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1、2015 年重庆高考数学试题（理科）及答案解析 一、选择题（1）已知集合,3,2,3,2,1BA则 ()A.BA B.BA C.AB D.BA【答案】D【解析】集合B的元素AA 3,2，但是集合A的元素B1，所以B是A的真子集。【点评】本题旨在考查集合与集合的关系，此题属简单题。（2）在等差数列na中，若,2,442aa则6a ()A.1 B.0 C.1 D.6【答案】B【解析】根据题意知：daa)24(24，易知1d，所以0)46(46daa.【点评】此题旨在考查等差数列的性质dmnaamn)(的公式，但做此题需要考生细心，此题属简单题。（3）重庆市2013年各月的平均气温)(C数据的茎叶图
2、如下：则这组数据的中位数是 ()8338205910283210 A.19 B.20 C.5.21 D.23【答案】B 【解析】根据茎叶图的显示易知中位数为20.【点评】此题考查了茎叶图和中位数定义，属于简单题.（4）”“1x是”“0)2(log21x的 ()A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为1x，所以32 x【点评】此题考查了对数函数的应用以及结合命题关系，此题在过去高考及模拟中屡次出现，属于简单题.（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.31 B.32 C.231 D.232 【答案】A【解析】由三视图容
3、易看出，原图是一个半圆柱体和椎体，半圆柱体的底面圆半径为1，长为2，得 知体积为，易知椎体的体积为31.【点评】此题考查了三视图，另外考查了几何体的体积计算，属于简单题.（6）若非零向量ba、满足ba322，且)23()(baba，则a与b的夹角为 ()A.4 B.2 C.43 D.【答案】A【解析】设a与b的夹角为，根据题知)23()(baba，得0)23()(baba，所以02322bbaa，02cos322bbaa，在由ba322得 02cos32238222bbb，22cos，即4.【点评】此题考查了向量的运算以及向量的性质，此题为简单题.（7）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8
4、，则判断框内 可填入的条件是 ()A.43s B.65s C.1211s D.2425s 【答案】C【解析】第一次：;21,2sk 第二次：;43,4sk 第三次：;1211,6sk 第四次：;2425,8sk 输出;211,8sk 【点评】本题考查了程序框图的循环结构，只要考生冷静下来按照程序框图计算即可得出答案，属 简单题.（8）已知直线)(01:Raayxl是圆0124:22yxyxC的对称轴，过点),4(aA 作圆C的一条切线，切点为B，则AB ()A.2 B.24 C.6 D.102 【答案】A【解析】易知圆的标准方程4)1()2(:22yxC，圆心O为)1,2(又因为直线 01:a
5、yxl是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知)1,4(,1Aa，又因为 AB直线与圆相切，则OAB为直角三角形,102)11()42(22OA,2OB,622OBOAAB【点评】此题考查了圆的位置关系，是一道典型的解析几何题，此题难度不大，属于简单题.（9）若5tan2tan，则)5sin()103cos(A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】根据诱导公式)5sin()103cos()2103sin(，所以原式 5cossin5sincos5sincos5cossin)5sin()5sin(-，分子分母同时除以5coscos得出原式 35tan25tan5tan5tan2tan5t
6、an5tantan-【点评】该题考查了诱导公式的灵活运用以及和差化积公式，难度适中。（10）设双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，右定点为A，过F作AF的垂线与双 曲线交于CB,两点，过CB,分别作ABAC,的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的 距离小于22baa，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ()A.)1,0()0,1(B.),1()1,(C.)2,0()0,2(D.),2()2,(【答案】A【解析】根据题意知点 D 一定在 x 轴上，所以点到直线 BC 的距离为DF，由图知DFAFBF2，DFaba)(ab2224，又22DFbaa，所以 222224)(DFba
7、aabaab，解出122ab，11-ab，根据实际情况 0b，)1,0()0,1(ab【点评】该题考查了圆锥曲线的性质，以及解析几何的三垂线定理，难度适中。二：填空题（11）设复数),(Rbabia的模为3，则)(biabia 。【答案】3【解析】由题易得322ba，故322ba；3)(22babiabia【点评】此题主要考查复数的模的运算，属于简单题型。（12）53)21(xx 的展开式中8x的系数是 （用数字作答）。【答案】25【解析】由二项式的定理设 2527552525355351)21()21()21()(rrrrrrrrrrrxCxxCxxCT 当82527r时，易得3r，故8x系
8、数为25)21(235C。【点评】此题主要考查二项式系数的应用，属于简单题型。（13）在ABC中，AABB,2,1200的角平分线3AD,则AC 。【答案】6【解析】如 图，由 正 弦 定 理 易 得BADABDABsinsin,即BABDsin3sin2，故22sinABD,即ABD，在ABC，知ABDB,1200，即12BAD。由于AD是BAC的角平分线。故62BADBAC。在ABC中，0030,120BACB，易得030ACB。在ABC中，由正弦定理得ACBABABCACsinsin。即0030sin260sinAC，故6AC【点评】此题主要考查解三角形的正余弦定理应用，此类题过去会出现
9、在高考题的解答题中，属于 中档题题型。考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中选两题作答。若三题全做，则按前两题给分。（14）如题（14）图，圆O的弦CDAB,相交于点E，则过点A作圆O的切线与DC的 延 长 线 交 于 点P，若3,9,6PCAEPA,1:2:EDCE，则BE 。【答案】2【解析】由切割线定理的PDPCPA2，易得12PD，故9PCPDCD,因为1:2:EDCE,故3,6EDCE。由 相 交线 定 理可得EDCEEBAE又 因 为3,6,9EDCEAE易 得2EB。【点评】此题主要考查切割线定理，属于简单题型。（15）已知直线l的参数方程ttytx(11为参
10、数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为),53,0(42cos2则直线l与曲线C的交点的极坐标为 。【答案】,2(【解 析】由 直 线l的 参 数 方 程ttytx(11为 参 数），得 直 线 方 程 为02 yx；由),53,0(42cos2得4)sin()cos(22，故422 yx，联 立 40222yxyx易得交点坐标)0,2(。较易得交点的极坐标为,2(。【点评】此题主要考查参数方程的化简，直角坐标系与极坐标的转化，属于中等题型。（16）若函数axxxf21)(的最小值为 5，则实数a=。【答案】-6 或 4【解析】第一种分类：当1-a时，端点
11、值为1,-a （1）当1-x时，1-23-)-(21-)(axxaxxf；（2）当ax 1-时，12-)-(21)(axxaxxf；（3）当ax 时，12-3)-(21)(axaxxxf；如图所示：由图易知：51)(min aaf，解得4a（舍）或6-a，即6-a 第二种分类：当1-a 时，端点值为1,-a （1）当ax 时，1-23-)-(21-)(axxaxxf；（2）当1-xa时，1-2-)-(21-)(axaxxxf；（3）当1-x 时，12-3)-(21)(axaxxxf；如图所示：由图易知：51)(min aaf，解得4a或6-a（舍），即4a 综上所述：6-a或 4【点评】此题主
12、要考察了绝对值不等式的分类讨论，属于中档题型。三、解答题（17）（本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（2）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这 3 种粽子的外观完全相同。从中任意选取 3 个。（1）求三种粽子各取到 1 个的概率；（2）设X表示取到豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望。【解析】（1）令 A 表示事件“三个粽子各取到 1 个”，则古典概型的概率计算公式有 1112353101()4C C CP AC。（2）X的可能取值为 0，1，2，且 383107(0)15Cp XC,12283107(
13、1)15C Cp XC,21283101(1)15C Cp XC 综上知X的分布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 故 7713()0121515155E x （个）【点评】考察了古典概型的概率以及分布列，属于简单题型.（18）（本小题满分 13 分，（1）小问 7 分，（2）小问 6 分）已知函数xxxxf2cos3sin)sin()(。（1）求)(xf 的最小周期和最大值；（2）讨论)(xf在2,上的单调性。【解析】（1）2113()sin23cossin2(1cos2)222f xxxxx 1333sin2cos2sin(2)22232xxx.因此()f x的最小正周期为，
14、最小值为232.（2）由条件可知：3()sin()32g xx 当,2x时有，2,363x，从而sin()3x的值域为1,12，那么3sin()32x的值域为13 23,22，故()g x在区间,2上的值域是13 23,22.【点评】考察了三角函数的恒等变换以及三角函数的图像性质，属于简单题型.（19）（本小题满分 13 分，（1）小问 4 分，（2）小问 9 分）如题（19）图，三棱锥ABCP,PC平面ABC,.,3ACBPCED,分别为线段BCAB,上的点，且22,2EBCEDECD。（1）证明：DE平面PCD;（2）求二面角CPDA的余弦值。【解析】（1）证明：由PC平面 ABC，DE平
15、面 ABC，故DEPC，由2DECD2CE，得CDE为等腰直角三角形，故DECD 由CCDPC，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故DE平面 PCD （2）解：由（1）知，CDE为等腰直角三角形，4DCE，如图,过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 DF=FC=FE=1，又已知 EB=1，故 FB=2.由2ACB得 DF/AC，32BCFBACDF，故23DF23AC。以 C 为坐标原点，分 别以CPCBCA，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，），（），（），（），0,1,1D(0,2,0E0,0,23A3,0,0P0,0,0C(），（），（），（0,1
16、-21DA3,1-1-DP0,1-1ED 设平面 PAD 的法向量为),(1111zyxn，由0011DAnDPn，得 0210311111yxzyx，故可取)1,1,2(1n。由（1）可知DE平面 PCD，故平面 PCD 的法 向量2n可取为ED，即)0,1,1(2n从而法向量21,nn的夹角的余弦值为 63,cos212121nnnnnn，故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为63【点评】第一问主要考察了线面垂直的应用，属于简单题。第二问考察二面角的求法以及空间向量 建系的细节，属于常考题型.（20）（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分）设函数)(3)(2Raea
17、xxxfx。(1)若)(xf在0 x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线)(xfy 在点)1(,1(f处的切线方 程；(2)若)(xf在,3上为减函数，求a的取值范围。【解析】（1）对)(xf求导得xxxxeaxaxeeaxxeaxxf)6(3)()3()6()(222，因为)(xf在0 x处取得极值，所以0)0(f，即0a。当0a时，xexxf23)(，xexxxf63)(2，故ef3)1(，ef3)1(。从而)(xf 在点)1(,1(f处的切线方程)1(33xeey，化简得03 eyx。（2）由（1）得知xeaxaxxf)6(3)(2，令axaxxg)6(3)(2，由0)(xg 解得636
18、6,63662221aaxaax。当1xx 时，0)(xg，即0)(xf，故)(xf为减函数；当21xxx时，0)(xg，即0)(xf，故)(xf为增函数；当2xx 时，0)(xg，即0)(xf，故)(xf为减函数；由)(xf在,3上为减函数，即3636622aax，得29a，故a的取值范围为,29。【点评】第一问主要考察了导数的几何意义，导数的求导公式以及极值问题，属于简单题型。第二 问属于主要考察了倒数的求导公式以及单调性的应用，是高考常考题型，属于简单题型.（21）（本小题满分 12 分，（1）小问 5 分，（2）小问 7 分）如题（21）图，椭圆)0(12222babyax的左、右焦点
19、分别为 21,FF,过2F的直线交椭圆于QP,两点，且1PFPQ。(1)若221PF，222PF，求椭圆的标准方程；(2)若PQPF1，求椭圆的离心率e。【解析】（1）由椭圆的定义4)22()22(221PFPFa,故2a。设椭圆的半焦距为c，由已知12PFPF，因此2221212PFPFFFc =32)22()22(22,即3c，从而122cab。故所求椭圆的标准方程为1422 yx。（2）如答（21）图，由椭圆的定义，,2,22121aQFQFaPFPF从而由221QFPFPQPF,有1224PFaQF 又由PQPF 1，PQPF 1，知112 PFQF,因此，11224PFPFa,得,)
20、22(21aPF 从而.)12(2)22(22212aaaPFaPF由12PFPF,知 22212221)2(cFFPFPF，因此 36269)12()22(2222221aPFPFace.【点评】第一问主要考察了椭圆的定义与性质，第二问考察解析几何数形结合的应用，属于中档题.（22）（本小题满分 12 分，（1）小问 4 分，（2）小问 8 分）在数列na中，)(0,32111Nnaaaaannnn。(1)若2,0，求数列na的通项公式；(2)若)2,(1000kNkk，1，证明：12121312010kakn。【解析】（1）由，-20有)(2*21Nnaaannn 若存在某个*0Nn，使得
21、00na，则由上述递推公式易得010na。重复上述过程可得01a，此与31a矛盾，所以对任意的*Nn，0na。从而)(2*1Nnaann，即 na是一个公比2q的等比数列。故1-1-123nnnqaa。（2）由1-,10k，数列 na的递推关系式变为0-12101nnnnaakaa，变形为)()1(*201Nnakaannn。由上式及031a，归纳可得 0.3121nnaaaa。因为1111-111-100002020021nnnnnnnakkkakakkakaaa，所以对0,.k2,1n求和得 )(a.)-(0001k1211kkaaaaa =)11.1111(110020100001kakakakkkka 1312)131.131131(12000000kkkkkk 另一方面，由上已证的不等式知2.12100kkaaaa，得 )121121121(k12)111111(11-n00000201000011个 kkkakakakkkkaankn 综上所述：12121312010kaknk【点评】此题考查“数列递推”求通项。数列的归纳与放缩法主要考察了学生的灵便能力，此题属 于难度较高的题型.