概率论41数学期望学习教案.pptx

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1、会计学1概率论概率论41数学数学(shxu)期望期望第一页，共28页。2引例引例(yn l)：某大学一位教师给：某大学一位教师给15位研究生上课，期末考试成绩如下：位研究生上课，期末考试成绩如下： 72，81，90，85，76，90，80，83 78，75，63，73，30，82，90教学院长教学院长(yun chn)认为：试题太容易，因为得认为：试题太容易，因为得90分的就有分的就有3人！人！系主任认为：考题偏难，因为系主任认为：考题偏难，因为(yn wi)平均成绩平均成绩76.5分！分！该教师认为：考题适宜，因为从总体看该教师认为：考题适宜，因为从总体看80分是有代表性的，多于分是有代表性

2、的，多于80分和少于分和少于80分的人数相等！分的人数相等！究竟谁的话更有道理？究竟谁的话更有道理？第1页/共28页第二页，共28页。3分布函数能够完整地描述随机变量的统计特分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道性，但在一些实际问题中，只需知道(zh do)随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数。评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均(rn jn)赢利水平；赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗(do su)的平均粒数

3、及每粒的平均重量；的平均粒数及每粒的平均重量；考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。q q q 第2页/共28页第三页，共28页。4由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践(shjin)上都具有重要意义。上都具有重要意义。

4、随机变量某一方面的概率随机变量某一方面的概率(gil)特性都可用数字来描写特性都可用数字来描写q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学期望数学期望q 随机变量的取值平均偏离平均值的情况随机变量的取值平均偏离平均值的情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关系的数描述两个随机变量之间的某种关系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数数数字字特特征征第3页/共28页第四页，共28页。51|kkkxp 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 PX = xk= pk (k=1,2,)若级数若级数 绝对收敛，即绝对收敛，即 1kkkx p 通常记数学通常记数学(shx

5、u)期望为期望为E(X ) 1()kkkE Xx p 即即 则称则称 为为X 的的数学期望数学期望，简称简称期望期望或或均值均值。1kkkx p离散离散(lsn)型随机变量的数学型随机变量的数学期望期望4.1 数学数学(shxu)期望期望第4页/共28页第五页，共28页。6例例1 已知离散型随机变量已知离散型随机变量X的可能的可能(knng)值为值为 x1= 1, x2=0, x3=1，且且E(X)=0.1, E(X2)=0.9。求对应于可能求对应于可能(knng)值值x1, x2, x3的概率的概率p1,p2,p3。解解:并且并且(bngqi) p1+p2+p3=1E(X)=( 1) p1+

6、0 p2+1 p3=0.1X20 1P p2 p1+p3E(X2)=0 p2+1 (p1+p3)=0.9计算计算(j sun)可知可知 p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5第5页/共28页第六页，共28页。7常见离散常见离散(lsn)型分布型分布的期望的期望X 0 1P1p p数学数学(shxu)期望期望 E(X)=0(1p)+1p= p随机变量随机变量X取取0与与1两个值，其概率分别为两个值，其概率分别为1-p和和p，分布律为，分布律为第6页/共28页第七页，共28页。80()(1)nkkn knkE XkC pp 1!(1)!()!nkn kknkppknk nkknkppknkn

7、np1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(11(1) (1)11(1)nkknknknpCpp np (1),0,1,kkn knXppkn的分布律为 P(X=k)=C1(1)nnp pp (2) 二项分布二项分布 XB(n, p) 第7页/共28页第八页，共28页。9(3) 泊松分布泊松分布(fnb) XP()0()!kkeE Xkk11(1)!kkek令令i=k 1 可得可得0()!iiE Xei= e e = (0,1,2,)!kXP Xkekk的分布律为 第8页/共28页第九页，共28页。10常见常见(chn jin)离散型随机变量离散型随机变量的数学期望的数学期望分布分布数学

8、数学期望期望概率概率分布分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP 1)0()1(p二项分布二项分布 B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1()( np泊松分布泊松分布 P( ), 2 , 1 , 0!)( kkekXPk 第9页/共28页第十页，共28页。11定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为f (x)。若积分若积分 绝对收敛，即绝对收敛，即 ( )xf x dx|( )x f x dx 则称积分则称积分( )xf x dx为为X 的的数学期望数学期望。()( )E Xxf x dx即 通常通常(tngchng)记为记为

9、E(X)连续型随机变量的数学连续型随机变量的数学(shxu)期望期望第10页/共28页第十一页，共28页。12常见常见(chn jin)连续型连续型分布的期望分布的期望(1) 均匀分布均匀分布 XU (a,b)()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab=1, ( )0, axbf xba其它X的概率密度为的概率密度为由定义可知由定义可知(k zh) X 的数学期望为的数学期望为第11页/共28页第十二页，共28页。13(2) 指数分布指数分布0()xE Xx edx1=, 0( ) (0)0, 0 xexf xxX的概率密度为的概率密度为由定义可知由定义可知(k zh) X 的数学期望

10、为的数学期望为利用定积分公式利用定积分公式10!naxnnx edxa第12页/共28页第十三页，共28页。14(3) 正态分布正态分布 X( , 2)22()21()2xE Xxedx令令xt可得可得221()()2tE Xtedt= 22()21( ), -2xf xex X的概率密度为的概率密度为由定义可知由定义可知 X 的数学的数学(shxu)期望为期望为222tedt奇函数和偶函数的乘积奇函数和偶函数的乘积(chngj)第13页/共28页第十四页，共28页。15分布分布数学数学期望期望概率概率密度密度 区间区间 (a, b)上上 均匀分布均匀分布 其它其它,0,1)(bxaabxf2

11、ba 指数分布指数分布 E( ) 其它其它,00,)(xexfx 1正态分布正态分布 N( , 2)222)(21)( xexf 常见常见(chn jin)连续型随机变连续型随机变量的数学期望量的数学期望第14页/共28页第十五页，共28页。16 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个的某个(mu )函数的期望，比如说函数的期望，比如说g(X)的期望。那么应该如何计算呢？的期望。那么应该如何计算呢？随机变量的函数随机变量的函数(hnsh)的数的数学期望学期望 一种方法一种方法(fngf)是是: 因为因为g(X)也是随

12、机变量，故应有概率分布，它的分布可以由也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来。一旦我们知道了的分布求出来。一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 但是使用这种方法必须先求出随机变量函数但是使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。的分布，一般是比较复杂的。第15页/共28页第十六页，共28页。17是否是否(sh fu)可以不求可以不求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X 的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的两个下面的两个(lin )基本定理指出，答案是肯定的。基本定理

13、指出，答案是肯定的。 下述两个定理下述两个定理(dngl)的重要性在于的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X 的分布就可以了。的分布就可以了。 这给求随机变量函数的期望带来很大方便。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。第16页/共28页第十七页，共28页。18定理定理(dngl) 设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X)，其中，其中 g(x)是连续函数：是连续函数：(1) 设设X是离散是离散(lsn)型随机变量，分布律为型随机变量，分布律为 P(X = xk)= pk (k=1,2,) 1( ) (

14、)()kkkE YE g Xg xp 1()kkkg xp绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若(2) 设设X是连续型随机变量是连续型随机变量(su j bin lin)，概率密度为，概率密度为 f(x)。 ( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( ) ( )g x f x dx绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若第17页/共28页第十八页，共28页。19定理定理(dngl) 设设Z=g(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量(X,Y)的函数，其中的函数，其中g为连续函数：为连续函数：(1) 设设(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量(su j bin lin)，其分

15、布律为，其分布律为 P(X=xi，Y=yj)= pij ( i,j=1,2,) 若级数若级数 绝对收敛，则有绝对收敛，则有11( ,)ijijjig x yp11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp111()iijiijiiE Xx px p特别特别(tbi)的的111( )jijjjjijE Yy py p第18页/共28页第十九页，共28页。20(2) 设设(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量(su j bin lin)，其概率密度为，其概率密度为 f(x,y)。若积分若积分 绝对收敛，则有绝对收敛，则有( , ) ( , )g x y f x y d

16、xdy ( ) (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy ( )( , )( )YE Yyf x y dxdyyfy dy ()( , )( )XE Xxf x y dxdyxfx dx 特别特别(tbi)的的第19页/共28页第二十页，共28页。21例例2 设随机变量设随机变量(su j bin lin)(X,Y)的分布律如下的分布律如下:解解:E(XY)=0 1 0.15+0 2 0.15 +1 1 0.45+1 2 0.25=0.95X Y1 2010.15 0.150.45 0.25求求E(XY)第20页/共28页第二十一页，共28页。22 0

17、0111()( , )23xE Xxf x y dxdydxxdy E(-3X+2Y)=001112( 32 )3xdxxy dy E(XY)=00111( , )212xxyf x y dxdydxxydy 2 ( , )(, )( , )0 x yAX Yf x y 的概率密度为 其它解：解：0 xy10 xy 例例3 设设(X, Y)在区域在区域A上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中(qzhng)A为为x轴，轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。所围成的区域。求求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。由题设可知由题设可知(k zh)第21页/共28页第二十二页，共28

18、页。23)(,量的数学期望存在量的数学期望存在以下设所遇到的随机变以下设所遇到的随机变是常数是常数是随机变量，是随机变量，设设cbaYX数学期望数学期望(qwng)的性质的性质性质性质(xngzh)1（保常数）（保常数） 对于常数对于常数a，有，有 E(a)=a性质性质(xngzh)2（保线性）（保线性） E(aX + bY +c)= aE(X )+ bE(Y )+c性质性质3（保加法）（保加法）E(X Y)=E(X) E(Y)niiniiXEXE11)(:推广第22页/共28页第二十三页，共28页。24性质性质(xngzh)4（单调性）若随机变量（单调性）若随机变量X 0 ，则有，则有E(X

19、 )0 若若X1X2，则有，则有E(X1) E(X2)性质性质(xngzh)5（有界性）若（有界性）若 a X b，则有，则有aE(X )b性质性质(xngzh)6 |E(X)|E(|X|)性质性质7 （柯西（柯西-许瓦兹不等式）许瓦兹不等式） 若若E(X2)，E(Y2)均存在，则均存在，则E(XY)存在，且有存在，且有222 ()() ()E XYE XE Y第23页/共28页第二十四页，共28页。25性质性质8 设随机变量设随机变量(su j bin lin)X与与Y相互独立，则有相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y) 1212)1,2,ijijX YaabbXYP XaYbpij证

20、明：设( ,是离散型随机变量分别以 ， ， 和 ， ， 记 和 的一切可能值记其分布为（，），,()() ()()()()( )ijijijijijiji ji jiijjijXa YbXYa bE XYa b pa b P Xa P Yba P Xab P YbE X E Y因为当时有故 () ()ijijpP Xa P Yb由独立性假设可知由独立性假设可知第24页/共28页第二十五页，共28页。26若若E(XY )=E(X)E(Y)，则，则X 和和Y 不一定不一定(ydng)相互独立相互独立Y X pij81818181818181810pi838382-1 0 1-101p j83838

21、21第25页/共28页第二十六页，共28页。27X Y P -1 0 1828284; 0)()(YEXE; 0)(XYE)()()(YEXEXYE但是但是(dnsh)81) 1, 1(YXP283) 1() 1(YPXP显然显然(xinrn)有有即即 X 和和Y 并不相互并不相互(xingh)独立独立第26页/共28页第二十七页，共28页。28例例4 设设X B(n, p)，求，求E(X)。解解:这里利用数学期望这里利用数学期望(qwng)的性质来求的性质来求E(X) 在每次成功概率均为在每次成功概率均为p的的n次独立重复次独立重复(chngf)试验中试验中10iiAXiA，第 次试验中 出现记 随机变量 ，第 次试验中 不出现则则X1,X2, Xn相互相互(xingh)独立独立 且且X=X1+X2+Xn服从二项分布服从二项分布 因为因为Xi服从两点分布服从两点分布所以有所以有 E(Xi)=p (i=1,2,n)则有则有 1()()niiE XE X=np第27页/共28页第二十八页，共28页。