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1、近世代数期末考试模拟试卷及答案 班别_ 姓名_ 成绩_ 要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5 小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a
2、 是生成元，则 G 的子集（）是子群。A、a B、ea,C、3,ae D、3,aae 2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群 A、G 为整数集合，*为加法 B、G 为偶数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（）A、12 B、12 C、22 D、21 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。A、
3、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则4a的阶等于-。4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫 做 域F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在F的-naaa,10使 得010nnaaa。8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xa
4、x，则称a为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G 是 A 上的置换群，H 是 G 的子群，H=I,(1 2)，写出 H的所有陪集。2、设 E 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是 E 中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b),a,b 和 p,q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小
5、题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG 使得 a*xb。2、设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系：ab 当且仅当 mab。近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、
6、解：H 的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(1 3)，(1 3 2)，(2 3)H 的 3 个左陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(2 3)，(1 3 2)，(1 3)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4,q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。若 mab 也记为 ab(m)。当 m=2 时，Z2 仅含 2 个元：0与1。