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1、q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学数学期望期望q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的情况情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关系的数系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容第1页/共94页引例引例:测量测量 50 50 个圆柱形零件直径个圆柱形零件直径(见下表见下表)则这则这 50 50 个零件的平均直径个零件的平均直径为为尺寸尺寸（cm）8 9 10 11 12数量数量（个）（个）8 7 15 10 10 504.1 数学期望数学期望第2页/共94页换个角度看换个角度看,从这从这5050个零件中任取一个个零
2、件中任取一个,它它的尺寸为随机变量的尺寸为随机变量X,则则X 的概率分布为的概率分布为X P 8 9 10 11 12则这则这 50 50 个零件的平均直径个零件的平均直径为为称之为这称之为这 5 5 个数字的个数字的加权平均加权平均,数学期望的数学期望的概念源于此概念源于此.第3页/共94页数学期望的定义数学期望的定义定义定义1.1设离散型设离散型随机变量随机变量X 的概率分布为的概率分布为若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的的数学数学期望期望或或均值，均值，记作记作 E(X).第4页/共94页常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数
3、学期望(1)01分布分布 这时这时 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.故故 E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)=p.第5页/共94页(2)二项分布二项分布X的取值为的取值为0,1,n.且且 P(X=k)=Cnk pk(1-p)n-k,k=0,1,n.第6页/共94页(3)泊松泊松分布分布 X的可能取值为的可能取值为0,1,2,，且，且第7页/共94页(4)几何分布几何分布X的可能取值为的可能取值为1,2,且且 P(X=k)=qk-1 p,k=1,2,.p+q=1.第8页/共94页注注:在第三个等号中利用了等式在第三个等号中利用了等式这可以由等式这可以由等式两边同时对两边同时对x求导
4、数得到求导数得到.第9页/共94页例例1对产品进行抽样，只要发现废品就认为对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格件仍未发现废品则认为这批产品合格.假设产假设产品数量很大，抽查到废品的概率是品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平，试求平均需抽查的件数均需抽查的件数.第10页/共94页解：解：设设X为停止检查时，抽样的件数，则为停止检查时，抽样的件数，则X的的可能取值为可能取值为1,2,n，且，且第11页/共94页第12页/共94页定义定义1.2设设 X 为连续型随机变量为连续型随机变量
5、,其密度函数为其密度函数为f(x)，若积分，若积分绝对收敛，则称此积分为随机变量绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的的数学数学期望期望或或均值，均值，记作记作 E(X).注意注意：随机变量的数学期望的本质就是随机变量的数学期望的本质就是加权加权平均数平均数，它是一个数，不再是随机变量。，它是一个数，不再是随机变量。第13页/共94页常见连续型分布的数学期常见连续型分布的数学期望望(5)指数分布指数分布E()随机变量随机变量X的密度为：的密度为：第14页/共94页第15页/共94页 设设X的数学期望有限的数学期望有限,概率密度概率密度f(x)关于关于定理定理1证明证明g(x)是奇函数是奇函数.
6、第16页/共94页推论推论第17页/共94页例例2设设X 的概率密度为：的概率密度为：求求E(X).解解:注注:由于由于f(x)是偶函数，由定理是偶函数，由定理1.1也知也知 E(X)=0.第18页/共94页注意：不是所有的随机变量都有数学期望注意：不是所有的随机变量都有数学期望.例如：例如：Cauchy分布分布的密度函数的密度函数为为但但发散发散.它的数学期望不存在它的数学期望不存在.注：虽然注：虽然f(x)f(x)是偶函数，但不是偶函数，但不能用能用定理定理1.11.1.第19页/共94页 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不的分布，我们需要计算的不是是X的数学期望，的数
7、学期望，而是而是X的某个函数的数学期望，的某个函数的数学期望，比如说比如说g(X)的数学期望的数学期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？更一般的，已知更一般的，已知随机随机向向量量(X1,X2,Xn)的联合分布的联合分布，Y=g(X1,X2,Xn)是是 (X1,X2,Xn)的函数的函数,需要计算需要计算Y 的的数学数学期望，应该期望，应该如何计算呢？如何计算呢？我们下面就来处理这我们下面就来处理这个问题个问题.4.2 数学期望的性质数学期望的性质第20页/共94页A.随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望q 设设X=(X1,Xn)为离散型随机向量，概为离散型随机向量，概率分布为率
8、分布为Z=g(X1,Xn),若级数若级数绝对收敛，则绝对收敛，则第21页/共94页随机向量函数的数学期望（续）随机向量函数的数学期望（续）q 设设X=(X1,Xn)为连续型随机向量，联合为连续型随机向量，联合密度函数为密度函数为 Z=g(X1,Xn),若积分若积分绝对收敛，则绝对收敛，则第22页/共94页例例3设离散型随机向量设离散型随机向量X的概率分布如下表的概率分布如下表所示，求所示，求Z=X2的期望的期望.X 0 1 1 E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解解:=0.5注注:这里的这里的 第23页/共94页例例4设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量(X,Y
9、)的概率分的概率分布如下表所示布如下表所示,求求:Z=X2+Y的期望的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5 +g(2,2)0.125解解:=4.25注注:这里的这里的第24页/共94页例例5设随机变量设随机变量X 服从服从 二项分布二项分布B(n,p),Y=eaX,求求 E(Y).解解:第25页/共94页例例6设设X U0,Y=sinX,求求 E(Y).解解:X 的概率密度为的概率密度为所以所以第26页/共94页例例7解：解：(1)设整机寿命为设整机寿命为 N,五个独立元件五个独立元件,寿命分别为寿命分别为都服从参数为都服从参数为 的指数分布，若将
10、它们的指数分布，若将它们 (1)串联；串联；(2)并联并联 成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值.第27页/共94页即即 N E(5),(2)(2)设整机寿命为设整机寿命为 M,第28页/共94页 可见，并联组成整机的平均寿命比串联可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长组成整机的平均寿命长1111倍之多倍之多.注：注：128128页的页的4.204.20与此例为同一模型。与此例为同一模型。第29页/共94页B.数学期望的性质数学期望的性质q E(C)=Cq E(aX)=a E(X)q E(X+Y)=E(X)+E(Y)q 当当X,Y 相互独立时相互独立时，E(X Y)
11、=E(X)E(Y).第30页/共94页注：注：性质性质 4 的逆命题不成立，的逆命题不成立，即即若若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定不一定相互独立相互独立.第31页/共94页反例反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi第32页/共94页X Y P-1 0 1但但第33页/共94页q 若若X 00，且，且EX 存在，则存在，则EX 00.推论推论:若若 X Y，则，则 EX EY.证明：设证明：设 X 为连续型，密度函数为为连续型，密度函数为f(x),则则由由X 0 得：得：所以所以证明证明：由已知由已知 Y-X0，则则 E(Y-X)0.而而E(Y-X)=E(Y)-E
12、(X),所以所以，E(X)E(Y).第34页/共94页例例1性质2和3性质4设设 XN(10,4)，YU1,5，且，且X与与Y相互独立，求相互独立，求 E(3X2XYY5).解：解：由已知，由已知，有有 E(X)10,E(Y)3.第35页/共94页例例2二项分布二项分布 B(n,p),设单次实验成功的概率设单次实验成功的概率是是 p，问，问n次独立重复试验中，期望几次成功？次独立重复试验中，期望几次成功？解解:引入引入则则 X 是是n次试验中的成功次数次试验中的成功次数.因此因此，这里，这里，XB(n,p).第36页/共94页例例3将将 4 个可区分的球随机地放入个可区分的球随机地放入 4 个
13、盒个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望数的数学期望.解一解一:设设 X 为空着的盒子数为空着的盒子数,则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 3第37页/共94页解二解二:再引入再引入 X i ,i=1,2,3,4.Xi P 1 0第38页/共94页例例4将将n个球放入个球放入M个盒子中个盒子中,设每个球落入各设每个球落入各个盒子是等可能的个盒子是等可能的,求有球的盒子数求有球的盒子数X 的期望的期望.解解:引入随机变量引入随机变量:则则 X=X1+X2+XM,于是于是E(X)=E(X1)+E(X2)+E(XM).每个随机变量
14、每个随机变量Xi都服从两点分布都服从两点分布,i=1,2,M.第39页/共94页因为因为每个球落入每个盒子是等可能的均为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M，所以，所以，对第对第i个盒子个盒子,没有一个球落入这个没有一个球落入这个盒子内的概率为盒子内的概率为(1-1/M).故，故，n个球都不落入这个盒子内的概率为个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n，即，即第40页/共94页注：注：129页页4.27以此题为模型以此题为模型.第41页/共94页4.2 随机变量的方差随机变量的方差前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均它体现了随机变
15、量取值的平均,是随机变量是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的.第42页/共94页例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好.中心中心第43页/共94页 为此需要引进另一个数
16、字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差第44页/共94页A.方差的概念方差的概念设设随随机机变变量量X的的数数学学期期望望为为E(X),若若E(X-E(X)2存存在在,则则称称它它为为X 的的方方差差（此此时时，也也称称X的的方方差差存在存在)，记为，记为Var(X)或或D(X),即即定义定义称称Var(X)的算术平方根的算术平方根 为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为 (X).Var(X)=E(X-E(X)2第45页/共9
17、4页若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度的离散程度.若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差方差第46页/共94页注意：注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数，即方差是一个非负实数.2）当当X 服服从从某某分分布布时时，我我们们也也称称某某分分布布的的方差为方差为Var(X).3)方方差差是是刻刻划划随随机机变变量量取取值值的的分分散散程程度度的的一个一个 特征特征.第47页/共94页方差的计算公式方差的计算公式(1)若若
18、X 为离散型，概率分布为为离散型，概率分布为(2)若若 X 为连续型，概率密度为为连续型，概率密度为 f(x),则则则则第48页/共94页计算方差常用的公式计算方差常用的公式证明证明:第49页/共94页常见随机变量的方差常见随机变量的方差(1)参数为参数为p 的的 01分布分布 概率分布为：概率分布为：前面已经计算过：前面已经计算过：E(X)=p，又，又所以所以第50页/共94页(2)二项分布二项分布B(n,p)概率分布为：概率分布为：已计算过：已计算过：E(X)=np，又，又 所以所以第51页/共94页(3)泊松分布泊松分布P()概率分布为：概率分布为：已计算过：已计算过：E(X)=，又，又
19、 所以所以第52页/共94页(4)区间区间a,b上的均匀分布上的均匀分布Ua,b 概率密度为：概率密度为：已计算过：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又，又 所以所以第53页/共94页(5)指数分布指数分布E()概率密度为：概率密度为：已计算过：已计算过：E(X)=1/，又，又 所以所以第54页/共94页(6)正态分布正态分布N(,2)概率密度为：概率密度为：已计算过：已计算过：E(X)=，所以，所以第55页/共94页B.方差的性质方差的性质性质性质1若若X=C，C为为常常数数，则则 Var(X)=0.性质性质2 若若b为为常常数数,随随机机变变量量X的的方方差差存存在在，则则bX的的方方差
20、差存存在在,且且 Var(bX)=b2Var(X)Var(aX+b)=a2 Var(X)结合性质结合性质1与性质与性质2就有就有第56页/共94页性质性质3若若随随机机变变量量X1,X2,Xn 的的方方差差都都存在，则存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 第57页/共94页性质性质4若随机变量若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则n2时就有时就有Var(X Y)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY)若若X,Y 独立，独立，Var(X Y)=Var(X)+Var(Y)第58页/共94页性质性质5对任意常数对任意常数C,Var(X)E(X C)2,
21、等号成立当且仅当等号成立当且仅当C=E(X).第59页/共94页性质性质6注注:以以后后若若无无特特殊殊说说明明,都都认认为为随随机机变变量量的方差大于的方差大于0.Var(X)=0 P(X=E(X)=1称称X 以概率以概率 1 等于常数等于常数E(X).第60页/共94页例例1设设X B(n,p)，求，求Var(X).解：解：引入随机变量引入随机变量故故则则由于由于相互独立相互独立，且且第61页/共94页例例2（标准化随机变量）（标准化随机变量）设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X)、方差方差D(X)都都存在存在,且且D(X)0,则称则称为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量.显
22、然显然，第62页/共94页例例3则则:设设X1,X2,Xn相互独立，有共同的期相互独立，有共同的期望望 和方差和方差 ，证明证明:第63页/共94页例例4已知随机变量已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且相互独立，且每个每个Xi的期望都是的期望都是0，方差都是，方差都是1，令令Y=X1+X2+Xn.求求 E(Y2).解：由已知，则有解：由已知，则有因此，因此，第64页/共94页例例5设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且 XN(1,2),YN(0,1),试求试求 Z=2X-Y+3 的期的期望和方差望和方差.由已知，有由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=
23、1,且且X和和Y独立独立.因此，因此，解解:第65页/共94页D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2+3=5,注：由此可知注：由此可知 ZN（5,9）.第66页/共94页一般地，一般地，第67页/共94页C.两个不等式两个不等式定理定理3.2(马尔可夫马尔可夫(Markov)不等式不等式)对随机变量对随机变量X 和任意的和任意的 0，有，有第68页/共94页证明证明:设为连续型设为连续型,密度函数为密度函数为f(x),则则第69页/共94页上式常称为上式常称为切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式 在马尔可夫不等式中取在马尔可夫不等式中
24、取=2,X为为X-EX 得得是概率论中的一个基本不等式是概率论中的一个基本不等式.第70页/共94页例例6已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X的平均值的平均值为为1元，标准差为元，标准差为0.1元，求元，求a，使股价，使股价超过超过1+a元或低于元或低于1-a元的概率小于元的概率小于10%。解：解：由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式令令第71页/共94页定理定理3.3(内积不等式或内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式不等式)设设EX2 ，EY2 0,Var(Y)0,称称为为X,Y 的的 相关系数相关系数，记为，记为事实上事实上，若若称称 X,Y 不相关不相关.无量纲无量纲 的量的
25、量第77页/共94页利用函数的期望或方差计算协方差利用函数的期望或方差计算协方差q 若若(X,Y)为离散型为离散型，q 若若 (X,Y X,Y)为连续型为连续型，q 第78页/共94页例例1求求 Cov(X,Y),XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 已知已知 X,Y 的联合分布为的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1解解:1 0 p qX Y P 第79页/共94页第80页/共94页例例2.设设(X,Y )N(1,12,2,22,),求求 XY 解解:第81页/共94页定理定理：若：若(X,Y)N(1,12,2,22,),则则X,Y 相互独立相互独
26、立X,Y 不相关不相关因此，因此，第82页/共94页协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的性质协方差的性质协方差的性质q q q q 第83页/共94页q 当且仅当当且仅当时，等式成立时，等式成立 Cauchy-Schwarz不等不等式式第84页/共94页相关系数的性质相关系数的性质q q Cauchy-Schwarz不等式不等式的等号成立的等号成立即即Y 与与X 有线性关系的概率等于有线性关系的概率等于1，这种线性关系为这种线性关系为第85页/共94页q X,Y 不相关不相关注：注：X与与Y不不相关仅仅是不相关仅仅是不线性线性相关，可以相关，可以非线性相关非线性相关.第86页/共94页q
27、X,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关若若 X,Y 服从二维正态分布，服从二维正态分布，X,Y 相互独立相互独立X,Y 不相关不相关第87页/共94页例：最小二乘法的思想例：最小二乘法的思想若若X,Y 是两个随机变量，用是两个随机变量，用X 的线性函数的线性函数去逼近去逼近 Y 所产生的均方误差为所产生的均方误差为当取当取使得均方误差最小使得均方误差最小.若若 则线性逼近无意义则线性逼近无意义.第88页/共94页第89页/共94页例例3设设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求求 XZ 解解:第90页/共94页例例4设设X N(0,4),Y P(2),XY=1/2,求求
28、E(X+Y)2.解解:E(X+Y)2=E(X+Y)2+Var(X+Y)=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)由题设知由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而而第91页/共94页注意到注意到把条件代入即得把条件代入即得 E(X+Y)2=第92页/共94页矩矩 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y),k,l 为非负整数。为非负整数。mk =E(Xk)称为称为X的的k阶原点矩，阶原点矩，k =E(X-E(X)k 称为称为X的的k阶中心矩，阶中心矩，mkl=E(X k Y l)称称为为X和和Y的的(k,l)阶阶混混合合原原点矩，点矩，kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称称为为X和和Y的的(k,l)阶阶 混合中心矩混合中心矩.显显然然数数学学期期望望为为1阶阶原原点点矩矩,方方差差为为2阶阶中中心心矩矩,而协方差为而协方差为(1,1)阶混合中心矩阶混合中心矩.第93页/共94页感谢您的观看。第94页/共94页