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1、第1讲 刚体的定轴转动1 1第1页，本讲稿共36页1.1.刚体：刚体：特殊的质点系，特殊的质点系，理想化模型。理想化模型。形状和体积不变化形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。2.2.自由度：自由度：确定物体的位置所需要的独立坐标数确定物体的位置所需要的独立坐标数sOi=1xyzO(x,y,z)i=3i=2xyzOi=3+2+1=6 对于刚体而言，当刚体受到某些限制对于刚体而言，当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少.一、刚体运动的描述一、刚体运动的描述在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体在力作用下，
2、大小和形状都保持不变的物体称为刚体.2 2第2页，本讲稿共36页二、刚体的运动形式二、刚体的运动形式1.1.刚体的平动刚体的平动刚体运动时，在刚体内任意两点连线都始终保持和自身平行刚体运动时，在刚体内任意两点连线都始终保持和自身平行.3 3第3页，本讲稿共36页刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动.xyzOABM平动的特点平动的特点 描述刚体的平动的自由度：描述刚体的平动的自由度：3 3个个4 4第4页，本讲稿共36页2.2.刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作
3、圆周运动 _ _ 刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固定不动 定轴转动定轴转动5 5第5页，本讲稿共36页角坐标角坐标zIIIIIP 描述刚体绕定轴转动的角量：描述刚体绕定轴转动的角量：运动学方程运动学方程刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但在相同时间内刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但在相同时间内转过的角度相同。转过的角度相同。描述刚体绕定轴转动的自由度：描述刚体绕定轴转动的自由度：1 1个个 6 6第6页，本讲稿共36页刚体运动过程中任意一点的运动均为平面运动。刚体运动过程中任意一点的运动均为平面运动。3 3、刚体平面平行运动、刚体平面平行运动例如：车轮
4、的滚动可以看成车轮随轮例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮轴的平动与绕轮轴的转动的组合。轴的平动与绕轮轴的转动的组合。刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。描述刚体平面运动的自由度：描述刚体平面运动的自由度：3个个7 7第7页，本讲稿共36页4、定点转动、定点转动刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一瞬时刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一瞬时转轴的转动，称作定点转动。转轴的转动，称作定点转动。描述定点转动的自由度：描述定点转动的自由度：3个个8 8第8页，本讲稿共36页5、刚体的一般运动、刚体的一般运动质心的平动质心
5、的平动绕质心的转动绕质心的转动+9 9第9页，本讲稿共36页刚体绕定轴转动时的角速度刚体绕定轴转动时的角速度 的方向由右手定则确定的方向由右手定则确定.规定：规定：逆时针转动逆时针转动,0,沿转轴向上沿转轴向上,0.顺时针转动顺时针转动,0,沿转轴向下沿转轴向下,0 01 0 0设设1 ，2 同向同向,=2-1.加速转动加速转动减速转动减速转动角加速度角加速度1111第11页，本讲稿共36页当当与质点的匀加速直与质点的匀加速直线运动公式相似线运动公式相似M,刚体刚体 zOr任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动,且且 ，都相同都相同绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度绕定轴转动刚体
6、内各点的速度和加速度 角量和线量的关系角量和线量的关系 1212第12页，本讲稿共36页 一飞轮的半径为一飞轮的半径为 0.2m,转速为转速为150rmin,经经30s均匀均匀 减速后停止减速后停止.求：（求：（1）角加速度和飞轮转的圈数）角加速度和飞轮转的圈数,（2）t=6s 时的角速度时的角速度,飞轮边飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度.解：解：飞轮在飞轮在30s内转过的角度为：内转过的角度为：飞轮在飞轮在30s内转过的圈数为：内转过的圈数为：例例1 （1）1313第13页，本讲稿共36页(2)t=6 s 时的角速度：时的角速度：边缘线速
7、度：边缘线速度：切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：设圆柱型电机转子由静止经设圆柱型电机转子由静止经300s后达后达18000r/min，已知转子的角加已知转子的角加速度速度a与时间成正比与时间成正比.求求:转子在这段时间内转过的圈数转子在这段时间内转过的圈数.因角加速度因角加速度a 随时间而增大，设：随时间而增大，设：=ct由角加速度的定义由角加速度的定义例例2 解：解：1414第14页，本讲稿共36页由给定条件，由给定条件，由角速度的定义，则任意时刻的由角速度的定义，则任意时刻的角速度可写为：角速度可写为：得到：得到：转子转数：转子转数：对上式两边积分得对上式两边积分得1515
8、第15页，本讲稿共36页一、力矩一、力矩改变质点的运动状态改变质点的运动状态质点获得加速度质点获得加速度改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度1.力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩hA(力不在垂直于轴的平面内力不在垂直于轴的平面内)(力力F F 在垂直于轴的平面内在垂直于轴的平面内)2.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量力力 力矩力矩 1616第16页，本讲稿共36页2.2.力对点的力矩力对点的力矩O .大小：大小：方向：指向由右手螺旋法则确定方向：指向由右手螺旋法则确定.（力对轴的力矩只有两个指向）（力对轴的力矩只有两个指向）A力对定轴力矩的矢量
9、形式力对定轴力矩的矢量形式 讨论讨论 1717第17页，本讲稿共36页ri二、转动定律二、转动定律切线方向切线方向在上式两边同乘以到转轴在上式两边同乘以到转轴的垂直距离的垂直距离 ri对所有质元求和对所有质元求和fi内力矩之和为内力矩之和为0 0转动惯量转动惯量J J刚体的转动定律刚体的转动定律（刚体绕定轴转动微分方程（刚体绕定轴转动微分方程）刚体上任一质元刚体上任一质元m i 受力受力 1818第18页，本讲稿共36页转动定律：转动定律：刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度
10、轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。的乘积。即求力矩之和即求力矩之和,而非求力之和的矩而非求力之和的矩.在形式上对应在形式上对应,是反映瞬时效应的是反映瞬时效应的.m 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性则反映刚体的转动惯性.(2)与牛顿第二定律比较：与牛顿第二定律比较：讨论：讨论：1919第19页，本讲稿共36页2.3 转动惯量的计算转动惯量的计算一、质点系的转动惯量一、质点系的转动惯量质量不连续分布质量不连续分布J 的单位（的单位（SI）：kgm2 量纲：量纲：ML2mkm2m1rk转动惯量的定义：转动惯量的定义：例子：例子：2020第2
11、0页，本讲稿共36页质元的选取和计算方法：质元的选取和计算方法：质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布、分别为刚体质量分布的线分别为刚体质量分布的线密度、面密度和体密度密度、面密度和体密度.dm为质量元为质量元,简称质元简称质元.r如果质点系的质量连续分布，如果质点系的质量连续分布，2121第21页，本讲稿共36页v 讨论：确定转动惯量的三个要素讨论：确定转动惯量的三个要素 (1)(1)总质量总质量(2)(2)质量分布质量分布(3)(3)转轴的位置转轴的位置例：等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量，两者质量不同。例：等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量，两者质
12、量不同。LzOxdxM1、J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 2222第22页，本讲稿共36页例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR2、J 与质量分布有关与质量分布有关 2323第23页，本讲稿共36页OLxdxMzLOxdxMz3、J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 因此刚体的因此刚体的总质量、质量分布和转轴的位置总质量、质量分布和转轴的位置均影响刚体的转动惯量均影响刚体的转动惯量同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。2424第24页，本讲
13、稿共36页zLCMzOLxdxMzLOxdxMz二、平行轴定理及垂直轴定理二、平行轴定理及垂直轴定理 刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量.刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴.两轴间垂直距离两轴间垂直距离.1、平行轴定理、平行轴定理例子：例子：在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小。在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小。2525第25页，本讲稿共36页刚体绕垂直薄板过质心轴的转动惯量刚体绕垂直薄板过质心轴的转动惯量.刚体绕平行薄板过质心的两垂直轴的转动惯量刚体绕平行薄板过质心的两垂直轴的转动惯量.2、垂直轴定理、垂直轴定理zyMx厚度厚度d很小很小注意：对于厚度不是非常小的板，
14、这个定理不适用。注意：对于厚度不是非常小的板，这个定理不适用。例子：例子：o oo o2626第26页，本讲稿共36页竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么大飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？2727第27页，本讲稿共36页三、三、J 的计算的计算（1）按定义计算）按定义计算求长为求长为L质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量.ABLxdm解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dxBL/2L/2Cxdm例例1 1：2828第28页，本讲稿共36页 求质量为求质量为m、半径为半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环
15、平的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心面垂直并通过圆心.解：解：对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同.ROdm例例2 dh2929第29页，本讲稿共36页 求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转动惯量的均匀圆盘的转动惯量.轴与盘平轴与盘平面垂直并通过盘心面垂直并通过盘心.Rordrdm解：解：例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2.例例3.圆环质量圆环质量:圆环转动惯量圆环转动惯量:圆盘转动惯量圆盘转动惯量:圆盘密度圆盘密度:自证：自证：P43薄球壳和球体对
16、直径的转动惯量薄球壳和球体对直径的转动惯量3030第30页，本讲稿共36页 例例4：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？何计算？(棒长为棒长为L、圆盘半径为圆盘半径为R）这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。棒对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：棒对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：解：解：3131
17、第31页，本讲稿共36页刚体定轴转动时的转动定律：刚体定轴转动时的转动定律：确定转动惯量的三个要素确定转动惯量的三个要素:(1)(1)总质量总质量(2)(2)质量分布质量分布(3)(3)转轴的位置转轴的位置平行轴定理及垂直轴定理平行轴定理及垂直轴定理 小节小节 3232第32页，本讲稿共36页(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别2.3 应用转动定理解题应用转动定理解题例例1 求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳
18、端施以F=98 N 的拉力，的拉力，飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计飞轮与转轴间的摩擦不计(见图见图).3333第33页，本讲稿共36页一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 m，半径为半径为 r，不能伸长的轻绳两边分别系不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动.（设轮轴光滑无（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）摩擦，滑轮的初角速度为零）例例2求求滑轮转动角速度随时间变化的规律滑轮转动角速度随时间变化的规律.解解以以m1，m2，m 为研究对象为研究对象,受力分析受力分析滑轮滑
19、轮 m：物体物体 m1：物体物体 m2：3434第34页，本讲稿共36页 一根长为一根长为l、质量为质量为 m 的均匀细直棒的均匀细直棒,其一端有一固定的光滑水平轴其一端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动因而可以在竖直平面内转动.最初棒静止在竖直位置最初棒静止在竖直位置,由于微小扰动由于微小扰动,在重力作用下由静止开始转动在重力作用下由静止开始转动.求求:它由此下摆它由此下摆 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度.解：解：棒下摆为加速过程棒下摆为加速过程,外力矩为重力外力矩为重力 对对O的力矩的力矩.重力作用在棒重心重力作用在棒重心,当棒处当棒处在下摆在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：Pl/2Ol重力对整个棒的合力矩与全部重力集重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样中作用在质心所产生的力矩一样.因因此棒绕轴此棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为：例例3 3535第35页，本讲稿共36页棒处于棒处于角时：角时：角加速度：角加速度：作变换：作变换：两边积分：两边积分：角速度：角速度：3636第36页，本讲稿共36页