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1、 平面向量的数量积一、选择题1若向量a a，b b，c c满足a ab b且a ac，则c c(a a2 2b b)()A4 B3C2 D0解析：由a ab b及a ac c，得b bc c，则c c(a a2 2b b)c ca a2 2c cb b0.答案：Da aa ab b，2 若向量a a与b b不共线，a ab b0，且c ca a则向量a a与c c的夹角为()a ab bA0aaaa b b解析acacaaa aabab a aababa a2a a20，aaaaabab又a a0，c c0，acac，a a，c c，故选 D.2答案D3.设向量a=（1.cos）与b=（-1，
2、2cos）垂直，则cos2等于（）A21 B C.0222 2解析a b,ab 0,1 2cos2 0,cos2 2cos21 0.正确的是 C.答案 C4 已知|a a|6，|b b|3，a ab b12，则向量a a在向量b b方向上的投影是()A4 B4C2D2解析设a a与b b的夹角为，a ab b为向量b b的模与向量a a在向量b b方向上的投影的乘积，而 cosa ab b2，|a a|b b|32|a a|cos6 4.3答案A5若a a，b b，c c均为单位向量，且a ab b0，(a ac c)(b bc c)0，则|a ab bc c|的最大值为()1 B1D2解析由
3、已知条件，向量a a，b b，c c都是单位向量可以求出，a a21，b b21，c c21，由a ab b0，及(a ac c)(b bc c)0，可以知道，(a ab b)c cc c21，因为|a ab bc c|2a a2b b2c c22a ab b2a ac c2b bc c，所以有|a ab bc c|232(a ac cb bc c)1，故|a ab bc c|1.答案B136已知非零向量a a、b b满足|a a|3|b b|，若函数f(x)x|a a|x22ababx13在xR R 上有极值，则a a，b b的取值范围是()13解析f(x)x|a a|x22ababx1 在
4、xR R 上有极值，f(x)0 有两不3相等的实根，f(x)x22|a a|x2abab，x22|a a|x2abab0 有两个不1abab相等的实根，4|a a|28abab0，即abab|a a|2，cos a a，b b，2|a a|b b|12|a a|23|a a|3|b b|，cosa a，b b，0a a，b b，|a a|b b|2a a，b b.6答案D7 如 图，已知 正 六边形P1P2P3P4P5P6，下列向 量的 数量 积 中最大 的是()P1P3P1P4P1P5P1P6解析由于P1P2P1P5，故其数量积是 0，可排除 C；P1P2与P1P6的夹角是故其数量积小于零，
5、可排除 D；设正六边形的边长是a，2，332则P1P2P1P3|P1P2|P1P3|cos 30a，P1P2P1P4|P1P2|P1P4|cos 60a2.2答案A二、填空题8 已知向量a a，b b均为单位向量，若它们的夹角是 60，则|a a3b b|等于_解析|a a3b b|2a a26a ab b9b b2106cos607，|a a3b b|7.答案79.已知向量a (3,2),a (3m1,4m)，若a b，则m的值为解析a b,ab 3(3m1)(2)(4m)0,m 1答案110已知a a与b b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a ab b与向量ka ab b垂直，则k
6、_.解析设a a与b b夹角为，由题意知|a a|1，|b b|1，0 且.由a ab b与向量ka ab b垂直，得(a ab b)(ka ab b)0，即k|a a|2(k1)|a a|b b|cos|b b|20，(k1)(1cos)0.又 1cos0，k10，k1.答案111已知e e1，e e2是夹角为2的两个单位向量，a ae e12e e2，b bke e1e e2.若a ab b30，则实数k的值为_2解析由题意知：a ab b(e e12e e2)(ke e1e e2)0，即ke e21e e1e e22ke e1e e22e e20，225即kcos2kcos20,化简可求
7、得k.3345答案412在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为 2，则(ABABACAC)ADAD的值为_1解析：|BCBC|2|ABAB|2|ACAC|28，|ADAD|BCBC|，ABABACAC2ADAD，(ABAB21ACAC)ADAD2ADADADAD|BCBC|24.2答案：4三、解答题13已知向量a a(1,2)，b b(2，2)(1)设c c4a ab b，求(b bc c)a a；(2)若a ab b与a a垂直，求的值；(3)求向量a a在b b方向上的投影解析：(1)a a(1,2)，b b(2，2)，c c4a ab b(4,8)(2，2)(6,6
8、)b bc c26260，(b bc c)a a0a a0.(2)a ab b(1,2)(2，2)(21,22)，由于a ab b与a a垂直，5212(22)0，.2(3)设向量a a与b b的夹角为，向量a a在b b方向上的投影为|a a|cos.|a a|cosab122222.22|b|22 22 214如图所示，AB(6,1)，BC(x，y)，CD(2，3)(1)若BCDA，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若ACBD，求x，y的值及四边形ABCD的面积解析(1)ADABBCCD(x4，y2)，DAAD(x4,2y)又BCDA且BC(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x
9、2y0.(2)由于ACABBC(x6，y1)，BDBCCD(x2，y3)，又ACBD，ACBD0.即(x6)(x2)(y1)(y3)0，联立化简，得y22y30，y3 或y1.故当y3 时，x6，此时AC(0,4)，BD(8,0)，1SABCD|AC|BD|16；2当y1 时，x2，此时AC(8,0)，BD(0，4)，1SABCD|AC|BD|16.2CAAB的值3ABBC0，cosBAC，54cosBCA，54BC和CA夹角的余弦值为，53CA和AB夹角的余弦值为，5ABBCBCCACAAB432015 25.5516设两向量e e1，e e2满足|e e1|2，|e e2|1，e e1，e
10、 e2的夹角为 60，若向量2te e17e e2与向量e e1t e e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围思路分析转化为(2te e17e e2)(e e1te e2)0且 2te e17e e2(e e1te e2)(0)2解析由已知得e e214，e e21，e e1e e221cos 601.222(2te e17e e2)(e e1te e2)2te e21(2t7)e e1e e27te e22t15t7.15 已知平面上三点A，B，C满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，求ABBCBCCA解析由题意知ABC为直角三角形，ABBC，欲使夹角为钝角，需 2t215t70.1得7t.2设 2t e e17e e2(e e1t e e2)(0)2t，7t.t2t27.14，此时 14.214时，向量 2te e17e e2与e e1te e2的夹角为.2即t夹角为钝角时，t的取值范围是141417，222