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1、1本章将介绍一种特殊的质点系本章将介绍一种特殊的质点系刚体刚体所遵循的力学所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。规律。着重讨论刚体的定轴转动。5.1 5.1 刚体的运动刚体的运动一、一、概念概念什么是刚体什么是刚体?实际的固体在受力作用时总是要发生或大或实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种形这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处理。状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处理。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称
2、刚体。(2)(2)刚体可以看作是由许多质点组成刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点每一个质点叫做刚体的一个质元叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。1.刚体定义:mimiN支持力注意：注意：(1)(1)刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。质元第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动(A rigid body about a fixed axis)第1页/共54页22.刚体的运动形式刚体的运动形式:如果刚体在运动中如果刚体在运动中,连结体内两连结体内两点的直
3、线在空间的指向总保持平行点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫这样的运动就叫平动。平动。转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动时各质元均做圆周运动转动时各质元均做圆周运动,而且各圆而且各圆 的圆心的圆心都在一条固定不动的直线上都在一条固定不动的直线上,这条直线叫这条直线叫转轴转轴。如果转轴方向不随时间变化如果转轴方向不随时间变化,则称则称定轴转动定轴转动。转动:平动：转轴转轴mimi注意：注意：刚体平动时刚体平动时,刚体内各刚体内各质元的运动轨迹都一样质元的运动轨迹都一样,而且在而且在同一时刻的速度和加速度都相等。同一时刻的速度和加速度都相等。因此因此
4、,在描述刚体的平动时在描述刚体的平动时,可以可以用一点的运动来代表，通常就用用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。体的平动。第2页/共54页3 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图,车轮的转动。第3页/共54页4转动平面转动平面 二、刚体定轴转动的描述二、刚体定轴转动的描述 刚体绕某一固定轴转动时刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同相同,根据这一特点根据这一特点
5、,常取垂直于转轴常取垂直于转轴 的平面为参考系的平面为参考系,这个平面这个平面称转称转 动平面。动平面。,虽然刚体上各质元的线速度、虽然刚体上各质元的线速度、加速度一般是不加速度一般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动所以描述各质元运动的角量的角量,如角位移、如角位移、角速度角速度 和角加速度都是一样的。因此描述和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时刚体的运动时,用角量最为方便。用角量最为方便。Ovimi转轴转轴Zri转轴转轴第4页/共54页52.角位移角位移1.角位置角位置4.角加速度矢量角加速度矢量转动平面转动平面v方向与转动
6、方向成右手螺旋法则。3.角速度矢量角速度矢量:方向与转动方向成右手螺旋法则。P点线速度P点线加速度切向加速度法向加速度当减速转动时当减速转动时,角加速度与角速度方向相反角加速度与角速度方向相反;注意注意:当加速转动时当加速转动时,角加速度与角速度方向相同；角加速度与角速度方向相同；oX转动方向转动方向Z第5页/共54页6.当角加速度矢量是常矢量时：当角加速度矢量是常矢量时：匀加速度直线运动公式：匀加速度直线运动公式：第6页/共54页7vi5.2 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 ;m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为
7、r1 、r2、ri 、rn各质点速率分别为 v1 、v2 、vi、vnrioi1.第第 i 个质点对个质点对O点角动量点角动量2.当质点受合外力当质点受合外力Fi 时该力对时该力对O点的力矩点的力矩FiioOZmi第7页/共54页8实验发现实验发现,刚体做定轴转动时刚体做定轴转动时,其转动状态的改变与外力的大小其转动状态的改变与外力的大小 方方向及作用点均有关。向及作用点均有关。(如开门如开门)O转轴与转动平面内的交点转轴与转动平面内的交点M=F r sin力矩定义力矩定义:p力矩的方向:沿Z轴方向力矩的大小:FrFF/OZF/-表示力表示力F在转轴方向的投影在转轴方向的投影F-表示力表示力F
8、在转动平面内的投影在转动平面内的投影r-O点到力的作用点的矢径点到力的作用点的矢径表示表示 F与与 r 的夹角的夹角沿转轴方向沿转轴方向,并与矢径并与矢径 r 及及 F 成右手螺旋法则成右手螺旋法则。第8页/共54页9FFF/当我们用力 F 推门时，该力可以分解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴方向的力，平行于门轴方向的力对门的转动是否起作用？问题:第9页/共54页10oiiriFiiZi表示表示 Fi与与 r i的夹角的夹角垂直于Z轴垂直于Z轴3.整个刚体受合外力矩沿整个刚体受合外力矩沿Z轴的分量：轴的分量：ioOZpFiFiZ第10页/共54页11rivimiioiZ 第第 i 个质点对个质
9、点对O点角动量点角动量垂直于Z轴平行于Z轴 第第 i 个质点沿个质点沿Z轴的角动量轴的角动量4.整个刚体总角动量沿整个刚体总角动量沿Z轴的分量：轴的分量：OZoi第11页/共54页125.刚体的角动量刚体的角动量6.刚体对于转轴的转动惯量刚体对于转轴的转动惯量7.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 刚体定轴转动定律刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。意义：第12页/共54页131.定轴转动惯量定义定轴转动惯量定义:5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算分立刚体:转动惯量等于转动惯量等于刚体中每个质点的刚体中每个质点的质量与这一
10、质点到质量与这一质点到转轴的距离的平方转轴的距离的平方的乘积的总和。的乘积的总和。mioiri第13页/共54页14连续刚体连续刚体:质量体密度质量面密度质量线密度dmor第14页/共54页152.转动惯量的计算转动惯量的计算 例例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所示，刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量求绕转轴的转动惯量例例 2 质量为质量为m ，长为，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。和绕一端转轴的转动惯量。r1r2r3m1m2m3转轴转轴第15页/共54页16解解:设棒单位长质量设棒单位长质量:则则按如
11、图按如图所示建立一维坐标系所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为绕中心轴的转动惯量为则则按如图按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为oX图图图图Xo=m/l,dxdxdm=dxdm第16页/共54页17oRZ例例 3 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。圆环平面垂直并通过其圆心。dm解解:第17页/共54页18RoZ例例 4 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。与圆盘平面垂直并
12、通过其圆心。drr解解:设圆盘单位面积上的质量为设圆盘单位面积上的质量为在圆盘上取半径为r，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为第18页/共54页19例例 5 求质量为求质量为 M ，半径为，半径为 R，厚为，厚为 l 的的均匀圆柱体的转动惯均匀圆柱体的转动惯量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。RoZldl解解:设圆柱体单位长度上的质量为设圆柱体单位长度上的质量为在圆柱体上沿轴向取长为 dl 的薄圆盘，该圆盘质量：圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为圆柱体转动惯量为圆柱体转动惯量为第19页/共54页20Z3.转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理
13、意义及性质:转动惯量与质量类似转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度它是刚体转动惯性大小的量度;转动惯量不仅与刚体质量有关转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关位置及刚体的质量分布有关;转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性;如图如图,如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3转动惯量具有相对性转动惯量具有相对性;同一刚体同一刚体,转轴不同转轴不同,质量对转轴的分质量对转轴的分布不同布不同,因而转动惯量不同。因而
14、转动惯量不同。ZCdZ 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量体对通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。积。平行轴定理：J=Jc+md2第20页/共54页21转动定律转动定律实验指出实验指出,一个绕固定轴转动的刚体一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩当它所受的合外力矩(对该对该转轴而言转轴而言)为零时为零时,它将保持原有的角速度不变。该定理反映了它将保持原有的角速度不变。该定理反映了任何转动物体都有转动惯性。任何转动物体都有转动惯性。一个绕固定轴转动的刚体一个绕固定轴转
15、动的刚体,当它所受的合外力矩当它所受的合外力矩(对该转轴而言对该转轴而言)不为零时不为零时,它将获得角加速度它将获得角加速度,角加速度的方向与合外力矩的方角加速度的方向与合外力矩的方向相同向相同;角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比,并与它的并与它的转动惯量成反比。转动惯量成反比。当选用国际单位制时当选用国际单位制时,该定律可写成该定律可写成 5.4 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用刚体转动的第二定律:刚体转动的第一定律:第21页/共54页22例例6 如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量的匀质细杆，中
16、间和右端各有一质量皆为皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成向成角时角时,杆的角加速度是多少杆的角加速度是多少?解解:1设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 该系统所受的合力矩为该系统所受的合力矩为由转动定律由转动定律:M=J可得可得方向方向:指里。指里。mgl第22页/共54页23例例7 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可
17、绕其光滑的水平对称轴轴OO转动转动,设大小圆柱体的半径分别为设大小圆柱体的半径分别为R和和r,质量分别为质量分别为M和和m,绕在两柱体上的细绳分别与物体绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和和m2相连相连,m1和和m2则挂在物则挂在物体的两侧体的两侧,如下图所示。如下图所示。求:柱体转动的角加速度;两细绳的张力T1和T2。设R=0.2m,r=0.1m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kgmOOm1m2MrR第23页/共54页244.由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如下由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如下XoT2m2gT1m1g3.隔离物体分析力,2.定性分析m1 向上m2 向下;定
18、转轴正向沿oo从左侧视图看转轴正向指里;设m2 向下为坐标正向;解:1.确定研究对象：m、M、m1、m2T2RroT1第24页/共54页254.解方程可得结果如下解方程可得结果如下:第25页/共54页26 练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳,其两端挂着质量分别为m1 和m2 的物体。若m1 m2,忽略轴承处的摩擦,且绳子与滑轮间无相对滑轮,求滑轮的角加速度及绳子的张力T1 、2 、T 3。m2m1T2T1T3M1R1M2R2第26页/共54页27T2M1R1M2 R2T3T1m1gT2m2gT3T1第27页/共54页28第
19、28页/共54页29将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1、m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1、r2 ri rn整个刚体的动能整个刚体的动能一、一、转动动能转动动能称刚体的转动动能称刚体的转动动能5.5 5.5 转动中的功和能转动中的功和能则第 i 个质元的动能 第29页/共54页30O二、力矩的功二、力矩的功-力矩作用于刚体的空间累积效应力矩作用于刚体的空间累积效应当力持续作用于刚体使其角位置由当力持续作用于刚体使其角位置由1到到2时时,力矩的功为力矩的功为如图力 f 作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度d,P点对应的线位移为点对应
20、的线位移为dr,力所作的元功力所作的元功pfdrdr第30页/共54页31当力矩为常量时当力矩为常量时,功为功为对于同一转轴对于同一转轴,刚体中所有内力矩功的总和为零。刚体中所有内力矩功的总和为零。三三、力矩的功率、力矩的功率:2.2.当力矩与与角速度同向时当力矩与与角速度同向时,功和功率皆为正值功和功率皆为正值;反之为负。反之为负。单位时间内力矩所做的功。注意注意:1.1.当额定功率一定时当额定功率一定时,力矩与转速成反比力矩与转速成反比;第31页/共54页32四、四、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理末态的角位置和角速度分别为末态的角位置和角速度分别为2和和2,则在该过程中力矩的
21、功则在该过程中力矩的功为：为：即即,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动等于刚体转动动能的增量。动能的增量。设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为1和1第32页/共54页33m质量为质量为m的不太大的整个刚体的重力势能的不太大的整个刚体的重力势能ydmycC一个不太大的刚体的重力势能和它的一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。全部质量集中在质心时所具有的势能一样。结论：五五、刚体系统的功能原理、刚体系统的功能原理A外力+A非保守内力=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时
22、,在该过程中系统机械能守恒。XYOz第33页/共54页34例例 3：如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成方向成角时角时,杆的角速度是多少杆的角速度是多少?mgl1.研究对象研究对象:杆杆+球球+地球地球=系统系统重力重力mg保守内力保守内力;弹力其功为零弹力其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取
23、重力势能零点取重力势能零点:水平位置水平位置4.运动过程中系统满足机械能守恒的条件运动过程中系统满足机械能守恒的条件:解:第34页/共54页35第35页/共54页36rivimiZoi5.6 5.6 对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒一、冲量矩一、冲量矩-力矩作用于刚体的时间累积效应力矩作用于刚体的时间累积效应定义定义:二、角动量定理二、角动量定理:1.角动量定义角动量定义:质点对质点对Z轴的角动量轴的角动量:刚体对刚体对Z轴的角动量轴的角动量:2.角动量定理角动量定理:转动物体所受合外力矩的冲量矩转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转动物等于在这段时间内转动物体角动量的增量。角动
24、量也称动量矩。体角动量的增量。角动量也称动量矩。3.角动量定理的意义:第36页/共54页37三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律:由角动量定理可知：由角动量定理可知：1.1.角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况:注意注意:当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M=0时时,其角动量其角动量 L保持守恒。保持守恒。2.2.角动量守恒定律与动量守恒定律、角动量守恒定律与动量守恒定律、能量守恒定律一样都是自能量守恒定律一样都是自然界的规律。然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变一是转动惯量与角速度都不变;二是两者都变但二者的乘积不变。二是两者都变但二者的乘积不变。第37页/共54页38舞
25、蹈中的角动量守恒现象第38页/共54页39滑冰中的角动量守恒现象 第39页/共54页40跳水中的角动量守恒现象 起跳入水第40页/共54页41例例4:如图长为如图长为 L 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为起而静止下垂。今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度vo 射入杆的射入杆的下端而不复出。下端而不复出。求：子弹刚和杆开始一起运动时的角速度多大?mvooL第41页/共54页42解:1.定转轴正向：指外2.隔离物体分析力及力矩；子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速
26、度为，则由角动量守恒定律可得mvooLfFMgmgf第42页/共54页43例例5:如图长为如图长为 l ，质量为，质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水平面的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的小球以的小球以水平速度水平速度 vo 射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速度的速度v和棒的角速度和棒的角速度。lmvomo第43页/共54页44解:定转轴正向指上；以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能守恒。mvomovmZ第44页/共54页45例例 6:如图长为如图
27、长为l 的均匀细棒的均匀细棒,一端悬于一端悬于o点点,另一端自由下垂另一端自由下垂,紧紧靠靠o 点有一摆线长为点有一摆线长为l 的单摆的单摆,摆球质量为摆球质量为m,现将单摆拉到水现将单摆拉到水平位置后平位置后,由静止释放由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞后摆后摆 球恰好静止球恰好静止,试求:细棒的质量M;细棒碰撞后摆动的最大角度o第45页/共54页46(一一)单摆下落过程单摆下落过程(AB):1.研究对象研究对象:摆摆 球球+地球地球=系统系统重力重力mg保守力力保守力力;绳的张力绳的张力T其功为零其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功
28、:3.取零点势能取零点势能:B点点4.AB过程系统满足机械能守恒条件过程系统满足机械能守恒条件:BAmgTC第46页/共54页47(二二)单摆与棒碰撞过程单摆与棒碰撞过程(在在B点点):1.研究对象研究对象:摆摆 球球+棒棒+地球地球=系统系统2.设转轴正向垂直向里设转轴正向垂直向里;3.因为系统做弹性碰撞因为系统做弹性碰撞,故碰撞过程机械能和角动量皆守恒故碰撞过程机械能和角动量皆守恒设棒碰撞后的瞬时角速度为设棒碰撞后的瞬时角速度为第47页/共54页48(三三)碰撞后细棒上摆过程碰撞后细棒上摆过程(BC):1.研究对象研究对象:棒棒+地球地球=系统系统重力重力Mg保守内力保守内力;轴对棒的压力
29、轴对棒的压力N其功为零其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取零点势能取零点势能:B点处细棒中点点处细棒中点;4.BC过程系统满足机械能守恒条件过程系统满足机械能守恒条件:解方程解方程 可得到可得到M=3m;cos=1/3;=7032第48页/共54页49 例例7:如图长为如图长为 L 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为起而静止下垂。今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度vo 射入杆的悬射入杆的悬点下距离为点下距离为 d 处而不复出。处而不复出。(1)子弹刚冲入杆中时杆的角速度为多大?（2）子弹冲入杆
30、的过程中(经历时间为t),杆的上端受轴的水平和竖直分力各多大?(3)要想使杆不受轴水平力,则子弹应在何处击中杆?mvodoL第49页/共54页50mvodoLcfFyFxMgactacn解:1.定转轴正向指外，建立直角坐标系如图；2.隔离物体分析力；mgf（1）子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为，则由角动量守恒定律可得oXY第50页/共54页51（2）子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力杆受子弹的冲力:对杆用质心运动定律:X方向:mvodoLcfFyFxMgactacnmgf杆受轴水平方向的分力:第51页/共54页52mvodoLcfFyFxMgactacnmgfY方向:杆受轴竖直方向的分力:(3)当杆不受轴水平方向的分力时:第52页/共54页53*5.7*5.7 进动进动进动：高速自旋物体在外力矩作用下，其自转轴发生转动的现象。mgLr转动角速度：俯视图第53页/共54页鞍山科技大学 姜丽娜54感谢您的观看！第54页/共54页