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1、. .一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，那么G的子集 是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统G，*中， 不是群A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，以下哪种运算是可结合的？ A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中=122313，=2414，=132
2、4，那么= A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它 。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、群中的元素的阶等于50，那么的阶等于-。4、a的阶假设是一个有限整数n，那么G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、假设映射既是单射又是满射，那么称为-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，那么称为-。9、有限群的另一
3、定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，那么P是-。三、解答题本大题共3小题，每题10分，共30分1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“是数的乘法，那么“是E中的运算，E，是一个代数系统，问E，是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。四、证明题本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分1、假设是群，那么对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，
4、利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是 。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有 个元素，那么不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于 。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、以下哪个偏序集构成有界格 A、N, B、Z, C、2,3,4,6,12,|整除关系 D、 (P(A),)
5、5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有 A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，那么-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,那么|ax|=。5、环Z8的零因子有-。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能
6、同构于他/它自己的-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-。三、解答题本大题共3小题，每题10分，共30分1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，那么S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。四、证明题本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题。1、C；2、
7、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；三、解答题本大题共3小题，每题10分，共30分1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：2、解：设A是任意方阵，令，那么B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。假设令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，那么，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，所以，表示法唯一。3、答：，不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题本大题共2小题
8、，第1题10分，第2小题15分，共25分1、对于G中任意元x，y，由于，所以对每个x，从可得。2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题本大题共3小题，每题10分，共30分1、解：H的3个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，
9、(2 3 )H的3个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：E，不是群，因为E，中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分1、证明 设e是群的幺元。令xa1*b，那么a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是
10、a*xb的解。假设xG也是a*xb的解，那么xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为，称之为模m剩余类。假设mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小
11、题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答题本大题共3小题，每题10分，共30分1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进展计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1，；2两个都是偶置换。四、证明题本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a-1。. .word.