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1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（1）【2016 年浙江，理 1,5 分】已知集合|13PxRx,2|4QxR x，则RPQ（）(A）2,3 （B）2,3 （C）1,2 （D）,21,【答案】B【解析】2|22|4QxR xxR xx 或，即有|22RQxRx,则2,3RPQ ，故选B【点评】本题考查集合的运算,主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题（2）【2016 年浙江，理 2，5 分】已知互相垂直的平面，交
2、于直线l若直线m,n满足/m，n，则（）（A）/ml (B）/mn （C)nl （D)mn【答案】C 【解析】互相垂直的平面，交于直线l，直线m,n满足/m，/m或m或m，l，n，nl,故选 C【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（3)【2016 年浙江，理 3，5 分】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域200340 xxyxy中的点在直线20 xy上的投影构成的线段记为AB，则AB（）（A）2 2 （B）4 （C）3 2 (D）6【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分），区域内的点在直线
3、20 xy 上的投影构成线段R Q,即SAB，而R QRQ ，由3400 xyxy得11xy，即1,1Q,由20 xxy得22xy，即2,2R,则221212993 2ABQR，故选 C【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键（4）【2016 年浙江,理 4，5 分】命题“x R,nN,使得2nx”的否定形式是(）(A)x R，nN，使得2nx （B）x R，nN,使得2nx(C）x R，nN，使得2nx （D）x R，nN，使得2nx【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x R，nN，使得2nx”的否定形
4、式是:x R，nN，使得2nx，故选 D【点评】全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题对含有存在(全称）量词的命题进行否定需要两步操作:将存在(全称）量词改成全称（存在）量词；将结论加以否定（5）【2016 年浙江，理 5，5 分】设函数 2sinsinf xxbxc，则 f x的最小正周期(）(A）与b有关,且与c有关 （B）与b有关，但与c无关(C）与b无关，且与c无关 （D）与b无关，但与c有关【答案】B【解析】设函数 2sinsinf xxbxc，c是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变,故周期与c无关，2 当0b 时,211sinsincos222f xxbxcxc 的最小正
5、周期为22T，当0b 时,11cos2sin22f xxbxc,cos2yx的最小正周期为，sinybx的最小正周期为2,f x的最小正周期为2，故 f x的最小正周期与b有关，故选 B【点评】本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题（6）【2016 年浙江,理 6，5 分】如图，点列 nA、nB分别在某锐角的两边上，且 112nnnnA AAA,1nnAA，nN，112nnnnB BBB,1nnBB,nN，(PQ 表示点P与Q不重合)若nnndA B，nS为1nnnA B B的面积,则(）（A）nS是等差数列 （B）2nS是等差数列（C）nd是等差数列 (D
6、）2nd是等差数列【答案】A【解析】设锐角的顶点为O，1OAa，1OBb，112nnnnA AAAb,112nnnnB BBBd，由于a,b不确定，则 nd不一定是等差数列，2nd不一定是等差数列,设1nnnA B B的底边1nnB B上的高为nh，由三角形的相似可得111nnnnanbhOAhOAanb，22111nnnnanbhOAhOAanb,两式相加可得，21222nnnhhanbhanb，即有212nnnhhh，由12nnSd h，可得212nnnSSS，即为211nnnnSSSS,则数列 nS为等差数列,故选 A【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，
7、考查化简整理的推理能力，属于中档题（7）【2016 年浙江,理 7，5 分】已知椭圆2212:11xCymm与双曲线2212:10 xCynn的焦点重合,1e，2e分别为1C，2C的离心率,则（)(A）mn且1 21ee (B)mn且1 21ee （C）mn且1 21ee （D)mn且1 21ee 【答案】A【解析】椭圆2212:11xCymm与双曲线2212:10 xCynn的焦点重合,满足22211cmn,即2220mn，22mn，则mn，排除 C,D，则2221cmm，2221cnn，则cm cn,1cem，2cen，则212ccce em nmn,则22222221 2222211mn
8、cccce emnmnm n 22222222222222112111111m nmnmnm nm nm nm n ，1 21ee,故选A【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断,根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键考查学生的转化能力（8）【2016 年浙江，理 8，5 分】已知实数a,b,c()（A）若221abcabc，则222100abc（B）若22|1|abcabc，则222100abc （C）若221|abcabc，则222100abc(D）若22|1|abcabc，则222100abc【答案】D【解析】A设10ab,110c ,则2201
9、abcabc，222100abc；B设10a，100b ,0c,则221|0abcabc,222100abc；C设100a，100b ,0c，则 22|0|1abcabc，222100abc，故选 D【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键 3 第卷（非选择题 共 110 分)二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 （9）【2016 年浙江，理 9，6 分】若抛物线24yx上的点M到焦点的距离为 10，则M到y轴的距离是 【答案】9【解析】抛物线的准线为1x ，点M到焦点的距离为 10，点M到
10、准线1x 的距离为 10，点M到y轴的距离为 9【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题（10）【2016 年浙江，理 10，6 分】已知22cossin2sin0 xxAxb A，则A ，b 【答案】2；1【解析】2222cossin21cos2sin212cos2sin212sin 21224xxxxxxx ,2A，1b 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键（11）【2016 年浙江，理 11,6 分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm)，则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3【答案】72；32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个
11、棱长为 2cm 的小正方体所构成的,则其表面积为2224672cm2,其体积为34232【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体 的形状及相关数据所对应的几何量,考查空间想象能力（12)【2016 年浙江,理 12，4 分】已知1ab，若5logo2l gabba，baab，则a ，b 【答案】4；2【解析】设logbta，由1ab知1t，代入5logo2l gabba得152tt，即22520tt，解得2t 或12t (舍去）,所以log2ba，即2ab，因为baab，所以2babb，则22abb，解得2b,4a 【点评】本题考查对数的运算性质,是基础的计算题
12、（13）【2016 年浙江，理 13，4 分】设数列 na的前n项和为nS，若24S，121nnaS，*nN，则1a _,5S _【答案】1;121【解析】由1n 时，11aS，可得2112121aSa,又24S，即124aa，即有1314a ，解得11a；由11nnnaSS,可得131nnSS，由24S,可得33 41 13S ，43 13 140S ，53 401 121S 【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系：n=1 时，a1=S1,n1 时,an=SnSn1，考查运算能力,属于中档题（14）【2016 年浙江，理 14，4 分】如图,在ABC中，2ABBC，120ABC 若平
13、面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是 【答案】12【解析】如图,M是AC的中点当3ADtAM 时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE,3DMt，由ADEBDM，可得 2131htt，231tht，222331 112 31,0,33 263131ttVtttt 当3ADtAM 时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，4 即图中AH，3DMt，由等面积，可得1122AD BMBD AH，21113122tt ,231tht，222331 112 31,3,2 33 263131ttVtttt，综上
14、所述，22331,0,2 3631tVtt，令2311,2mt，则21 46mVm，1m 时，12maxV【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想,对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大（15）【2016 年浙江，理 15，5 分】已知向量a,b，1a,2b,若对任意单位向量e，均有6a eb e,则a b的最大值是 【答案】12【解析】6abea eb ea eb e,6abeab，平方得：2226aba b，即221226a b，则12a b，故a b的最大值是12【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的
15、关系是解决本题的关键综合性较强,有一定的难度 三、解答题：本大题共 5 题，共 74 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 （16)【2016 年浙江，理 16,14 分】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知2 cosbcaB（1）证明:2AB；（2）若ABC的面积24aS，求角A的大小 解:(1）由正弦定理得sinsin2sincosBCAB，2sincossinsinsinsincoscossinABBABBABAB，于是sinsinBAB又,0,A B,故0AB，所以BAB或BAB，因此A（舍去)或2AB，所以，2AB（2）由24aS 得21sin24aabC,故
16、有1sinsinsin2sincos2BCBBB，因sin0B,得sincosCB 又,0,B C，所以2CB 当2BC时，2A；当2CB时，4A 综上，2A或4A【点评】本题考查了正弦定理，解三角形,考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题（17）【2016 年浙江，理 17,15 分】如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面BCFE 平面ABC，90ACB，1BEEFFC,2BC，3AC （1）求证：EF 平面ACFD；(2）求二面角BADF的余弦值 解：（1）延长AD，BE,CF相交于一点K，如图所示 因为平面BCFE 平面ABC,且ACBC，;所以，AC 平面BCK，因此，
17、BFAC又因为/EFBC，1BEEFFC，2BC，所以BCK 为等边三角形，且F为CK的中点,则BFCK所以BF 平面ACFD（2）解法 1:过点F作FQAK，连结BQ因为BF 平面ACK，所以BFAK，则AK 平面BQF，所以BQAK 所以，BQF是二面角BADF的平面角 在Rt ACK中，3AC，2CK，得3 1313FQ 在Rt BQF中，3 1313FQ，3BF，得3cos4BQF 所以,二面角BADF的平面角的余弦值为34 6 记直线AP,AQ的斜率分别为1k，2k,且1k，20k，12kk由（1)知，2211221211a kkAPa k，2222222211a kkAQa k，故
18、22221122222212212111a kka kka ka k,所以22222222121212120kkkkaak k 由于12kk，1k，20k 得2222221212120kkaak k,因此222212111112aakk 因为式关于1k,2k的方程有解的充要条件是：22121aa，所以2a 因此，任意以点0,1A为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为12a，由21caeaa得，所求离心率的取值范围为202e【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力,考查转化思想以及计算能力（20)【2016 年浙江，理 2
19、0,15 分】设数列满足11,2nnaanN（1)求证：1*122nnaanN；（2）若32nna,*nN,证明：2na，*nN 解：（1）由112nnaa得1112nnaa，故111222nnnnnaa,n，所以31112211223122222222nnnnnnaaaaaaaa121111222n1,因此1122nnaa（2）任取n，由（1)知，对于任意mn,1121112122222222nmnnnnmmnmnnnnmmaaaaaaaa 11111222nnm112n，故11222mnnnmaa11132222mnnm3224mn 从而对于任意mn，均有3224mnna 由m的任意性得2na 否则,存在0n，有02na，取正整数000342log2nnam且00mn，则003040002log23322244nnammnna,与式矛盾 综上，对于任意n，均有2na 【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式,难度较大