《第刚体的定轴转动.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第刚体的定轴转动.pptx（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、刚体的角量描述刚体的角量描述 1.角坐标角坐标 OPOP与极轴之间的夹角与极轴之间的夹角 称称为为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）角坐标为标量，但可有正负。角坐标为标量，但可有正负。刚体作刚体作定轴转动定轴转动时时,刚体上各质点都作刚体上各质点都作圆周运动圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：=(t)，称为转动方程。称为转动方程。第2页/共34页第1页/共34页角坐标的增量角坐标的增量称为刚体的角位移称为刚体的角位移2.角位移角位移 平均角速度平均角速度3.角速度角速度 角速度角速度角速度方向：角速度
2、方向：满足右手定则，沿满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。刚体转动方向右旋大拇指指向。第3页/共34页第2页/共34页4.角加速度角加速度 平均角加速度平均角加速度角加速度角加速度角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚体，体，角速度和角速度和角加速度的方向只有两个，角加速度的方向只有两个，我们用正我们用正负表示角速度和角加速度的方向。负表示角速度和角加速度的方向。第4页/共34页第3页/共34页5.角量与线量的关系角量与线量的关系 路程与角位移的关系路程与角位移的关系线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系圆周运动时加速度与角量的关系圆
3、周运动时加速度与角量的关系第5页/共34页第4页/共34页3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 1.力对转轴的矩力对转轴的矩 力对固定点的矩力对固定点的矩力对固定轴的矩力对固定轴的矩OPdr把力分解为平行于转轴的分把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。量和垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。果，对轴的矩为零。第6页/共34页第5页/共34页【例例1】一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m，在摩擦系数，在摩擦系数为为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻阻
4、。【解解】杆上各质元均受摩擦力作用，各质元所受的摩杆上各质元均受摩擦力作用，各质元所受的摩擦阻力矩不同。擦阻力矩不同。细杆的质量密度细杆的质量密度质元质量质元质量质元受阻力矩质元受阻力矩细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩第7页/共34页第6页/共34页2.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律考虑刚体上某一质元考虑刚体上某一质元，其受力如图所示。对质元应，其受力如图所示。对质元应用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：法向分力的力矩为零，对切向力有法向分力的力矩为零，对切向力有第8页/共34页第7页/共34页对所有质元求和，得到对所有质元求和，得到左边第二项表示左边第二项表示内力矩之和，等于零。内力矩之和，等于零
5、。左边第一项表示左边第一项表示合外力矩，记作合外力矩，记作M。只与刚体的质量和质量相对转轴的分布只与刚体的质量和质量相对转轴的分布有关，称为刚体对轴的有关，称为刚体对轴的转动惯量，记作转动惯量，记作J。则上式可简写成则上式可简写成刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律第9页/共34页第8页/共34页定轴转动刚体的转动惯量定轴转动刚体的转动惯量 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。量的分布以及转轴的位置有关。对于质量连续分布的刚体对于质量连续分布的刚体（面质量分布）（面质量分布）（线质量分布）（线质量分布）第10页/共34页第9页/共34
6、页【例例2】半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量面的质心轴转动，求转动惯量J。【解解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。【例例3】在无质轻杆的在无质轻杆的 b 处处 3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的质点，可绕的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量轴转动，求质点系的转动惯量J。【解解】第11页/共34页第10页/共34页oR【例例4】一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求对通过的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。盘中心并与盘面垂直的轴
7、的转动惯量。【解解】rdr第12页/共34页第11页/共34页【例例5】长为长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量质心轴转动，求转动惯量 J。【解解】建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元【例例6】长为长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量转动，求转动惯量 J。【解解】第13页/共34页第12页/共34页 计算转动惯量计算转动惯量J 的三条有用的定理的三条有用的定理（2）平行轴定理）平行轴定理:所以所以 Jc 总是最小的。总是最小的。mJACdJC平行平行（1）叠加定理）
8、叠加定理:对同一转轴对同一转轴 J 有可叠加性有可叠加性第14页/共34页第13页/共34页（3）垂直轴定理）垂直轴定理:（对薄平板刚体）（对薄平板刚体）【例例7】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量求对薄圆盘的一条直径的转动惯量 yx z yi xiO第15页/共34页第14页/共34页【例例8】计算钟摆的转动惯量（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量（已知：摆锤质量为m，半径为，半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）。）。rO【解解】摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：钟摆的转动惯量：钟摆的转动惯量：第16页/共34页第15页/共34页 已知：两物体已知：
9、两物体 m1、m2（m2 m1)滑轮滑轮 m、R,可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且（设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对滑动）。与滑轮无相对滑动）。求求:物体的加速度及绳中张力。物体的加速度及绳中张力。【例例8】m1m2mR刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用【解解】分别对分别对m1,m2,m分析分析第17页/共34页第16页/共34页因绳不伸长，有因绳不伸长，有 a1=a2=a因绳轻，有因绳轻，有对对m1有有对对 m2有有 m2g-T2=m2 a-（2）T1-m1g-=m1 a-（1）对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程
10、-（3）再从运动学关系上有再从运动学关系上有联立四式解得：联立四式解得：-（4）第18页/共34页第17页/共34页第19页/共34页第18页/共34页 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时:m=0,Mf=0，有有讨论讨论第20页/共34页第19页/共34页【解解】（1）建立坐标系，分割质量元。重力矩为：）建立坐标系，分割质量元。重力矩为：【例例9 9】质量为质量为m,长为长为L的均质细棒的均质细棒,转轴在转轴在O点点,今使棒今使棒从静止开始由水平位置绕从静止开始由水平位置绕O点转动点转动,求求:（1）下摆到角）下摆到角时，细棒所受的重力矩时，细棒所受的重力矩;（2）水平位置的
11、角速度和角）水平位置的角速度和角加速度加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。）垂直位置时的角速度和角加速度。xdmgdmCmgx据质心定义据质心定义得得即即第21页/共34页第20页/共34页(2)在水平位置时在水平位置时(3)任意角度任意角度时时由由积分积分解得解得垂直位置时垂直位置时得到得到第22页/共34页第21页/共34页3.3 定轴转动刚体的功与能定轴转动刚体的功与能1.1.力矩的功力矩的功 刚体在外力作用下绕轴转过微小角位刚体在外力作用下绕轴转过微小角位移移 d，外外力作的微功为：力作的微功为：刚体从刚体从 0位置转到位置转到 位置位置，外外力力作的功为：作的功为：第23页/
12、共34页第22页/共34页注意：注意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。2)2)内力矩对定轴转动内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。刚体所作的功为零。2.刚体的动能刚体的动能 zmi刚体中第刚体中第i个质元的动能：个质元的动能：整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：第24页/共34页第23页/共34页3.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 设在外力矩设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功元功由转动定律由转动定律有有刚体绕定轴转动的动能定理：刚体绕定轴转动的动能定理：合外
13、力矩对刚体合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。所做的功等于刚体转动动能的增量。第25页/共34页第24页/共34页4.4.刚体的重力势能刚体的重力势能 刚体是个质点系，其功能原理为刚体是个质点系，其功能原理为-机械能守恒定律机械能守恒定律A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）5.定轴转动刚体的功能定理定轴转动刚体的功能定理 若若 A外外=A内非内非=o，则，则 Ek+Ep=常量常量第26页/共34页第25页/共34页【解解】只有重力作功，机械能守恒。只有重力作功，机械能守恒。解得解得【例例10】已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为，长为l，轴，轴o光光
14、滑，滑，初始静止在水平位置。，初始静止在水平位置。求求:杆下杆下摆到摆到 角时角速度角时角速度？0CABl,ml/4第27页/共34页第26页/共34页3.4 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 质元质元 对轴的角动量为对轴的角动量为 定轴转动刚体上的所有质元都作圆周运动定轴转动刚体上的所有质元都作圆周运动刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量为 得得第28页/共34页第27页/共34页由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律作用在刚体上的冲量矩等于作用时间内角动量的增量作用在刚体上的冲量矩等于作用时间内角动量的增量定轴转动刚体角动
15、量定理微分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式得到得到第29页/共34页第28页/共34页定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 当当 M=0 时，则时，则定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量守恒定律：定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的合当刚体所受的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。动的任意物体系统。第30页/共34页第29页/共34页【例例11】质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过
16、其中点处的水的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。lm mo【解解】杆的角速度杆的角速度 肯定如图，假设小球碰后瞬时肯定如图，假设小球碰后瞬时的速度的速度 向上，如图所示。向上，如图所示。系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M=0 角动量守恒（轴角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）撞的内力矩相比可以忽略
17、）第31页/共34页第30页/共34页因为弹性碰撞因为弹性碰撞,动能守恒动能守恒解得解得讨论讨论1.0总是成立总是成立2.当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上）当当 m=3m 时时,v=0（瞬时静止）（瞬时静止）当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）第32页/共34页第31页/共34页【例例12】质量为质量为m、半径为、半径为R 的圆盘，以初角速度的圆盘，以初角速度0在摩擦系数为在摩擦系数为 的水平面上绕质心轴转动，问：圆盘的水平面上绕质心轴转动，问：圆盘转动几圈后静止？转动几圈后静止？【解解】分割圆盘为圆环分割圆盘为圆环由动能定理由动能定理第33页/共34页第32页/共34页【例
18、例13】如图，光滑的水平桌面上有一小物体，一细如图，光滑的水平桌面上有一小物体，一细绳的一端联结此物体，另一端穿过桌子上的小孔。物绳的一端联结此物体，另一端穿过桌子上的小孔。物体原来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周体原来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动，在小孔下方缓慢地往下拉绳的过程中，物体的运动，在小孔下方缓慢地往下拉绳的过程中，物体的动量、动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？动量、动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？【解解】物体的物体的动能变化动能变化，物体在做，物体在做离小孔的距离不断缩小的螺旋线运离小孔的距离不断缩小的螺旋线运动，绳对物体的拉力方向与物体位动，绳对物体的拉力方向与物体位移方向小于移方向小于90o，拉力作正功。，拉力作正功。物体的物体的动量变化动量变化，绳子拉力的冲量在改变物体的动量。，绳子拉力的冲量在改变物体的动量。物体对小孔的物体对小孔的角动量不变角动量不变，因为物体受绳子拉力的方，因为物体受绳子拉力的方向始终通过小孔，所以物体对小孔的力矩为向始终通过小孔，所以物体对小孔的力矩为0。第34页/共34页第33页/共34页感谢您的观看！第34页/共34页