数学数学期望学习教案.pptx

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1、数学数学(shxu)数学数学(shxu)期望期望第一页，共63页。分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要(xyo)知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征.判断棉花质量(zhling)时,既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度(chngd)越小,质量就越好;又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如例如：第1页/共63页第二页，共63页。考察(koch)一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与 r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在

2、某些方面的重要特征,这些(zhxi)数字特征在理论和实践上都具有重要意义.第2页/共63页第三页，共63页。q r.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数 或者是：两个随机变量相依的程度。或者是：两个随机变量相依的程度。本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性(txng)都可用数字来描写第3页/共63页第四页，共63页。一一.数学数学(shxu)(shxu)期望期望(均均值值)的定义的定义第一节第一节 数学数学(shxu)(shxu)期望期望 直观理解直观理解(lji)，数学期望就是一个随机变量所有可，数学期望

3、就是一个随机变量所有可能能取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。例如，例如，1.假定发生意外的概率是假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？人中，平均起来有多少个人需要赔偿？2.统计资料表明强烈地震的间隔服从参数统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430(天天)的指数的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？分布，则平均多长时间发生一次强震？第4页/共63页第五页，共63页。引例引例 1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下名学生的概率统计成绩及得分人数如

4、下(rxi)表所示：表所示：分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即数学期望数学期望(qwng)(qwng)描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征1.离散型随机变量(su j bin lin)的数学期望第5页/共63页第六页，共63页。引例引例(yn l)2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出下表给出问题：已知随机变量的概率分布问题：已知随机变量的概率分布,如何如何(rh)计算其平均值？计算其平均值？解解 “射击水平射击水平”一般

5、用平均击中环数来反映。所以，只要一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们对他们(t men)的平均击中环数进行比较即可。的平均击中环数进行比较即可。第6页/共63页第七页，共63页。分析：若甲射击分析：若甲射击N次次,设击中设击中8环环,9环和环和10环的次数分别环的次数分别(fnbi)为为 次，则甲在次，则甲在N次射击中，平均每次击次射击中，平均每次击中的环数为中的环数为由于概率是频率由于概率是频率(pnl)的稳定中心，以的稳定中心，以 表示甲的平均表示甲的平均击中环数击中环数,则则故认为故认为(rnwi)甲射手的水甲射手的水平较高。平较高。由于由于可以看出：可以看出：平均值平均值是以分布

6、概率为权重的加权平均。是以分布概率为权重的加权平均。第7页/共63页第八页，共63页。定义 设离散(lsn)型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数(j sh)，则称级数(j sh)和为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作记作E（X）随随机机变变量量 X 的的数数学学期期望望完完全全是是由由它它的的概概率率分分布布确确定定的的，而而不不应受应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在第8页/共63页第九页，共63页。关于关于(guny)定义的几点说明定义的几点说明 (1)E(X)(1)E(X)是一

7、个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种加权平均它是一种加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质它从本质(bnzh)(bnzh)上体现了随上体现了随机变量机变量 X X 取可能值的真正的平均值取可能值的真正的平均值,也称均值也称均值.(2)(2)级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变中各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因之所以这样要求是因为数学期望是反映为数学期望是反映(fnyng)(fnyng)随机变量随机变量X X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.

8、(3)(3)数学期望数学期望 完全由随机变量完全由随机变量 的概率分的概率分布所确定布所确定.若若 服从某一分布也称服从某一分布也称 是这一分是这一分布的数学期望布的数学期望.第9页/共63页第十页，共63页。解解 易知易知 X 1 3 P 0.4 0.6 例1 设随机变量(su j bin lin)X的分布列为求求 若将此例视为甲、乙两队若将此例视为甲、乙两队“比赛比赛(bsi)”，甲队赢的概，甲队赢的概率为率为0.6，输的概率为，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得，并且甲队每赢一次得3分，每分，每输一次扣输一次扣1分，则分，则 E(X)=1.4 是指甲队平均每次可得分是指甲队平均每次可得

9、分第10页/共63页第十一页，共63页。解解.以以 X 记这个记这个(zh ge)项目项目 的投资利润。的投资利润。平均利润为：平均利润为：E X=50.3+00.6+(10)0.1=0.5，而同期银行的利息是而同期银行的利息是 100.02=0.2，因此从期望收益因此从期望收益(shuy)的角度应该投资这个的角度应该投资这个项目。项目。利润利润(lrn)5 0 10概率概率 0.3 0.6 0.1例4.1.2 假设某人有 10 万元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利 5 万，60%的可能不赔不赚，但有 10%的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为 2%，问他应该如何决策？第11页

10、/共63页第十二页，共63页。例例3 3 设XP(),求 E(X).解解 X的分布律为E(X)=第12页/共63页第十三页，共63页。例例2 按规定，某公交车每天按规定，某公交车每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机到站，各车到站的时刻是随机(su j)的，且各车到站的时间是相的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为互独立的，其规律为到站时刻到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间(shjin)的数学期望 解解 设设乘乘客客的的候候车车(hu ch)

11、时时间间为为X,若若该该乘乘客客8:20到到车车站站,而而8点点到到9点点的的一一趟趟车车已已于于8:10开开走走,第第二二趟趟车车9:10开开,则则他他候候车车(hu ch)的的时时间间为为50 min，该该乘乘客客其其余余候候车车时时间间对对应应的的概概率率可可类类似似得得到到，于于是是候候车车时时间间X的分布列为的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即第13页/共63页第十四页，共63页。解解 候候车车时时间间(shjin)X的的分分布列为布列为 10 30 50 70

12、 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08从而该乘客从而该乘客(chngk)候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为 例例2 按规定，某公交车每天按规定，某公交车每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰有一辆到站，各点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互(xingh)独立的，其独立的，其规律为规律为到站时刻到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望第14页/共63页第十五页，共63页。求求随随机机变变量量X和和

13、Y的的数数学学(shxu)期望期望于于是是(ysh)有有 解 由(X,Y)的联合分布律可得关于(guny)X、Y的边缘分布分别为 例例3 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表的联合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 1 2 5/8 3/8 1 2 3 3/8 1/4 3/8第15页/共63页第十六页，共63页。定理定理1 设二维离散设二维离散(lsn)型随机变量型随机变量(X,Y)的联合概率分布的联合概率分布为为则则 证证明明 关关于于(guny)X的的边边缘分布为缘分布为于于是是(ysh)有有 同理可得同理可得 第1

14、6页/共63页第十七页，共63页。定义 设连续型随机变量(su j bin lin)X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分说明：如果积分 不收敛不收敛，则称随机变则称随机变量量X的数学期望不存在。的数学期望不存在。收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即2.连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin)的数的数学期望学期望第17页/共63页第十八页，共63页。试证试证X的数学期望的数学期望(qwng)不存在不存在证证 因因为为(yn wi)例例4 设随机变量设随机变量X 服从服从(fcng)柯西分布柯西分布,其密度函其密度函数为数为即即 不收敛，所以不收敛

15、，所以X的数学期望的数学期望不存在不存在 第18页/共63页第十九页，共63页。例例5 5 设X服从指数分布，其概率密度为求例例4 4 设XU(a,b),求 E(X).解解X的概率密度为E(X)=第19页/共63页第二十页，共63页。例例4.1.4 假定乘客在公交车站等车的假定乘客在公交车站等车的 时间时间 X(分钟分钟)服从服从(fcng)参数参数 0.2 的指数分布，的指数分布，p(x)=0.2 e 0.2 x，x 0 问这个人的平均等车时间是几分钟？问这个人的平均等车时间是几分钟？解解.平均平均(pngjn)等车时间即是数学期望等车时间即是数学期望 E X，因，因此此即平均即平均(png

16、jn)需要等需要等待待 5 分钟。分钟。第20页/共63页第二十一页，共63页。求X的数学(shxu)期望.例5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷(fh)的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为解 由已知可得 第21页/共63页第二十二页，共63页。例例:由由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密服从同一指数分布，其概率密度为度为 1)若将若将5个装置个装置(zhungzh)串联成整机，求整机寿命串联成整机，求整机寿命N的数的数学期望；学期望；62)若将若将5个装置并联成整机，求整机寿命个装置并联成整机，

17、求整机寿命M的数学的数学(shxu)期望；期望；解：解：的分布函数为的分布函数为 1)由前面知由前面知 的分的分布函数为：布函数为：第22页/共63页第二十三页，共63页。N的概率密度为：的概率密度为：7第23页/共63页第二十四页，共63页。并联的平均寿命并联的平均寿命(pn jn shu mn)是串联的是串联的11.4倍倍82)第24页/共63页第二十五页，共63页。例6 设二维连续型随机变量(su j bin lin)的概率密度函数为解 关于X、Y的边缘(binyun)概率密度函数分别为求E（X），E（Y）于是(ysh)有 第25页/共63页第二十六页，共63页。定理(dngl)2 设二

18、维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y),则有 于是于是(ysh)有有 证 关于X、Y的边缘(binyun)概率密度函数分别为第26页/共63页第二十七页，共63页。3.随机变量函数(hnsh)的数学期望如果级数 收敛，则有收敛，则有 定理(dngl)3 设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续函数，则有(1)若 为离散型变量，其概率函数为(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分 收敛则有第27页/共63页第二十八页，共63页。例：设随机变量例：设随机变量(su j bin(su j bin lin)Xlin)X的分布律为的分布律为解解:求随机变量Y=X2的

19、数学(shxu)期望Xpk-1 0 1Ypk0 1 上式可见上式可见(kjin)即一般的有即一般的有第28页/共63页第二十九页，共63页。证明：设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章5中定理的条件(tiojin)，由第二章知道随机变量Y=g(X)的概率密度为于是(ysh)，E（Y）=当恒0时，E（Y）=当恒0时，E（Y）=第29页/共63页第三十页，共63页。(3)如果(X,Y)为离散型随机向量(xingling)，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj=pij i,j=1,2,3,如果如果(rgu)则则Z=g(X,Y)的数学期望为的数学期望为(4)设二维随机(su j)向量（X，

20、Y）为连续型随机(su j)变量，它的联合概率密度为f(x,y),若 收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为：第30页/共63页第三十一页，共63页。解 因为 分布律为 所以 其中 求例7 设随机变量 ，第31页/共63页第三十二页，共63页。例例6 6 设设风风速速(fn(fn s)Vs)V在在(0,a)(0,a)上上服服从从均均匀匀分分布布，飞飞机机机机翼翼受到的压力受到的压力 W=kV2,(k W=kV2,(k为常数为常数),),求求W W的数学期望的数学期望解解 风速风速(fn s)V的概率密度为的概率密度为第32页/共63页第三十三页，共63页。例例例例8 8 点随机地落在中心为原点，

21、半径为点随机地落在中心为原点，半径为点随机地落在中心为原点，半径为点随机地落在中心为原点，半径为R R的圆周的圆周的圆周的圆周(yunzhu)(yunzhu)上，上，上，上，并对弧长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。并对弧长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。并对弧长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。并对弧长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。第33页/共63页第三十四页，共63页。例例例例9 9 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、分、分、3030分、分、分、分、5555分发车，设乘客不知发车时间，于每小时分发车

22、，设乘客不知发车时间，于每小时分发车，设乘客不知发车时间，于每小时分发车，设乘客不知发车时间，于每小时(xiosh)(xiosh)的任意时刻随机地到达车站，求乘客的的任意时刻随机地到达车站，求乘客的的任意时刻随机地到达车站，求乘客的的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间平均候车时间平均候车时间平均候车时间第34页/共63页第三十五页，共63页。例12解第35页/共63页第三十六页，共63页。因此因此(ync)所求数学期望为所求数学期望为第36页/共63页第三十七页，共63页。例例例例10 10 一次事故发生在一条一次事故发生在一条一次事故发生在一条一次事故发生在一条(y tio)(y

23、tio)长为长为长为长为L L的道路上的点的道路上的点的道路上的点的道路上的点X X服从均匀分布，在事故发生的时刻，救服从均匀分布，在事故发生的时刻，救服从均匀分布，在事故发生的时刻，救服从均匀分布，在事故发生的时刻，救护车所在位置护车所在位置护车所在位置护车所在位置Y Y在这条道路上也服从均匀分布，假设在这条道路上也服从均匀分布，假设在这条道路上也服从均匀分布，假设在这条道路上也服从均匀分布，假设X X与与与与Y Y相互独立，求事故发生点和救护车所在相互独立，求事故发生点和救护车所在相互独立，求事故发生点和救护车所在相互独立，求事故发生点和救护车所在位置之间距离的数学期望。位置之间距离的数学

24、期望。位置之间距离的数学期望。位置之间距离的数学期望。第37页/共63页第三十八页，共63页。例例4 4 设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的分布的分布(fnb)(fnb)律如下，求律如下，求E(XY)E(XY)解解:第38页/共63页第三十九页，共63页。解解 例例8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度的密度(md)函数函数为为 求求 第39页/共63页第四十页，共63页。解 例例9 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 求求 第40页/共63页第四十一页，共63页。例例9 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为 求求 解解 第41页/共63页第四十二页

25、，共63页。例10 设国际市场上每年(minin)对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年(minin)应准备多少吨产品才可得到最大利润?解解 设每年设每年(minin)准备该种商品准备该种商品y t 得到得到(d do)平均利润为平均利润为则利润为则利润为第42页/共63页第四十三页，共63页。解解 利利润润(lrn)为为得到得到(d do)平均利润为平均利润为当当y=2400时，时，取到最大值，故取到最大值，故每年准备此种商品每年准备此种商品2400 t，可

26、使平均，可使平均利润达到最大利润达到最大 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去(ch q)，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?第43页/共63页第四十四页，共63页。证 可将C看成离散型随机变量，分布(fnb)律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.2.设C为常数(chngsh)，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)证 设X的密度函数为 ，则有 3.设 为任意两个随机变量，都有 1.设设C为常数为常数(chngsh)，则有，则

27、有E(C)=C 4.数学期望的性质数学期望的性质进而有 E(kX+b)=kE(X)+b第44页/共63页第四十五页，共63页。3.设 X,Y 为任意(rny)两个随机变量，都有 证证 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为和 则推广到任意有限(yuxin)多个随机变量之和的情形，有 4.数学数学(shxu)期望的性质期望的性质第45页/共63页第四十六页，共63页。4.设X,Y为相互独立(dl)的随机变量，则有 证 因为X与Y相互独立，故其联合(linh)密度函数与边缘密度函数满足 推广到任意有限多个推广到任意有限多个(du)相互独立

28、的随机变量之积的相互独立的随机变量之积的情形，有情形，有 所以所以 第46页/共63页第四十七页，共63页。EX1 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学(shxu)期望EX2 设随机变量(su j bin lin)相互(xingh)独立，且均服从分布，求随机变量的数学期望答答:答答:第47页/共63页第四十八页，共63页。例例1111理发店里有甲理发店里有甲乙乙丙三个顾客，假定理发店对三个顾客丙三个顾客，假定理发店对三个顾客的服务时间都服从参数的服务时间都服从参数(cnsh)(cnsh)为为 的指数分布，

29、对甲和乙立的指数分布，对甲和乙立即开始服务，在对甲或乙服务结束后开始对丙服务，对每个人即开始服务，在对甲或乙服务结束后开始对丙服务，对每个人服务所需的时间是独立的。求丙在理发店的等待时间与逗留时服务所需的时间是独立的。求丙在理发店的等待时间与逗留时间（逗留时间等于等待时间与服务时间之和）的数学期望间（逗留时间等于等待时间与服务时间之和）的数学期望第48页/共63页第四十九页，共63页。例例3 若若XB(n,p),求求E(X)解解:设设第第i次试验次试验(shyn)事件事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件(shjin)A不不发生发生则则第49页/共63页第五十页，共63页。上述两例中很难求得

30、上述两例中很难求得X X的分布律的分布律,进而用定义求得进而用定义求得X X的的期望期望.在此考虑了别的方法在此考虑了别的方法,将将X X分解成数个随机分解成数个随机变量之和变量之和 X=,X=,然后利用随机变量和的数学然后利用随机变量和的数学(shxu)(shxu)期望等于随机期望等于随机变量期望之和来求变量期望之和来求,这种处理方法具有一定的普遍这种处理方法具有一定的普遍意义意义,称之为随机变量的分解法称之为随机变量的分解法(decomposition(decomposition method).method).第50页/共63页第五十一页，共63页。例例12 一民航机场的送客班车载有一民

31、航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客位旅客，自机场开出，沿途旅客有有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否(sh fu)下车相互独下车相互独立，以立，以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X)解解 随机变量随机变量 Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 这表明班车(bnch)平均停车约9次 第51页/共63页第五十二页，共63页。例例13:13:将将n n只球放入只球放入MM只盒子中去，设每

32、只球落入各个只盒子中去，设每只球落入各个(gg)(gg)盒子盒子是等可能的，求有球的盒子数是等可能的，求有球的盒子数X X的数学期望。的数学期望。例例1313将将n n只球只球(1(1至至n n号号)随机地放进随机地放进n n只盒子只盒子(1(1至至n n号号)中去，中去，一只盒子装一只球，将一只球放入与球同号的盒子中称一只盒子装一只球，将一只球放入与球同号的盒子中称为为(chn wi)(chn wi)一个配对，设一个配对，设X X为配对的个数，求为配对的个数，求E(X)E(X)第53页/共63页第五十四页，共63页。例：例：一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为一台设

33、备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10.1，0.20.2和和0.30.3。假设各部件的状态相互独立，。假设各部件的状态相互独立，以以X X表示同时需要调整的部件数。试表示同时需要调整的部件数。试试用下列两种方法试用下列两种方法(fngf)(fngf)求求X X的数学期望和方差的数学期望和方差.(1)(1)利用利用X X的分布律的分布律;(2)(2)利用分解法利用分解法.第54页/共63页第五十五页，共63页。例例:一套仪器有一套仪器有n n个元件，第个元件，第i i个元件发生故障个元件发生故障(gzhng)(gzhng)的概率为的概率为pi (i=1,2,n),pi

34、(i=1,2,n),问整套仪问整套仪器平均有多少元件发生故障器平均有多少元件发生故障(gzhng)?(gzhng)?第55页/共63页第五十六页，共63页。性质性质(xngzh)4 的逆命题不成立，即的逆命题不成立，即若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定(ydng)独立反例反例 1 1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi附附第58页/共63页第五十九页，共63页。X Y P-1 0 1但但第59页/共63页第六十页，共63页。解解 例例12 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 试验证试验证 ，但，但X和和Y是不独立的是不独立的第60页/共63页第六十一页，共63页。解解例例15 设二维随机变量设二维随机变量 的密度函数为的密度函数为 试验证试验证 ，但，但X和和Y是不独立的是不独立的所以(suy)X的边缘密度(md)函数同理可得Y的边缘密度(md)函数为 显然有 ，故X和Y是不独立的第61页/共63页第六十二页，共63页。1.离散(lsn)型2.连续型3.Y=g(X)4.Y=g(X,Y)小小 结结第62页/共63页第六十三页，共63页。