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1、模型19带电粒子在有界磁场中运动系列71 .带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的分析（1）圆心确实定方法西粒子轨迹上两点的速度方向，那么可根据洛伦兹力尸，匕分别确定两点处洛伦兹 力歹的方向，其交点即圆心,如图甲所示。含喏粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，那么可作出此两点的连线（过 这两点的圆弧的弦）的中垂线，中垂线与垂线的交点即圆心,如图乙所示。半径的计算方法由公式求:半径 qB由几何方法求:一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。时间的计算方法由圆心角求:白兀 2n由弧长求:仁、 v2 ,带电粒子在不同边界磁场中的运动直线边界（进出磁场具有对称性，如图甲所示）。平行边界（
2、存在临界条件，如图乙所示）。0乙圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图丙所示)。丙【典例7】(19年全国1卷)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大 小为3、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压。加速后，沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。 点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30。，粒子进入磁场的入射点与离开磁场 的出射点之间的距离为力 不计重力。求(1)带电粒子的比荷;(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。【答案】(1)4Ud2B2(2)，兀与d2B12j U2qUm1 9【解析】(1)粒子从
3、静止被加速的过程，根据动能定理得：。=相片，解得：% = 根据题意，下列图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为:粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：qv（）B = m联立方程得:q _ 4U m d2B2（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度=工2万厂=受。 1 44粒子射出磁场后到运动至北轴,粒子射出磁场后到运动至北轴,运动的轨迹长度S2 =rtan 300 =a/66S + S粒子从射入磁场到运动至x轴过程中，一直匀速率运动，那么/ %d2BU或Bd271+4U123 J【变式训练7】如下列图，在OWxvGa区域内存在与xy平
4、面垂直的匀强磁场，磁感应强度 的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子， 所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在。180。范围内。沿y轴 正方向发射的粒子在，=t.时刻刚好从磁场边界上P/a,a）点离开磁场。求： 粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q / m; 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围; 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。:P(&, a)Tj3a“q _ 17im 3Bt。速度与y轴的正方向的夹角范围是60。到120 从粒子发射到全部离开所用时间为2【解析】粒子沿y轴的正方向进入磁场，从
5、P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有W尺尸解得R273CL3sine = 4 = Yl,那么粒子做圆周运动的的圆心角为120。，周期为7 = 3%R 2粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得27r、2 八 2tlR , a* /口 q2 万Bqv = m(R， v ，化间得 2 =TTm 3 及0仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120。,这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出; 角度最大时从磁场左边界穿出。角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120,所经过圆弧的弦与中相等穿出点如图, 根据弦与半径、x轴的夹角都是30。，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60。角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的的夹角是60。，那么此时速度与y轴的正方向的夹角是120。所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60。到120在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个相等的腰为R = 速。，而它的高是 3= 耳-迪。=a,半径与y轴的的夹角是30,这种粒子的圆心角是240。所用 时 间为2小。所以从粒子发射到全部离开所用时间为2乙）。