《近世代数期末考试卷及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数期末考试卷及答案.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.-一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。A、aB、a,eC、e,aD、e,a,a332、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A、G 为整数集合，*为加法B、G 为偶数集合，*为加法C、G 为有理数集合，*为加法D、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,bC、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设1、
2、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（）A、21B、12C、22D、215、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于-。.-可修编.4.-4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-同构。5、A=1.2.3B=2.5.6 那么 AB=-
3、。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。a,a,an7、叫 做 域F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在F的-01使 得a0 a1 ann 0。8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x A均成立x a x，则称a为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H的所有陪集。2、设 E 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘
4、法，则“”是 E 中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b),a,b 和 p,q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 a*xb。2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：ab 当且仅当 mab。.-可修编.-近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多
5、选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2 阶B、3 阶C、4 阶D、6 阶2、设 G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定 G 是交换群。A、4 个B、5 个C、6 个D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4 的倍数D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）.-可修编.-A、（N,）B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、(P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3 中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，
6、(23)C、(1)，(123)D、S3 中的所有元素二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa-。3、区间1，2上的运算a b mina,b的单位元是-。4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环 Z8的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。n9、设群G中元素a的阶为m，如果a
7、 e，那么m与n存在整除关系为-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A 的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换 (1345)(1245)，11求和；(234)(456)S6。.-可修编.-12确定置换和的奇偶性。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题一近
8、世代数模拟试题一参考答案参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。.-可修编.-1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I 或 S=R；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)
9、2、解：设 A 是任意方阵，令B 11(A A)C(A A)22，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且A B C。若令有A B1C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1 C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即：B B1，C C1，所以，表示法唯一。3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素 0 和 m。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）2111(xy)exy (xy)yx yx（对每1、对于 G 中任意元 x，y，由于，所以21个 x，从x e可得x x）。2
10、、证明在 F 里ab1 b1a a(a,bR,b 0)baQ 所有(a,b R,b 0)b有意义，作 F 的子集Q显然是 R 的一个商域证毕。近世代数模拟试题二近世代数模拟试题二参考答案参考答案一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。.-可修编.-1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：H
11、的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(1 3)，(1 3 2)，(2 3)H 的 3 个左陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(2 3)，(1 3 2)，(1 3)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4,q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、
12、证明 设 e 是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。若 xG 也是 a*xb 的解，则 xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。.-可修编.-2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。若 mab 也记为 ab(m)。当 m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。近世代数模拟试题三近世代数模拟试题三参考答案参考答案一、单项选择题(本大题共 5
13、小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、征；9、；6、相等；7、商群；8、特mn；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑1 种，三白二黑 2种，等
14、等，可得总共 8 种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,bS1S2 有 a-b,abS1S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b,abS1 和 a-b,abS2，因而 a-b,abS1S2，所以 S1S2 是子环。.-可修编.-S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：13、解：1 (1243)(56)，(16524)；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么a 0，由理想的定1a义a 1，因而 R 的任意元b b1这就是说=R，证毕。2、证必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以 b=a-1。.-可修编.