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1、-平面向量与三角形三心-第 6 页向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心
2、.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令化简得（4）为的外心。典型例题分析例题已知点G是内任意一点,点 M是G点可能通过的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).提出问题(1)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的_.(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.思路分析以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.解答过程(1)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故
3、应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4),得,(关键点) 于是.从而,点G是高线上的点,故应填垂心.点评以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.总结：（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.（4） 为的外心。或者若点为内任意一点，若点满足:1;2.两点分别是的边上的中点,且3. ;4. .结合运用：例1：是平面上一定点，是平面上不共
4、线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的中点.点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的
5、值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 7已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C