|2 2-4-4a ab b=4(1-2=4(1-2 )0)0，C C3.3.对任意对任意a a-1,1,-1,1,若函数若函数f f(x x)=)=x x2 2+

5、(+(a a-4)-4)x x+4-2+4-2a a的值的值 恒为正恒为正,则则x x的取值范围是的取值范围是 ()()A.(1,3)B.(-,1)(3,+)A.(1,3)B.(-,1)(3,+)C.(1,2)D.(-,1)(2,+)C.(1,2)D.(-,1)(2,+)解析解析 因为函数因为函数f f(x x)=)=x x2 2+(+(a a-4)-4)x x+4-2+4-2a a的值恒为正的值恒为正,可可 看成关于看成关于a a的一次函数的一次函数,不妨令不妨令g g(a a)=()=(x x-2)-2)a a+x x2 2-4-4x x+4,+4,x x1 1或或x x3.3.x x(-

6、,1)(3,+).(-,1)(3,+).B B4.4.已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前n n项和满足项和满足S S7 7=S S1616,则则S S2323=_.=_.解析解析 由题意可设由题意可设S Sn n=AnAn2 2+BnBn，所以所以7 72 2A A+7+7B B=16=162 2A A+16+16B B，即，即2323A A+B B=0=0，所以所以S S2323=23=232 2A A+23+23B B=23(23=23(23A A+B B)=0.)=0.0 0题型一题型一 运用函数与方程思想解决函数、方程和不运用函数与方程思想解决函数、方程和不 等式的有关问

7、题等式的有关问题【例【例1 1】对于满足】对于满足00p p44的一切实数，不等式的一切实数，不等式 x x2 2+px+px44x x+p p-3-3恒成立，试求恒成立，试求x x的取值范围的取值范围.解解 不等式不等式x x2 2+pxpx4 4x x+p p-3-3恒成立，恒成立，即即(x x-1)-1)p p+x x2 2-4-4x x+3+30 0恒成立，恒成立，构造函数构造函数f f(p p)=()=(x x-1)-1)p p+x x2 2-4-4x x+3.+3.当当x x=1=1时，时，f f(p p)=0)=0，不满足，不满足f f(p p)0.0.f f(p p)表示表示p

8、 p的一次函数的一次函数,p p0,4,0,4,函数函数f f(x x)的图象是一条线段的图象是一条线段,要使要使f f(p p)0 0在在0,40,4上上恒成立，恒成立，解得解得x x-1-1或或x x3,3,所以所以x x的取值范围是的取值范围是(-,-1)(3,+).(-,-1)(3,+).【探究拓展探究拓展】本题看上去是一个不等式的问题】本题看上去是一个不等式的问题,但是但是 经过等价转化经过等价转化,确定适合的变量和参数确定适合的变量和参数,从而揭示函从而揭示函 数关系数关系,使问题更加明朗化使问题更加明朗化,因此我们把它转化为一因此我们把它转化为一 个简单的一次函数个简单的一次函数

9、,并借助函数图象建立一个关于并借助函数图象建立一个关于x x 的不等式组的不等式组,从而求得从而求得x x的取值范围的取值范围.变式训练变式训练1 1 设不等式设不等式2 2x x-1-1m m(x x2 2-1)-1)对满足对满足|m m|2|2的的 一切实数一切实数m m的取值都成立，求的取值都成立，求x x的取值范围的取值范围.解解 设设f f(m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m-(2-(2x x-1),-1),此为关于此为关于m m的一次函的一次函 数或常函数数或常函数.即即2 2x x-1-1m m(x x2 2-1)-1)对对|m m|2|2的一切的一切m m都成立都

10、成立.所以所以x x的取值范围是的取值范围是题型二题型二 运用函数思想证明不等式问题运用函数思想证明不等式问题【例【例2 2】若】若x x(0,+),(0,+),求证：求证：证明证明 当当t t(1,+)(1,+)时时,f f(t t)0,0,所以函数所以函数f f(t t)在区间在区间(1,(1,+)+)上是增函数上是增函数,则有则有f f(t t)f f(1)=0,(1)=0,即即t t-1-1lnln t t.当当t t(1,+)(1,+)时时,g g(t t)0,0,所以函数所以函数g g(t t)在区间在区间 (1,+)(1,+)上是增函数，上是增函数，【探究拓展探究拓展】在解决值的

11、大小比较问题时，往往通】在解决值的大小比较问题时，往往通 过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解 决，这是一种重要的思想方法决，这是一种重要的思想方法.利用导数解决不利用导数解决不 等式问题时，一般要先根据欲证不等式的结构形等式问题时，一般要先根据欲证不等式的结构形 式及特点，构造相应的函数借助导数研究函数的式及特点，构造相应的函数借助导数研究函数的 单调性，从而使问题迅速解决单调性，从而使问题迅速解决.变式训练变式训练2 2 证明证明 令令x x=1,2,=1,2,n n-1-1时时,代入上式代入上式,将所得不等式两边相将所得不等式两边相 加加,

12、得得题型三题型三 利用函数思想解决数列问题利用函数思想解决数列问题【例【例3 3】已知】已知设设f f(n n)=)=S S2 2n n+1+1-S Sn n+1+1,试确定实数试确定实数m m的取值范围的取值范围,使得对于使得对于一切大于一切大于1 1的正整数的正整数n n，不等式，不等式解解 由由f f(n n)=)=S S2 2n n+1+1-S Sn n+1+1,得得 f f(n n)f f(n n-1)-1)f f(3)(3)f f(2)(2)(n nNN*,n n2).2).要使对于一切大于要使对于一切大于1 1的正整数的正整数n n,原不等式恒成立原不等式恒成立,设设y y=lo

13、g=logm m(m m-1)-1)2 2,则则y y0.0.【探究拓展探究拓展】在解答这类问题时】在解答这类问题时,应首先确定应首先确定f f(n n)的的 表达式表达式,而而f f(n n)是一个不可求和的的数列是一个不可求和的的数列,直接求直接求f f(n n)的最小值是不可能的的最小值是不可能的,进而研究进而研究f f(n n)的单调性可知的单调性可知,f f(n n)是单调递增所以是单调递增所以f f(n n)minmin=f f(2),(2),结合不等式恒成结合不等式恒成 立立,进一步利用函数与方程思想使问题得以解决进一步利用函数与方程思想使问题得以解决.变式训练变式训练3 3 已

14、知已知f f(x x)是定义在正整数集是定义在正整数集N N*上的函上的函 数，当数，当x x为奇数时，为奇数时，f f(x x+1)-+1)-f f(x x)=1)=1；当；当x x为偶数时，为偶数时，f f(x x+1)-+1)-f f(x x)=3,)=3,且满足且满足f f(1)+(1)+f f(2)=5.(2)=5.（1 1）求证：）求证：f f(2(2n n-1)(-1)(n nNN*)是等差数列；是等差数列；（2 2）求）求f f(x x)的解析式的解析式.（1 1）证明证明 由于由于n nNN*，则，则2 2n n为偶数，为偶数，2 2n n-1-1为奇数，为奇数，由题意得，由

15、题意得，两式相加得，两式相加得，f f(2(2n n+1)-+1)-f f(2(2n n-1)=4,-1)=4,所以所以 f f(2(2n n-1)(-1)(n nNN*)是以是以4 4为公差的等差数列为公差的等差数列.(2)(2)解解 所以所以f f(2(2n n-1)=-1)=f f(1)+(1)+(n n-1)4=2(2-1)4=2(2n n-1),-1),因此当因此当x x为奇数时，为奇数时，f f(x x)=2)=2x x,又因为当又因为当x x为奇数时，为奇数时，f f(x x+1)-+1)-f f(x x)=1,)=1,所以所以f f(x x+1)=2+1)=2x x+1=2(+

16、1=2(x x+1)-1,+1)-1,故当故当x x为偶数时，为偶数时，f f(x x)=2)=2x x-1.-1.题型四题型四 运用函数与方程思想解决立体几何问题运用函数与方程思想解决立体几何问题【例【例4 4】三棱锥】三棱锥S SABCABC,SASA=x x,其余所有棱长均为其余所有棱长均为2,2,它它 的体积为的体积为V V,(1)(1)求求V V=f f(x x)的表达式的表达式;(2)(2)当当x x为何值时为何值时,V V有最大值？并求出最大值有最大值？并求出最大值.解解 (1)(1)取取BCBC的中点的中点D D,连接连接SDSD、ADAD,SDSDBCBC,ADADBCBC,

17、所以所以BCBC平面平面SADSAD,取取SASA的中点的中点 E E,连接连接EDED,因为因为SDSD=ADAD=,=,所以所以DEDESASA,【探究拓展探究拓展】在解答立体几何中的在解答立体几何中的“运动问题运动问题”、“最值问题最值问题”等问题时等问题时,常常借助函数思想来解决常常借助函数思想来解决,建立目标函数后建立目标函数后,运用函数的方法来解决运用函数的方法来解决.变式训练变式训练4 4 正三角形正三角形ABCABC的边长为的边长为a a，直线，直线 DEDEBCBC,交交ABAB,ACAC于点于点D D,E E,现将现将 ADEADE沿沿DEDE折起成折起成6060的二面角，

18、的二面角，求求DEDE在何位置时，折起后点在何位置时，折起后点A A到到 BCBC的距离最短，最短距离是多少的距离最短，最短距离是多少.解解 取取BCBC的中点的中点MM,连接连接AMAM交交DEDE于于N N,则则AMAMDEDE，沿沿DEDE折起时折起时,如图所示如图所示,ANANDEDE，MNMNDEDE,则则ANMANM是二面角是二面角 A ADEDEMM的平面角，即的平面角，即 ANMANM=60=60，且，且AMAMBCBC，则线段则线段AMAM的长为所求，的长为所求，设设ANAN=x x，则，则MNMN=在在AMNAMN中，中，AMAM2 2=ANAN2 2+MNMN2 2-2-

19、2ANANMNMNcos 60cos 60所以当所以当x x=时，即时，即DEDE为为ABCABC的中位线时，的中位线时，AMAM最短，且最短距离为最短，且最短距离为 .【考题再现考题再现】(2008(2008天津天津)设函数设函数f f(x x)=)=x x4 4+axax3 3+2+2x x2 2+b b(x xR R),),其中其中 a a、b bR.R.(1)(1)当当a a=时时,讨论函数讨论函数f f(x x)的单调性；的单调性；(2)(2)若函数若函数f f(x x)仅在仅在x x=0=0处有极值处有极值,求求a a的取值围；的取值围；(3)(3)若对于任意的若对于任意的a a-

20、2,2,-2,2,不等式不等式f f(x x)1 1在在-1,1-1,1 上恒成立上恒成立,求求b b的取值范围的取值范围.【解题示范解题示范】解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3+3+3axax2 2+4+4x x=x x(4(4x x2 2+3+3axax+4).+4).f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2-10-10 x x+4)=2+4)=2x x(2(2x x-1)(-1)(x x-2).-2).2 2分分令令f f(x x)=0,)=0,解得解得 x x1 1=0,=0,x x2 2=,=,x x3 3=2.=2.当当x x变化时，变化时，f f(x

21、 x),),f f(x x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：所以所以f f(x x)在在(0,),(2,+)(0,),(2,+)内是增函数内是增函数,在（在（-,0),(,2)-,0),(,2)内是减函数内是减函数.5 5分分x x(-(-,0 0)0 02 2(2,(2,+)f f(x x)-0 0+0 0-0 0+f f(x x)极小值极小值极大值极大值极小值极小值（2 2）f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2+3+3axax+4),+4),显然显然x x=0=0不是方程不是方程 4 4x x2 2+3+3axax+4=0+4=0的根的根.为使为使f f(x x)仅在仅在x

22、 x=0=0处有极值，必须处有极值，必须4 4x x2 2+3+3axax+40+40恒成恒成 立，即有立，即有=9=9a a2 2-640.6-640.6分分 解此不等式，得解此不等式，得 这时，这时，f f(0)=(0)=b b是唯一极值是唯一极值.因此满足条件的因此满足条件的a a的取值范围是的取值范围是 .8 .8分分(3)(3)由条件由条件a a-2,2-2,2可知可知=9=9a a2 2-64-640,0,从而从而4 4x x2 2+3+3axax+4+40 0恒成立恒成立.当当x x0 0时时,f f(x x)0;0;当当x x0 0时时,f f(x x)0.0.因此函数因此函数

23、f f(x x)在在-1,1-1,1上的最大值是上的最大值是f f(1)(1)与与f f(-1)(-1)两者两者中的较大者中的较大者.10.10分分为使对任意的为使对任意的a a-2,2,-2,2,不等式不等式f f(x x)1)1在在-1,1-1,1上上恒成立，当且仅当恒成立，当且仅当所以所以b b-4,13-4,13分分因此满足条件的因此满足条件的b b的取值范围是的取值范围是(-,-4.14(-,-4.14分分1.1.函数与方程思想方法的应用，主要体现在根据问题函数与方程思想方法的应用，主要体现在根据问题 的需要构造辅助函数，从而将所给问题转化为构造的需要构造辅助函数，从而将所给问题转化

24、为构造 的辅助函数的性质的辅助函数的性质,如单调性、周期性、奇偶性、正如单调性、周期性、奇偶性、正 负性、图象的交点个数、最值等负性、图象的交点个数、最值等.2.2.要用好函数与方程思想解决问题要用好函数与方程思想解决问题,必须熟练掌握一必须熟练掌握一 次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数 函数、三角函数等基本初等函数的图象与性质等具函数、三角函数等基本初等函数的图象与性质等具 体特征体特征,合理运用图象与性质合理运用图象与性质.3.3.在解答非函数、方程问题时在解答非函数、方程问题时,要注意对题中各量的要注意对题中各量的观察分析观察分析,会

25、用函数和变量来思考会用函数和变量来思考,学会转化已知与未学会转化已知与未知的关系知的关系.在解题时在解题时,用函数思想作指导就需把字母看用函数思想作指导就需把字母看作变量作变量,把代数式看做函数把代数式看做函数,利用函数性质作工具进行利用函数性质作工具进行分析分析,解决问题解决问题.用方程思想作指导就需要把含字母的用方程思想作指导就需要把含字母的等式看作方程等式看作方程,研究方程根有什么要求研究方程根有什么要求.一、选择题一、选择题 1.1.已知正数已知正数x x,y y满足满足xyxy=x x+9+9y y+7,+7,则则xyxy的最小值为的最小值为 ()()A.32 B.43 C.49 D

26、.60 A.32 B.43 C.49 D.60 解析解析 因为因为xyxy=x x+9+9y y+7,+7,所以所以C C2.2.已知关于已知关于x x的方程的方程sinsin2 2x x+cos+cos x x+k k=0=0有实数解有实数解,则实数则实数 k k 的取值范围是的取值范围是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 原方程可化为原方程可化为coscos2 2x x-cos-cos x x=k k+1,+1,C C3.3.不等式不等式f f(x x)=)=axax2 2-x x-c c0 0的解集为的解集为 x x|-2|-2x x1,1,则则 函数函数y y=f f(

27、-(-x x)的图象为的图象为 ()()解析解析 因为不等式因为不等式f f(x x)=)=axax2 2-x x-c c0 0的解集为的解集为 x x|-2|-2 x x1,1,所以所以a a0,0,则函数则函数f f(x x)=)=axax2 2-x x-c c的图象与的图象与x x轴的轴的 交点分别为交点分别为(-2,0),(1,0),(-2,0),(1,0),又函数又函数y y=f f(-(-x x)的图象与的图象与 函数函数y y=f f(x x)的图象的图象 关于关于y y轴对称轴对称,故选故选D.D.D D4.4.已知实数已知实数x x,y y满足满足3 3x x+5+5y y3

28、 3-y y+5+5-x x,则下面式子成立的则下面式子成立的 是是 ()()A.A.x x+y y0 B.0 B.x x+y y0 0 C.C.x x-y y0 D.0 D.x x-y y0 0 解析解析 设函数设函数 则则 是定义域上的增函数，是定义域上的增函数，而而3 3x x+5+5y y3 3-y y+5+5-x x,可化为可化为 即即x x-y y,x x+y y0.0.A A5.5.定义在定义在R R上的函数上的函数f f(x x)满足满足f f(x x+y y)=)=f f(x x)+)+f f(y y)+2)+2xyxy (x x,y yR),R),f f(1)=2,(1)=

29、2,则则f f(-3)(-3)等于等于 ()()A.2 B.3 C.6 D.9 A.2 B.3 C.6 D.9 解析解析 f f(1)=(1)=f f(0+1)=(0+1)=f f(0)+(0)+f f(1)+201(1)+201 =f f(0)+(0)+f f(1),(1),f f(0)=0.(0)=0.f f(0)=(0)=f f(-1+1)=(-1+1)=f f(-1)+(-1)+f f(1)+2(-1)1(1)+2(-1)1 =f f(-1)+(-1)+f f(1)-2,(1)-2,f f(-1)=0.(-1)=0.f f(-1)=(-1)=f f(-2+1)=(-2+1)=f f(-

30、2)+(-2)+f f(1)+2(-2)1(1)+2(-2)1 =f f(-2)+(-2)+f f(1)-4,(1)-4,f f(-2)=2.(-2)=2.f f(-2)=(-2)=f f(-3+1)=(-3+1)=f f(-3)+(-3)+f f(1)+2(-3)1(1)+2(-3)1 =f f(-3)+(-3)+f f(1)-6,(1)-6,f f(-3)=6.(-3)=6.C C6.6.设设f f(x x)是连续的偶函数是连续的偶函数,且当且当x x0 0时是单调函数时是单调函数,则则 满足满足 的所有的所有x x之之和为和为 ()()A.-3 B.3 C.-8 D.8 A.-3 B.3

31、 C.-8 D.8 解析解析 因为因为f f(x x)是连续的偶函数，且是连续的偶函数，且x x00时是单调函时是单调函 数数,由由偶函数的性质可知若偶函数的性质可知若f f(x x)=)=f f(),(),只有两种只有两种 情况情况:x x=;=;x x+=0.+=0.由由知知x x2 2+3+3x x-3=0,-3=0,故两根之和为故两根之和为x x1 1+x x2 2=-3.=-3.由由知知x x2 2+5+5x x+3=0,+3=0,故其两根之和为故其两根之和为x x3 3+x x4 4=-5.=-5.因此满足条件的所有因此满足条件的所有x x之和为之和为-8.-8.C C二、填空题二

32、、填空题7.7.已知（已知（3 3x x2 2+2+2x x+1+1）2 2=a a0 0+a a1 1(x x+1)+1)+a a2 2(x x+1)+1)2 2+a a3 3(x x+1)+1)3 3 +a a4 4(x x+1)+1)4 4,则则a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4=_.=_.解析解析 令令x x=0,=0,得得a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4=1 =1 令令x x=-1,=-1,得得a a0 0=4.=4.由由可得可得a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4=-3.=-3.-38.8.若函数若函数 ,a

33、 ab bc c0.0.则下式正确的是则下式正确的是 _._.解析解析 所以所以g g(x x)是减函数，因为是减函数，因为a ab bc c0,0,所以所以g g(a a)g g(b b)g g(c c)，9.9.方程方程(x x+1)+1)2 2-1=-1=在在-1,+)-1,+)上的解为上的解为 _.解析解析 原方程可化为原方程可化为x x(x x+2)=,+2)=,两边平方整理两边平方整理 得得,(,(x x+2)(+2)(x x3 3+2+2x x2 2-1)=0,-1)=0,所以所以(x x+2)(+2)(x x+1)(+1)(x x2 2+x x-1)=0-1)=0的的 解为解为

34、x x1 1=-2,=-2,x x2 2=-1,=-1,所以方所以方 程在程在-1,+)-1,+)的解为的解为 (经检验经检验x x=-1=-1不满足题不满足题 意意)10.10.三棱锥三棱锥P PABCABC的三条侧棱的三条侧棱PAPA、PBPB、PCPC两两垂直两两垂直,PCPC=1,=1,PAPA=x x,PBPB=y y,且且x x+y y=4,=4,则该三棱锥取得最大体则该三棱锥取得最大体 积时积时,顶点顶点P P到底面的距离为到底面的距离为_._.解析解析 由题意知由题意知V VP PABCABC=此时此时 x x=y y=2;=2;如图如图,易易知知:PAPA=PBPB=2,=2

35、,作作CDCDABAB于于D D,且点且点D D是是ABAB的中的中 点点,PQPQCDCD于于Q Q,则线段则线段PQPQ的长为所求的长为所求,因因CDCD=三、解答题三、解答题11.11.已知二次函数已知二次函数f f(x x)=)=axax2 2+bxbx(a a,b b为常数为常数,且且a a0)0)满满 足条件：足条件：f f(x x-1)=-1)=f f(3-(3-x x)且方程且方程f f(x x)=2)=2x x有相等实根有相等实根.(1)(1)求函数求函数f f(x x)的解析式的解析式;(2)(2)是否存在实数是否存在实数m m,n n(m mn n),),使使f f(x

36、x)的定义域和值域的定义域和值域 分别为分别为 m m,n n 和和44m m,4,4n n,如果存在如果存在,求出求出m m,n n的值的值,如如 果不存在果不存在,说明理由说明理由.解解 (1)(1)方程方程axax2 2+bxbx-2-2x x=0=0有等根有等根,=(=(b b-2)-2)2 2=0,=0,得得b b=2,=2,由由f f(x x-1)=-1)=f f(3-(3-x x)知此函数图象的对称轴方程为知此函数图象的对称轴方程为x x=1.=1.(2)(2)f f(x x)=-()=-(x x-1)-1)2 2+11,4+11,4n n1,1,即即n n .而抛物线而抛物线y

37、 y=-=-x x2 2+2+2x x的对称轴为的对称轴为x x=1=1，当当n n 时时,f f(x x)在在 m m,n n 上为增函数上为增函数.若满足题设条件的若满足题设条件的m m,n n存在存在,解得解得m m=0=0或或-2,-2,n n=0=0或或-2,-2,又又m mn n ,m m=-2,=-2,n n=0,=0,这时定义域为这时定义域为-2,0-2,0，值域为值域为-8,0.-8,0.由以上知满足条件的由以上知满足条件的m m,n n存在存在,m m=-2,=-2,n n=0.=0.12.12.已知实数已知实数a a,b b,c c满足满足:a a+b b+c c=2,=

38、2,abcabc=4.=4.(1)(1)求求a a,b b,c c中的最大者的最小值中的最大者的最小值;(2)(2)求求|a a|+|+|b b|+|+|c c|的最小值的最小值.解解 (1)(1)不妨设不妨设a a是是a a,b b,c c中的最大值中的最大值,即即a ab b,a ac c.由题设条件可知由题设条件可知,a a0,0,b b+c c=2-=2-a a,于是于是b b,c c是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程(a a2 2+4)(+4)(a a-4)0,-4)0,a a4.4.又当又当a a=4,=4,b b=c c=-1=-1时满足题设时满足题设 条件条件:a

39、a+b b+c c=2,=2,abcabc=4,=4,b b+c c=-2=-2，00bcbc1.1.a a的最小值为的最小值为4.4.因此因此a a,b b,c c中的最大者的最小值为中的最大者的最小值为4.4.(2)(2)abcabc0,0,a a,b b,c c全大于全大于0 0或一正两负或一正两负.若若a a,b b,c c全大于全大于0,0,则由则由a a+b b+c c=2=2知知,a a,b b,c c中的最大者中的最大者小于小于2,2,与与(1)(1)的结论矛盾的结论矛盾.若若a a,b b,c c为一正两负为一正两负,设设a a0,0,b b0,0,c c0,0,则则|a a|+|+|b b|+|+|c c|=|=a a-b b-c c=a a-(2-(2-a a)=2)=2a a-2.-2.由由(1)(1)知知,a a4,24,2a a-26.-26.又当又当a a=4,=4,b b=c c=-1=-1时时,a a,b b,c c符合题设条件符合题设条件,且不等式成立且不等式成立.|a a|+|+|b b|+|+|c c|的最小值为的最小值为6.6.返回