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1、20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷重庆卷)数学（理科数学（理科)一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2015 年重庆,理 1】已知集合A 1,2,3，B 2,3，则（)（A）A B（B）AB（C）A【答案】D【解析】A=1,2,2，B=2,3 B A且B A B A，故选 D（2）【2015 年重庆，理 2】在等差数列an中，若a2 4，a4 2，则a6（)（A）1（
2、B）0（C）1(D）6【答案】B【解析】利用a2+a6 2a4可求得a6 0，故选 B(3）【2015 年重庆，理3】重庆市2013 年各月的平均气温(C)数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（）（A）19(B）20（C)21.5(D）23【答案】B20+20【解析】这组数据是 8，9，12,15，18,20,20，23，23，28,31，32 中位数是 20,故选 B2（4）【2015 年重庆，理 4】“x 1”是“log1x 2 0”的（）2B(D）BA（A)充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】log1(x 2)0 x 1，故选 B
3、2（5）【2015 年重庆,理 5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（)1212(A）（B）（C)2（D）23333【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的,其体积为两部分体积之和：11(12)21211,故选 A32232 2|b|,且a b 3a 2b，则a与b的夹角为（）33(A）(B)(C）(D）424【答案】A2 22【解析】(a b)(3a 2b)(a b)(3a 2b)0，结合|a|b|，可得a b|b|，33a b2cos a,b,a,b 0,a,b，故选 A24|a|b|(6)【2015 年重庆，理 6】若非零向量a,b满足|a|（7）【2
4、015 年重庆,理 7】执行如图所示的程序框图,若输入k的值为 8，则判断框图可填入的条件是（）351115(A）s（B）s（C）s(D）s 461224【答案】C111【解析】s 0,k 0是 k 2，s 是,k 4，s+是，2241111111111111 k 6，s+是 k 8，s+否,判断框内应该填s+=，故选 C246246824612(8)【2015 年重庆，理 8】已知直线l：x ay 1 0aR是圆C：x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴，过点A4,a作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）(A）2（B）4 2（C）6(D）2 10【答案】C22【解析】C:x-2y-1 4
5、，其圆心坐标为C,半径r 2由题意可知直线l:x ay 1 0(aR)是圆的直（2,1）径所在直线,它过圆心C，所以2 a11 0 a 1 A(4,1)AC 2 10由几何图形可知，（2,1）AB AC2 r240 4 6，故选 C3)10（9）【2015 年重庆，理 9】若tan 2tan,则（）5sin()5(A)1（B）2（C）3（D）4【答案】Ccos(【解析】tan 2tan52sin sincos5cos，53)cos()sin()sincoscossincos1052555sin()sin()sin()sincoscossincos555553cos()10 3,故选 C将式带入
6、上式可得:cos(sin()5x2y2（10)【2015 年重庆，理10】设双曲线221a 0,b 0的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与ab双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D若D到直线BC的距离小于a a2b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）（A)1,0【答案】A0,1（B),1 1,（C）2,0 0,2（D）,2 2,b2b2【解 析】由 题 意 可 得：A(a,0),F(c,0),B(c,)AF c a,BF 在RtABD中，由 射 影 定 理 有：aab()22BF(c a)2(c a)(c a)2(c a)2aBF AF DF DF 即点D到
7、直线BC的距离为,由题AFc aa2a2(c a)2(c a)b意 得：a a2b2 a c 01 而 双 曲 线 的 渐 近 线 斜 率2aabk k(1,0)(0,1)，故选 Aa二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，考生作答小题，考生作答 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置(11）【2015 年重庆,理 11】设复数a bia,bR的模为3,则a bia bi【答案】3【解析】复数abi(a,bR)的模为3 a2b23 a2b2 3(a bi)(a bi)a2b2 3218(12)【
8、2015 年重庆，理 12】x3的展开式中x的系数是（用数字作答)2 x 5【答案】27r151r7r15r3 5rr1)C5rx2158r 2故(x3【解析】Tr1 C5(x)()的展开式中x8的系数为222 x2 x15C52222（13)【2015 年重庆，理 13】在ABC中,B 1200,AB 2，P ABC的角平分线AD 3,则AC 5【答案】6ADAB2 sinADB ADB 45 BAD 15 BAC 30,sinBsinADB2ACABC 30，再由正弦定理可得：AC 6sinBsinC考生注意：考生注意：(14(14）、（1515）、(16(16）三题为选做题，请从中任选两
9、题作答，若三题全做，则按前两题给分）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分(14）【2015 年重庆,理 14】如图,圆O的弦AB,CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA 6，AE 9，PC 3，CE:ED 2:1，则BE【答案】2【解析】由切割线定理可得：PA2 PCPD PD 12CD 9CE 6,ED 3再由相交弦定理可得:AEBE CEDE BE 2x 1t（15）【2015 年重庆，理 15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极y 1t35点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2 4(0,)则直线
10、44l与曲线C的交点的极坐标为【答案】2,【解析】由正弦定理可得：【解析】直线l的直角坐标方程为y x 22cos2 42(cos2sin2)4x2 y2 4.由 y x 2x 235=x2 y2 2由y sin 0及22x y 4y 044（2,）故直线l与曲线C的交点的极坐标为（16）【2015 年重庆，理 16】若函数f(x)x 1 x a的最小值为 5，则实数a _【答案】4 或-6【解析】分情况讨论：(1）当a 1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知:fx在a处取得最小值 5,所以|a 1|5 a 6；（2）当a 1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：fx在
11、a处取得最小值 5，|a 1|5 a 4，综上，可得实数a 6或 4三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 题，共题，共 7575 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17）【2015 年重庆,理 17】（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个（）求三种粽子各取到1 个的概率；（)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望111C2C3C51解:（）令A表示事件“
12、三种粽子各取到一个”，则PA3C1041221C83C2C8C2C771（)X所有可能取值为0,1,2,且PX 03,PX 13，PX 238C1015C1015C1015故分布列见表:X0312且EX 0P71571511577131 2（个）15151552(18)【2015 年重庆，理 18】（本小题满分 13 分，（）小问 7 分,(）小问 6 分)设fx sin xsin x 3cos x2（)求fx的最小正周期和最大值；2（）讨论fx在,上的单调性633132x 解:（)由题fx cosxsin x 3cos2x sin2x,故fx的最小正周期1 cos2xsin3222T，最大值
13、为23252(）由x,知0 2x，从而当0 2x 即 x 时，fx单调递增；当3326126352552时，fx单调递减因此,fx在,单调递增，在,单 2x 即 x 231236 12123调递减(19）【2015 年重庆,理 19】(本小题满分 13 分，（)小问 4 分，（）小问 9 分）如图，三棱锥P ABC中,PC，D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD DE 2，CE 2EB 22（）证明:DE 平面PCD；(）求二面角A PDC的余弦值平面ABC,PC 3，ACB 解：(）因PC 平面ABC,DE 平面ABC，故PC DE又CD DE 2，CE 2,故CDE为等腰直角三角形,且C
14、D DE因PCCDC，PC 平面PCD,CD 平面PCD，所以DE 平面PCD(）如图，取CE的中点F,连DF由（）知CDE为等腰直角三角形，故DF CE，DFFB23DF CF FE 1又ACB，故DF/AC,因此,从而AC 2ACCB32以C为原点，CA,CB,CP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系z zP P 31C xyz则C0,0,0,A,0,0，E0,2,0，D1,1,0，P0,0,3，故DA,1,0,22F FC Cn DA 0DP 1,1,3，DE 1,1,0设n1x1,y1,z1为平面APD的法向量，则1A AD Dn DP 0 x x1x12y1 0即，取y
15、11得n12,1,1由(）知DE 平面PCD，故DE即为平面PCD的法x y 3z 01113n DE3向量因cos n1,DE 1，故所求二面角A PDC的余弦值为66|n1|DE|2ax（20）【2015 年重庆，理 20】（本小题满分 12 分,（)小问 7 分，（）小问 5 分）设函数fx3x aRxE EB By y（)若fx在x 0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y fx在点1,f1处的切线方程;（）若fx在3,上为减函数,求a的取值范围解：（）由题f xe6x aex3x2 axexe2x3x26ax aex，因fx在x 0处取得极值，故f 0 0,33得a 0因此fx 3x
16、2ex,f x6x 3x2ex从而f1，f 1，所以曲线y fx在点ee41,f1处的切线方程为y 33x 1即3x ey 0ee33x 1对x 3恒成立显然x 1399gx3x 1在3,单调递减,故gmaxx g3,所以a ,即a的取值范围为x 12292,(21)【2015 年重庆，理 21】（本题满分 12 分，(）小问 5 分，(）小问 7 分）如图，椭圆22xy1a b 0的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且22abPQ PF1()由题知f x 0对x 3恒成立，故3x26 ax a 0即a（）若|PF1|22，|PF2|22，求椭圆的标准方程;（)若|PF
17、1|PQ|，求椭圆的离心率e解：（）由题2a|PF1|PF2|4,故a 2又4c2|PF1|2|PF2|212，故c2 3，因此b2 a2c21,从而x2椭圆方程为 y214（)连F1Q，由 题4a|F1P|PQ|QF1|22|F1P|，故|F1P|2 22 a,从 而|F2P|2a|F1P|e 96 2 2 26 2 1a3，得e 2，因此4c2|PF1|2|PF2|2 4 96 2 a2，所以6 3(22)【2015 年重庆,理 22】（本题满分 12 分，(）小问 4 分，(）小问 8 分）在数列an中,a13，an1anan1an2 0nN（)若0，2，求数列an的通项公式;(）若11
18、1k0N,k0 2，1，证明：2 ak01 2k03k012k01解：（）由0，2得an1an 2an2因a130，故an 0,得an1 2an因此an是首项为 3 公比为 2的等比数列,从而an 32n11（)由题an1an an2,因a130，故3 a1 a2k0 an 0因an1an21 a nk0k0 an1 11111，即an1 ank0k0an1k0k0k0an1k0故ak01k01 11 11 a1ai1 ai 31 31 2，kk a 1k3k 13k 1i1i100ii1000因此a1 a2综上可知2 ak0 ak01 2，从而ak01 3i1k01 111 2k02k012k0111 ak01 23k012k015