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1、1 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科）第卷(选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1)【2013 年安徽,理 1,5 分】设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数若 i+2=2z zz,则z（）（A)1 i （B）1 i （C）1 i （D)1 i 【答案】A【解析】设()izab a bR,，则由 i+2=2z zz得()()ii i2i(2)ababab,即22i(2i)22abab，所以22a,222abb，所以1a,1b，即i1izab，故选 A(2）【2013 年安
2、徽,理 2，5 分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）(A）16 （B）2524 （C）34 （D）1112【答案】D【解析】开始28,11022s，224n；返回，48，113244s，426n；返回,68，31114612s，628n；返回，88不成立，输出1112s，故选 D(3）【2013 年安徽,理 3，5 分】在下列命题中，不是公理的是(）（A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
3、点的公共直线【答案】A【解析】由立体几何基本知识知,B 选项为公理 2，C 选项为公理 1,D 选项为公理 3，A 选项不是公理,故选 A（4）【2013 年安徽，理 4,5 分】“0a 是“函数 1|()|f xaxx在区间(0)，内单调递增”的（）(A)充分不必要条件 (B）必要不充分条件 （C)充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数 f x的图象有以下三种情形：0a 0a 0a 由图象可知 f x在区间(0)，内单调递增时，0a,故选 C（5）【2013 年安徽，理 5，5 分】某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生随机询问了该班五名男生和五
4、名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88,93,93，88，93下列说法一定正确的是（)（A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样 （C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差(D）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】解法一：对 A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以 A 选项错；对 B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以 B 选项错；对 C 选项,男生方差为 40,女生方差为 30所以 C 选项正确;2 对 D 选项,男生平均成绩为
5、90,女生平均成绩为 91所以 D 选项错，故选 C 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9，五名女生成绩的平均数为18893938893915，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s ，五名女生成绩的方差为22222 88913 939165s ,所以2212ss,故选 C(6）【2013年安徽,理6，5分】已知一元二次不等式 0f x 的解集为112x xx 或,则 100 xf的解集为（）（A）|1lg2x xx 或 （B）lg|12xx (C）l 2|gx x （D)l 2|gx x 【答案】D【解析】由题意知1 101
6、2x,所以1lglg22x，故选 D（7)【2013 年安徽,理 7，5 分】在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（)（A)()0cos2R 和 （B)s(co2R 和（C)s(co1R 和 (D)()0cos1R 和【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos可化为普通方程为2211()xy所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别 为0 x 和2x,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()R和cos2，故选 B （8)【2013 年安徽，理 8，5 分】函数 yf x的图象如图所示,在区间a b,上可找到2n n 个不 同的数12nx xx,，,，使得1212=nnf xf xf
7、 xxxx,则n的取值范围是()（A）3,4 （B）2,3,4 （C）3,4,5 （D)2,3【答案】B【解析】1212=nnf xf xf xxxx可化为1212000=000nnf xf xf xxxx，故上式可理解为 yf x 图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与 yf x的交点个数 如图所示，由数形结合知识可得，为2n，为3n，为4n,故选 B （9）【2013 年安徽,理 9，5 分】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足=2OAOBOA OB，则点集=+,1,P OPOAOBR所表示的区域的面积是（）(A)2 2 （B）2 3 （C）4 2 （D
8、)4 3【答案】D【解析】以OA，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中,使A，B两点关 于x轴对称,由已知=2OAOBOA OB，可得出60AOB，点3,1A，点3,1B,点2 3,0D，现设()P xy，则由=+OPOAOB得,3,13,1x y，即3xy，由于1，R，可得3311xy,画出动点()P xy，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为2 32=4 3,故选 D（10）【2013 年安徽，理 10，5 分】若函数 32f xxaxbxc有极值点1x，2x,且 11f xx,则关于x的方程 2320f xaf xb的不同实根个数是（）(A）3 (B）4
9、（C)5 （D）6 3 【答案】A【解析】由 2320fxxaxb得，1xx或2xx，即 2320f xaf xb的根为 1f xx或 2f xx 的解如图所示 12xx 21xx 由图象可知 1f xx有 2 个解，2f xx有 1 个解，因此 2320f xaf xb的不同实根个数为 3，故选 A 第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分,共 25 分把答案填在答题卡的相应位置(11)【2013 年安徽，理 11，5 分】若将函数 sin 24f xx的图像向右平移个单位,所得图像关于y轴对称，则的最小正值是 【答案】12【解析】83axx的通项为18
10、38C()rrrrxax883388=CCrrrrrrrra xxa x，843rr，解得3r 338C7a,得12a （12）【2013 年安徽,理 12，5 分】设ABC的内角A,B，C所对边的长分别为a，b，c 若2bca,3sin5sinAB,则角C 【答案】23【解析】3sin5sinAB，35ab 又2bca，由可得，53ab，73cb,22222257133cos52223bbbbacCabbb，23C （13）【2013 年安徽，理 13，5 分】已知直线ya交抛物线2yx于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为 【答案】1)，【解析】如图，设202
11、00()()Cxxxa,Aa a，,Ba a，则200,CAax ax,200,CBax axCACB，0CA CB,即 222000axax，220010axax，2010 xa，1a （14）【2013 年安徽，理 14，5 分】如图,互不相同的点 A1，A2，An，和 B1,B2，,Bn，分 别在角O的两条边上，所有nnA B相互平行，且所有梯形11nnnnA B BA的面积均相等 设nnOAa 若 11a，22a，则数列 na的通项公式是 【答案】32nan 4 【解析】设1 1OA BSS，11a，22a，nnOAa，11OA，22OA 又易知1122OABOA B,1 122221
12、221124OA BOA BSOASOA1 11 12233OA BA B B ASSS梯形所有梯形11nnnnA B BA的面积 均相等,且11nnOABOA B，1 1113132nnOA BnOA BSOASOASSnSn 1132naan，32nan(15)【2013 年安徽，理 15，5 分】如图,正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点APQ，的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号）当012CQ时，S为四边形；当12CQ 时，S为等腰梯形；当34CQ 时，S与11C D的交点R满足113C R；
13、当341CQ时，S为六边形；当1CQ 时，S的面积为62【答案】【解析】当12CQ 时，222111154DQDCC Q，22254APABBP，所以1DQAP，又因为1/2ADPQ，所以正确；当012CQ时,截面为APQM，且为四边形，故也正确，如图（1）所示；如(2）图，当34CQ 时，由1QCNQC R得11C QC RCQCN，即114314C R，113C R,故正确;如图（3）所示，当341CQ时,截面为五边形APQMF，所以错误；当1CQ 时，截面为1APC E，可知13AC，2EP,且四边形1APC E为菱形,S四边形162APC E，故正确 图（1)图(2)图(3）三、解答题
14、：本大题共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定 区域内（16)【2013 年安徽，理 16，12 分】已知函数 4cossin()40 xf xx的最小正周期为（1）求的值;（2）讨论 f(x)在区间0,2上的单调性 解:（1）224cossinsincos2 2cos2 sin2c2os224f xxxxxxxx 2sin 224x因为 f x的最小正周期为，且0，从而有2=2，故1 5 （2）由（1）知，2sin 224fxx若02x，则52444x 当2442x即08x时，f x单调递增；当52244x即82x时,f x单调递减 综上可知，f
15、 x在区间0,8上单调递增，在区间,8 2上单调递减（17）【2013 年安徽，理 17，12 分】设函数 221f xaxax，其中0a，区间|0Ix fx（1)求I的长度（注：区间()，的长度定义为；（2）给定常数0,1k,当11kak 时,求I长度的最小值 解:（1）因为方程22100axaxa有两个实根10 x，221axa,故 0f x 的解集为12|x xxx 因此区间20,1aIa，I的长度为21aa(2）设 21d aaa，则 22211aaad 令 0da，得1a 01k，故当11ka时，0d a，d a单调递增；当11ak 时,0da，d a单调递减所以当11kak 时，d
16、 a的最小 值必定在1ak 或1ak 处取得而23223211211111211kdkkkkkdkkkk ，故11dkdk 因此当1ak 时，d a在区间1,1kk上取得最小值2122kkk（18）【2013 年安徽，理 18，12 分】设椭圆 E:2222=11xyaa的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为 1，求椭圆E的方程；（2）设12FF，分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线2F P交y轴于点Q，并 且11FPFQ证明：当a变化时，点P在某定直线上 解：（1）因为焦距为 1，所以22141a ，解得258a 故椭圆E的方程为2288=153xy（2）设00()P x
17、y,，1,0Fc，2,0Fc，其中221ca由题设知0 xc，则直线1FP的斜率100F Pykxc,直线2F P的斜率200F Pykxc，故直线2F P的方程为00()yyxcxc当0 x 时，00cyycx,即点Q坐标为00(0,)cycx因此，直线1FQ的斜率为100FQykcx 由于11FPFQ，所以1100001F PFQyykkxc cx 化简得22200(21)yxa 将代入E方程，由于点00()P xy，在第一象限，解得20 xa，201ya，即点P在定直线1xy上(19）【2013 年安徽，理 19，13 分】如图,圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5
18、，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60(1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cosCOD 解:（1）设面PAB与面PCD的交线为l/ABCD，AB不在面PCD内，所以/AB面PCD 又因为AB面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以/ABl 由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行 （2）设 CD 的中点为F连接OF，PF由圆的性质，2CODCOF，OFCD 因为OP 底面，CD 底面，所以OPCD又OPOFO，故CD 面OPF 6 又CD 面PCD，因此面OPF 面PCD从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故OPF为O
19、P与面PCD所成的角60OPF设OPh,则tantan60OFOPOPFhh 根据题设有22.5OCP，得tantan22.5OPhOCOCP由22tan 22.51tan 22.51tan45 和tan22.50，得tan22.521，因此(21)21hOCh 在Rt OCF中，1os332c6OFOCOFhhC，故22coscos 22co()2s(63)1=1712 21CODCOFCOF （20）【2013 年安徽,理 20，13 分】设函数 2322*21()23nnfxxnxxxxn RN，证明:（1）对每个*nN,存在唯一的2,13nx，满足 0nnfx；(2）对任意*pN,由（
20、1)中nx构成的数列 nx满足10nnpxxn 解：（1）对每个*nN，当0 x 时，11+02nnxfxxn，故 nfx在(0)，内单调递增 由于 110f，当2n 时,2221110231nfn，故 10nf 又21122222213322112111231()0233343343313nknknnnkkfk ，所以存在唯一的2,13nx,满足 0nnfx（2）当0 x 时，1121nnnnfxfxxfxn ,故 1110nnnnnnfxfxfx 由 1nfx在(0)，内单调递增知，1nnxx，故 nx为单调递减数列,从而对任意*npN，npnxx 对任意*pN，由于 222102nnnn
21、nnfxxxxn，2122221+021nnnpnpnpnpnppnpnnpxxxxxnnnfxp 式减去式并移项，利用01npnxx，得222211kkkknpnpnnpnnpnnnppkk nk nxxxxkxxkk 21111(1)npnpk nk nkk k 111nnpn因此，对任意*pN，都有01nnpnxx（21)【2013 年安徽，理 21，13 分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数）假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学
22、生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X(1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;（2）求使P Xm取得最大值的整数m 解:（1）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息与事件B：“学生甲收到张老师所发信息是相互独立的事件,所以A与B相互独立由于 11CCknknP ABknP，故 =1kP AP Bn，因此学生甲收到活动通知 信息的概率222211kknkPnn （2）当kn时，m只能取n,有1P XmP Xn当kn时，整数m满足kmt,其中t是2k 7 和n中的较小者 由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的
23、基本事件 总数为2(C)kn当Xm时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2km仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为mk由乘法计数原理知：事件Xm所含基本事件数为 2C CCC CCkk mm kkm km knkn knkn k此时22C CCCC(C)Ckk mm km km knkn kkn kkknnP Xm 当kmt时，1P XmP Xm CCm km kkn k11CCmkmkkn k 212mknmkm 2(1)22kmkn假如2(1)22kkktn成立，则当21k 能被2n整除时，22(1)(1)22122kkkkktnn 故P Xm在2(1)22kknm和2(1)212kmkn 处达最大值;当21k 不能被2n整除时,P Xm在2(1)22mkkn处达最大值（注:x表示不超过x的最 大整数)，下面证明2(1)22ktnkk因为1kn，所以22(1)1222kknkkknn 2111022k kkknn 而22(1)12022knkknnn ，故2122kknn 显然2(1)222kkkn因此2(1)22ktnkk