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1、会计学1第刚体第刚体(gngt)的定轴转动的定轴转动第一页，共34页。刚体刚体(gngt)的角量描述的角量描述 1.角坐标角坐标(zubio)OPOP与极轴之间的夹角与极轴之间的夹角 称为称为角坐标角坐标(zubio)(zubio)（或角位（或角位置）置）角坐标为标量，但可有正负。角坐标为标量，但可有正负。刚体作刚体作定轴转动定轴转动时时,刚体上各质点都作刚体上各质点都作圆周运动圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：=(t)，称为转动方程。称为转动方程。第2页/共
2、34页第1页/共34页第二页，共34页。角坐标角坐标(zubio)(zubio)的的增量增量称为称为(chn wi)刚刚体的角位移体的角位移2.角位移角位移 平均平均(pngjn)(pngjn)角速角速度度3.角速度角速度 角速度角速度角速度方向：角速度方向：满足右手定则，沿刚满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。体转动方向右旋大拇指指向。第3页/共34页第2页/共34页第三页，共34页。4.角加速度角加速度 平均平均(pngjn)角加角加速度速度角加速度角加速度角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚体体(gngt)，角速度和角加速度的方
3、向只有两个，角速度和角加速度的方向只有两个，我们用正负表示角速度和角加速度的方向。我们用正负表示角速度和角加速度的方向。第4页/共34页第3页/共34页第四页，共34页。5.角量与线量的关系角量与线量的关系(gun x)路程路程(lchng)(lchng)与角位移与角位移的关系的关系线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系(gun(gun x)x)圆周运动时加速度与角量的关系圆周运动时加速度与角量的关系第5页/共34页第4页/共34页第五页，共34页。3.2 刚体刚体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律刚体刚体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律 1.力对转轴力对转轴(zhunzhu)的矩的矩
4、 力对固定点的矩力对固定点的矩力对固定轴的矩力对固定轴的矩OPdr把力分解为平行于转轴的分量和把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效果，平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。对轴的矩为零。第6页/共34页第5页/共34页第六页，共34页。【例【例1】一匀质细杆，长为】一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m，在摩擦系，在摩擦系数为数为 的水平桌面上转动的水平桌面上转动(zhun dng)，求摩擦，求摩擦力的力矩力的力矩 M阻。阻。【解】杆上各质元均受摩擦力作用【解】杆上各质元均受摩擦力作用(zuyng)，各质元所受，各质元所受的摩擦阻力矩不同
5、。的摩擦阻力矩不同。细杆的质量细杆的质量(zhling)密度密度质元质量质元质量质元受阻力矩质元受阻力矩细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩第7页/共34页第6页/共34页第七页，共34页。2.刚体刚体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律考虑刚体上某一质元考虑刚体上某一质元，其受力如图所示。对质元应用，其受力如图所示。对质元应用(yngyng)牛顿第二定律：牛顿第二定律：法向分力法向分力(fnl)的力矩为零，对切向的力矩为零，对切向力有力有第8页/共34页第7页/共34页第八页，共34页。对所有质元求和对所有质元求和(qi h)，得到，得到左边左边(zu bian)第二项表示内力矩之和，等于零。第二项
6、表示内力矩之和，等于零。左边第一项表示左边第一项表示(biosh)合外力矩，记作合外力矩，记作M。只与刚体的质量和质量相对转轴的分布只与刚体的质量和质量相对转轴的分布有关，称为刚体对轴的有关，称为刚体对轴的转动惯量，记作转动惯量，记作J。则上式可简写成则上式可简写成刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律第9页/共34页第8页/共34页第九页，共34页。定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的转动惯量的转动惯量 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及质量的分布以及(yj)(yj)转轴的位置有关。转轴的位置有关。对于对于(duy)(duy)质量连续分布的刚质量连
7、续分布的刚体体（面质量分布）（面质量分布）（线质量分布）（线质量分布）第10页/共34页第9页/共34页第十页，共34页。【例【例2】半径】半径(bnjng)为为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。【解】分割质量【解】分割质量(zhling)元，环上各质元到轴的距离相等。元，环上各质元到轴的距离相等。【例【例3】在无质轻杆的】在无质轻杆的 b 处处 3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的质点的质点(zhdin)，可绕，可绕 O轴转动，求质点轴转动，求质点(zhdin)系系的转动惯量的转动惯量J。
8、【解解】第11页/共34页第10页/共34页第十一页，共34页。oR【例【例4】一质量为】一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求对通过的均匀圆盘，求对通过盘中心盘中心(zhngxn)并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。【解解】rdr第12页/共34页第11页/共34页第十二页，共34页。【例【例5】长为】长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的匀质细杆，绕与杆垂直(chuzh)的质心轴转动，求转动惯量的质心轴转动，求转动惯量 J。【解】建立坐标系，分割【解】建立坐标系，分割(fng)质量质量元元【例【例6】长为】长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕
9、细杆一端的匀质细杆，绕细杆一端(ydun)轴轴转动，求转动惯量转动，求转动惯量 J。【解解】第13页/共34页第12页/共34页第十三页，共34页。计算转动惯量计算转动惯量J 的三条有用的三条有用(yu yn)的定理的定理（2）平行）平行(pngxng)轴定理轴定理:所以所以(suy)Jc 总是最小的。总是最小的。mJACdJC平行平行（1）叠加定理）叠加定理:对同一转轴对同一转轴 J 有可叠加性有可叠加性第14页/共34页第13页/共34页第十四页，共34页。（3）垂直轴定理）垂直轴定理(dngl):（对薄平板刚体）（对薄平板刚体）【例【例7】求对薄圆盘】求对薄圆盘(yun pn)的一条直径
10、的转动惯量的一条直径的转动惯量 yx z yi xiO第15页/共34页第14页/共34页第十五页，共34页。【例【例8】计算钟摆计算钟摆(zhngbi)的转动惯量（已知：摆锤质量的转动惯量（已知：摆锤质量为为m，半径为，半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）。）。rO【解解】摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：钟摆钟摆(zhngbi)的转动惯量：的转动惯量：第16页/共34页第15页/共34页第十六页，共34页。已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1)滑轮滑轮 m、R,可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩
11、为 Mf（设绳轻，且（设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对与滑轮无相对(xingdu)滑动）。滑动）。求求:物体物体(wt)的加速度及绳中张的加速度及绳中张力。力。【例例8】m1m2mR刚体刚体(gngt)定轴转动定律的应用定轴转动定律的应用【解解】分别对分别对m1,m2,m分析分析第17页/共34页第16页/共34页第十七页，共34页。因绳不伸长因绳不伸长(shn chn)，有，有 a1=a2=a因绳轻，有因绳轻，有对对m1有有对对 m2有有 m2g-T2=m2 a-（2）T1-m1g-=m1 a-（1）对滑轮对滑轮 m 由转动由转动(zhun dng)方程方程-（3）再从运动学关系再从运
12、动学关系(gun x)上有上有联立四式解得：联立四式解得：-（4）第18页/共34页第17页/共34页第十八页，共34页。第19页/共34页第18页/共34页第十九页，共34页。当不计滑轮当不计滑轮(huln)质量和摩擦力矩时质量和摩擦力矩时:m=0,Mf=0，有有讨论讨论(toln)第20页/共34页第19页/共34页第二十页，共34页。【解】【解】（1）建立坐标系，分割）建立坐标系，分割(fng)质量元。重力矩为：质量元。重力矩为：【例【例9 9】质量为】质量为m,m,长为长为L L的均质细棒的均质细棒,转轴转轴(zhunzhu)(zhunzhu)在在O O点点,今今使棒从静止开始由水平位
13、置绕使棒从静止开始由水平位置绕O O点转动点转动,求求:（1 1）下摆到角）下摆到角时，时，细棒所受的重力矩细棒所受的重力矩;（2 2）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度;（2 2）垂直位置时的角速度和角加速度。垂直位置时的角速度和角加速度。xdmgdmCmgx据质心据质心(zh xn)定义定义得得即即第21页/共34页第20页/共34页第二十一页，共34页。(2)在水平在水平(shupng)位置时位置时(3)任意任意(rny)角度角度时时由由积分积分(jfn)解得解得垂直位置时垂直位置时得到得到第22页/共34页第21页/共34页第二十二页，共34页。3.3 定轴转动刚体
14、定轴转动刚体(gngt)的功与能的功与能1.1.力矩力矩(l j)(l j)的功的功 刚体刚体(gngt)在外力作用下绕轴转过微小在外力作用下绕轴转过微小角位移角位移 d，外力作的微功为：，外力作的微功为：刚体从刚体从 0位置转到位置转到 位置位置，外外力力作的功为：作的功为：第23页/共34页第22页/共34页第二十三页，共34页。注意：注意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种(y zhn)(y zhn)表达方式。表达方式。2)2)内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。2.刚体刚体(gngt)的的动能动能 zmi
15、刚体刚体(gngt)中第中第i个质元的动个质元的动能：能：整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：第24页/共34页第23页/共34页第二十四页，共34页。3.定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的动能定的动能定理理 设在外力矩设在外力矩(l j)M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功元功由转动定律由转动定律有有刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于所做的功等于(dngy)(dngy)刚体转动动能的增量。刚体转动动能的增量。第25页/共34页第24页/共34页第二十五页，共34页。4.4.刚体刚体(gngt
16、)(gngt)的重力势能的重力势能 刚体刚体(gngt)是个质点系，其功能原理为是个质点系，其功能原理为-机械能守恒定律机械能守恒定律A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）5.定轴转动刚体的功能定轴转动刚体的功能(gngnng)定定理理 若若 A外外=A内非内非=o，则，则 Ek+Ep=常量常量第26页/共34页第25页/共34页第二十六页，共34页。【解】只有重力【解】只有重力(zhngl)作功，机械能守作功，机械能守恒。恒。解得解得【例例10】已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为，长为l，轴，轴o光光滑，滑，初始静止在水平位置。，初始静止在水平位置。求求:杆
17、下杆下摆到摆到 角时角速度角时角速度？0CABl,ml/4第27页/共34页第26页/共34页第二十七页，共34页。3.4 定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量守恒定律的角动量守恒定律定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量定理的角动量定理 质元质元 对轴的角动量为对轴的角动量为 定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)(gngt)上的所有质元都作圆周运动上的所有质元都作圆周运动刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量为 得得第28页/共34页第27页/共34页第二十八页，共34页。由刚体由刚体(gngt)定轴转动定律定轴转动定律作用作用(zuyng)在刚体上的冲量矩等于作用在刚体上的冲量矩
18、等于作用(zuyng)时间内角动量的增量时间内角动量的增量定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)角动量定理微分形式角动量定理微分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式得到得到第29页/共34页第28页/共34页第二十九页，共34页。定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量守恒定律的角动量守恒定律 当当 M=0 时，则时，则定轴转动刚体定轴转动刚体(gngt)的角动量定理的角动量定理定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的合外力定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的合外力矩为零时矩为零时(ln sh)(ln sh)，刚体对转轴的角动量保持不变。，刚体对转轴的角动
19、量保持不变。该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。任意物体系统。第30页/共34页第29页/共34页第三十页，共34页。【例例11】质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的水的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。lm mo【解解】杆的角速度杆的角速度 肯定如图，假设小球碰后瞬时肯
20、定如图，假设小球碰后瞬时的速度的速度 向上，如图所示。向上，如图所示。系统：小球系统：小球+杆杆条件：条件：M=0 角动量守恒（轴角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰力无力矩；小球的重力矩与碰撞撞(pn zhun)的内力矩相比的内力矩相比可以忽略）可以忽略）第31页/共34页第30页/共34页第三十一页，共34页。因为弹性因为弹性(tnxng)碰撞碰撞,动能守恒动能守恒解得解得讨论讨论(toln)1.0总是总是(zn sh)成立成立2.当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上）当当 m=3m 时时,v=0（瞬时静止）（瞬时静止）当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）第32页/共34
21、页第31页/共34页第三十二页，共34页。【例【例12】质量为】质量为m、半径为、半径为R 的圆盘，以初角速度的圆盘，以初角速度 0在在摩擦系数为摩擦系数为 的水平面上绕质心轴转动的水平面上绕质心轴转动(zhun dng)，问：圆盘转动问：圆盘转动(zhun dng)几圈后静止？几圈后静止？【解】分割【解】分割(fng)圆盘为圆环圆盘为圆环由动能定理由动能定理(dn nn dn l)第33页/共34页第32页/共34页第三十三页，共34页。【例【例13】如图，光滑的水平桌面上有一小物体，一细绳】如图，光滑的水平桌面上有一小物体，一细绳的一端联结此物体，另一端穿过桌子上的小孔。物体原的一端联结此
22、物体，另一端穿过桌子上的小孔。物体原来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动，来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动，在小孔下方在小孔下方(xi fn)缓慢地往下拉绳的过程中，物体的缓慢地往下拉绳的过程中，物体的动量、动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？动量、动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？【解】物体的动能变化，物体在做离小孔【解】物体的动能变化，物体在做离小孔的距离不断缩小的螺旋线运动，绳对物体的距离不断缩小的螺旋线运动，绳对物体的拉力的拉力(ll)方向与物体位移方向小于方向与物体位移方向小于90o，拉力，拉力(ll)作正功。作正功。物体的动量变化，绳子物体的动量变化，绳子(shng zi)拉力的冲量在改变物拉力的冲量在改变物体的动量。体的动量。物体对小孔的物体对小孔的角动量不变角动量不变，因为物体受绳子拉力的方向始，因为物体受绳子拉力的方向始终通过小孔，所以物体对小孔的力矩为终通过小孔，所以物体对小孔的力矩为0。第34页/共34页第33页/共34页第三十四页，共34页。