《数学曲线曲面学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学曲线曲面学习教案.pptx（80页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、会计学1数学曲线数学曲线(qxin)曲面曲面第一页，共80页。2 一类是曲线可以用一个标准的解析一类是曲线可以用一个标准的解析(ji x)式来表示，称为曲式来表示，称为曲线的方程等。线的方程等。第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线的方程，第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线的方程，它们它们(t men)往往是由一些从实际测量得到的一系列离散数往往是由一些从实际测量得到的一系列离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。据点来确定。这些数据点也称为型值点。第2页/共80页第二页，共80页。早期早期(zoq)(zoq)手工绘图手工绘图3第3页/共80页第三页，共80页。工业工业工业工
2、业(gngy)(gngy)(gngy)(gngy)产品的形状大致上可分为两类：产品的形状大致上可分为两类：产品的形状大致上可分为两类：产品的形状大致上可分为两类：一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，大多数机械零件锥面、球面、圆环面等组成，大多数机械零件锥面、球面、圆环面等组成，大多数机械零件锥面、球面、圆环面等组成，大多数机械零件属于这一类。属于这一类。属于这一类。属于这一类。第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓第二类以复杂方式自由
3、地变化的曲线曲面即所谓第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、船舶的外自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、船舶的外自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、船舶的外自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、船舶的外形零件。自由曲线曲面因不能由画法几何与机形零件。自由曲线曲面因不能由画法几何与机形零件。自由曲线曲面因不能由画法几何与机形零件。自由曲线曲面因不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。决的
4、问题。决的问题。决的问题。4第4页/共80页第四页，共80页。5n n对于复杂对于复杂对于复杂对于复杂(fz)(fz)曲线和曲面的绘制方法曲线和曲面的绘制方法曲线和曲面的绘制方法曲线和曲面的绘制方法n n先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选
5、择的数据点的精度和曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精度和曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精度和曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。曲线愈接近于理想曲线。曲线愈接近于理想曲线。曲线愈接近于理想曲线。第5页/共80页第五页，共80页。6第6页/共80页第六页，共80页。存在存在存在存在(cnzi)(cnzi)的问题的问题的问题的问题n n不灵活不灵活n n不易修改不易修
6、改n n耗费耗费(hofi)(hofi)时间时间7利用计算机设计曲线利用计算机设计曲线(qxin)和曲和曲面面第7页/共80页第七页，共80页。pp19631963年，美国波音年，美国波音年，美国波音年，美国波音(Boeing)(Boeing)飞机公司飞机公司飞机公司飞机公司(nn s)s)的的的的FergusonFerguson将将将将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，从此，参数形式成为曲线曲面表示成参数矢量函数形式，从此，参数形式成为曲线曲面表示成参数矢量函数形式，从此，参数形式成为曲线曲面表示成参数矢量函数形式，从此，参数形式成为自由曲线曲面数学描述的标准形式。自由曲线曲面数学描述的标准形
7、式。自由曲线曲面数学描述的标准形式。自由曲线曲面数学描述的标准形式。pp19641964年年年年 MIT MIT的孔斯（的孔斯（的孔斯（的孔斯（CoonsCoons）用封闭曲线的四条边界定义一）用封闭曲线的四条边界定义一）用封闭曲线的四条边界定义一）用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；块曲面；块曲面；块曲面；pp19711971年年年年 雷诺汽车公司雷诺汽车公司雷诺汽车公司雷诺汽车公司(nn s)s)的贝塞尔（的贝塞尔（的贝塞尔（的贝塞尔（BezierBezier）发表了一）发表了一）发表了一）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；同期，法国雪铁种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；同期，法
8、国雪铁种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；同期，法国雪铁种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；同期，法国雪铁龙（龙（龙（龙（CitroenCitroen）汽车公司汽车公司汽车公司汽车公司(nn s)s)的德卡斯特里奥（的德卡斯特里奥（的德卡斯特里奥（的德卡斯特里奥（de de CastelijauCastelijau）也独立地研究出与）也独立地研究出与）也独立地研究出与）也独立地研究出与BezierBezier类似的方法。类似的方法。类似的方法。类似的方法。pp19721972年年年年 德布尔（德布尔（德布尔（德布尔（DeBoorDeBoor）给出了）给出了）给出了）给出了B B样条的标准计算方
9、法；样条的标准计算方法；样条的标准计算方法；样条的标准计算方法；8第8页/共80页第八页，共80页。pp19741974年，美国通用汽车公司的戈登（年，美国通用汽车公司的戈登（年，美国通用汽车公司的戈登（年，美国通用汽车公司的戈登（GordenGorden）和里森费尔德）和里森费尔德）和里森费尔德）和里森费尔德（RiesenfeldRiesenfeld）将）将）将）将B B样条理论用于形状描述，提出了样条理论用于形状描述，提出了样条理论用于形状描述，提出了样条理论用于形状描述，提出了B B样条曲样条曲样条曲样条曲线和曲面。线和曲面。线和曲面。线和曲面。pp19751975年，美国年，美国年，美
10、国年，美国SyracuseSyracuse大学的佛斯普里尔（大学的佛斯普里尔（大学的佛斯普里尔（大学的佛斯普里尔（VersprillVersprill）提出了）提出了）提出了）提出了有理有理有理有理B B样条方法。样条方法。样条方法。样条方法。pp8080年代后期皮格尔（年代后期皮格尔（年代后期皮格尔（年代后期皮格尔（PieglPiegl）和蒂勒（）和蒂勒（）和蒂勒（）和蒂勒（TillerTiller）将有理）将有理）将有理）将有理B B样条发样条发样条发样条发展成非均匀展成非均匀展成非均匀展成非均匀(jnyn)(jnyn)有理有理有理有理B B（NURBSNURBS）样条方法，并已成）样条方
11、法，并已成）样条方法，并已成）样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。90P1P2P3P第9页/共80页第九页，共80页。一、曲线一、曲线一、曲线一、曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)曲面的基础知识曲面的基础知识曲面的基础知识曲面的基础知识n nBzierBzier曲线曲线曲线曲线(qxin)/(qxin)/曲面曲面曲面曲面n nB B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线(qxin)/(qxin)/曲面曲面曲面曲面n nNURBS
12、NURBS曲线曲线曲线曲线(qxin)/(qxin)/曲面曲面曲面曲面n nCoonsCoons曲面曲面曲面曲面10第10页/共80页第十页，共80页。n n曲线与曲面曲线与曲面(qmin)(qmin)的两种表示方法的两种表示方法n n参数表示参数表示n n非参数表示非参数表示n n非参数两种表示方法非参数两种表示方法n n显式显式n n隐式隐式11第11页/共80页第十一页，共80页。1 1 1 1、显式表示、显式表示、显式表示、显式表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)n n显式表示显式表示显式表示显式表示n n 平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线n n每一个每一个每一
13、个每一个x x x x值只对应一个值只对应一个值只对应一个值只对应一个y y y y值，所以值，所以值，所以值，所以(suy)(suy)(suy)(suy)显式方程不能表示封闭或者显式方程不能表示封闭或者显式方程不能表示封闭或者显式方程不能表示封闭或者多值曲线，例如圆多值曲线，例如圆多值曲线，例如圆多值曲线，例如圆12第12页/共80页第十二页，共80页。2 2 2 2、隐式表示、隐式表示、隐式表示、隐式表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)n n隐式表示隐式表示隐式表示隐式表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)n n 平面曲线平面曲线平面曲线平面曲
14、线n n隐式表示隐式表示隐式表示隐式表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)的优点是易于判断函数的优点是易于判断函数的优点是易于判断函数的优点是易于判断函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)是否大于、小于或等于零，也就易于判断是否大于、小于或等于零，也就易于判断是否大于、小于或等于零，也就易于判断是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示点是落在所表示点是落在所表示点是落在所表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)曲线上或在曲线的哪曲线上或在曲线的哪曲线上或在曲线的哪曲线上或在曲线的哪一侧。一侧。一侧。一侧。n n三维空间曲线的隐式
15、表示三维空间曲线的隐式表示三维空间曲线的隐式表示三维空间曲线的隐式表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)13第13页/共80页第十三页，共80页。曲线的非参数表示存在曲线的非参数表示存在曲线的非参数表示存在曲线的非参数表示存在(cnzi)(cnzi)(cnzi)(cnzi)问题问题问题问题uu与坐标系相关与坐标系相关与坐标系相关与坐标系相关uu会出现斜率为无穷大的情况会出现斜率为无穷大的情况会出现斜率为无穷大的情况会出现斜率为无穷大的情况(如垂线如垂线如垂线如垂线)uu非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示非平面曲线难用常系数的非参数
16、化函数表示非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)uu不利于计算和编程不利于计算和编程不利于计算和编程不利于计算和编程 14第14页/共80页第十四页，共80页。3 3 3 3、参数、参数、参数、参数(cnsh)(cnsh)(cnsh)(cnsh)表示表示表示表示n n将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数 的函数形的函数形的函数形的函数形式式式式n n n n n n其中其中其中其中(qzhng)(qzhng)(qzhng)(
17、qzhng)，和和和和 分别是参数分别是参数分别是参数分别是参数t t t t的显式函的显式函的显式函的显式函数数数数 15第15页/共80页第十五页，共80页。通常将参数(cnsh)区间规范化为0,1参数(cnsh)方程中的参数(cnsh)可以代表任何量，如时间、角度等连接 和 两点的直线段的参数(cnsh)方程可写为第16页/共80页第十六页，共80页。更大的自由度更大的自由度参参数数方方程程的的形形式式不不依依赖赖于于坐坐标标系系的的选选取取，具具有有形形状状不不变性；变性；在在参参数数表表示示中中，变变化化率率以以切切矢矢量量表表示示，不不会会出出现现(chxin)(chxin)无穷大
18、的情况；无穷大的情况；对对参参数数表表示示的的曲曲线线、曲曲面面进进行行平平移移、比比例例、旋旋转转等等几几何变换比较容易；何变换比较容易；用用参参数数表表示示的的曲曲线线曲曲面面的的交交互互能能力力强强，参参数数的的系系数数几几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。参数参数参数参数(cnsh)(cnsh)(cnsh)(cnsh)表示比非参数表示比非参数表示比非参数表示比非参数(cnsh)(cnsh)(cnsh)(cnsh)表示更优越表示更优越表示更优越表示更优越第17页/共80页第十七页，共80页。一些一些一些一些(yxi)(yxi)(yxi)(
19、yxi)概念概念概念概念插值插值给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点PiPi，i=0,1,ni=0,1,n，构造一条曲线顺序通过构造一条曲线顺序通过(tnggu)(tnggu)这些数据这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。的曲线称为插值曲线。18第18页/共80页第十八页，共80页。逼近逼近构造一条曲线使之在某种意义下构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对最接近给定的数据点，称为对这些这些(zhxi)(zhxi)数据点进行逼近，数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。插所构造的曲线为逼近曲线。插值则称为拟合。值则
20、称为拟合。19曲线的拟合曲线的逼近第19页/共80页第十九页，共80页。20 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定(zhdng)曲线曲曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。曲线曲面曲线曲面(qmin)的逼近：当用一组控制点来指定曲的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面线曲面(qmin)的形状时，求出的形状不必通过控制点的形状时，求出的形状不必通过控制点列。但受其影响。列。但受其影响。第20页/共80页第二十页，共80页。二、二、二、二、BezierBezierBezierBezier曲线曲线曲线曲线(qxin)(
21、qxin)(qxin)(qxin)生成生成生成生成1 1、BezierBezier定义定义定义定义在空间在空间在空间在空间(kngjin)(kngjin)给定给定给定给定n+1n+1个点个点个点个点P0,P1,P2,PnP0,P1,P2,Pn，称下列，称下列，称下列，称下列参数曲线为参数曲线为参数曲线为参数曲线为n n次的次的次的次的BezierBezier曲线曲线曲线曲线21第21页/共80页第二十一页，共80页。n n一般称折线一般称折线一般称折线一般称折线P0P1P2PnP0P1P2Pn为为为为P(t)P(t)的控制多边形；称的控制多边形；称的控制多边形；称的控制多边形；称P0,P1,P
22、2,PnP0,P1,P2,Pn各点为各点为各点为各点为P(t)P(t)的控制顶点。的控制顶点。的控制顶点。的控制顶点。n nBezierBezier曲线曲线曲线曲线P(t)P(t)与其控制多边形的关系可以这样认与其控制多边形的关系可以这样认与其控制多边形的关系可以这样认与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形为：控制多边形为：控制多边形为：控制多边形P0P1P2PnP0P1P2Pn是是是是P(t)P(t)的大致形状的大致形状的大致形状的大致形状(xngzhun)(xngzhun)的勾画；的勾画；的勾画；的勾画；P(t)P(t)是对是对是对是对P0P1P2PnP0P1P2Pn的逼近的逼近的逼
23、近的逼近22第22页/共80页第二十二页，共80页。2 2、BezierBezier曲线曲线曲线曲线(qxin)(qxin)的特点的特点的特点的特点n n曲线曲线(qxin)(qxin)的起点与终点和的起点与终点和特征多边形的起点与终点重合，特征多边形的起点与终点重合，且多边形的第一条边和最后一且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线条边表示了曲线(qxin)(qxin)在起在起点和终点处的切矢方向。而且点和终点处的切矢方向。而且由于曲线由于曲线(qxin)(qxin)的形状趋向的形状趋向于控制多边形的形状，所以可于控制多边形的形状，所以可以通过调整顶点的位置来控制以通过调整顶点的位置来控制曲
24、线曲线(qxin)(qxin)的形状。的形状。23第23页/共80页第二十三页，共80页。n n端点端点(dun din)特性特性n n对称性对称性n n 控制顶点次序颠倒，则新的曲控制顶点次序颠倒，则新的曲线与原曲线的形状线与原曲线的形状 相同，仅曲相同，仅曲线的走向相反。线的走向相反。24第24页/共80页第二十四页，共80页。n n凸包性凸包性n n 点集的凸包是指包含这些点集的凸包是指包含这些(zhxi)(zhxi)点的最小凸集点的最小凸集n n Bzier Bzier曲线位于其控制顶点曲线位于其控制顶点的凸包之内的凸包之内25P0P1PnPn-1BzierBzier曲线曲线(qxin
25、)(qxin)的凸包性的凸包性凸集凸集P(t)第25页/共80页第二十五页，共80页。由于计算曲线与控制多边形端点连线比较麻烦由于计算曲线与控制多边形端点连线比较麻烦由于计算曲线与控制多边形端点连线比较麻烦由于计算曲线与控制多边形端点连线比较麻烦(m(m fan)fan)，我们利用我们利用我们利用我们利用BezierBezier曲线的凸包性质得到：曲线的凸包性质得到：曲线的凸包性质得到：曲线的凸包性质得到：d(P(t),P0Pn)max(d(P1,P0Pn),d(Pn-1,P0Pn)d(P(t),P0Pn)max(d(P1,P0Pn),d(Pn-1,P0Pn)26第26页/共80页第二十六页，
26、共80页。n n几何不变性几何不变性n n 曲线的形状仅与其控制顶曲线的形状仅与其控制顶点有关，而与具体坐标系的选点有关，而与具体坐标系的选择无关。择无关。n n曲线的可分割性曲线的可分割性n n 采用德卡斯特里奥算法进采用德卡斯特里奥算法进行行(jnxng)(jnxng)分割分割n n 如何进行如何进行(jnxng)(jnxng)分割分割27第27页/共80页第二十七页，共80页。3 3、BezierBezier曲线曲线曲线曲线(qxin)(qxin)分割分割分割分割n n分割定理分割定理分割定理分割定理n n一条一条一条一条(y tio)(y tio)多项式曲线被分割成两段，得到的两多项式
27、曲线被分割成两段，得到的两多项式曲线被分割成两段，得到的两多项式曲线被分割成两段，得到的两段曲线仍是多项式曲线段曲线仍是多项式曲线段曲线仍是多项式曲线段曲线仍是多项式曲线28P=Q+R第28页/共80页第二十八页，共80页。n n将分割成的两段曲线继续不断地分割下去，所生将分割成的两段曲线继续不断地分割下去，所生将分割成的两段曲线继续不断地分割下去，所生将分割成的两段曲线继续不断地分割下去，所生成的控制顶点序列将收敛于曲线成的控制顶点序列将收敛于曲线成的控制顶点序列将收敛于曲线成的控制顶点序列将收敛于曲线P(t)P(t)P(t)P(t)，这一点称，这一点称，这一点称，这一点称为为为为Bezie
28、rBezierBezierBezier曲线的收敛性。曲线的收敛性。曲线的收敛性。曲线的收敛性。n nBezier Bezier Bezier Bezier 曲线具有的收敛性质，保证了在适当次曲线具有的收敛性质，保证了在适当次曲线具有的收敛性质，保证了在适当次曲线具有的收敛性质，保证了在适当次数的分割之后，分得的每一段曲线都能由其两端数的分割之后，分得的每一段曲线都能由其两端数的分割之后，分得的每一段曲线都能由其两端数的分割之后，分得的每一段曲线都能由其两端点的连线所代替。所以可以点的连线所代替。所以可以点的连线所代替。所以可以点的连线所代替。所以可以(ky)(ky)(ky)(ky)利用利用利用
29、利用BezierBezierBezierBezier曲曲曲曲线的分割性和收敛性来生成线的分割性和收敛性来生成线的分割性和收敛性来生成线的分割性和收敛性来生成BezierBezierBezierBezier曲线。曲线。曲线。曲线。29第29页/共80页第二十九页，共80页。n n几何几何(j h)解释解释30第30页/共80页第三十页，共80页。一次一次一次一次BezierBezierBezierBezier曲线曲线曲线曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)n nP P0 0 0 0，P P1 1 1 1n nt=0n nt=131第31页/共80页第三十一页，共80页。二次二次二
30、次二次BezierBezierBezierBezier曲线曲线曲线曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)32P0,P1,P232第32页/共80页第三十二页，共80页。三次三次三次三次(sn c)Bezier(sn c)Bezier(sn c)Bezier(sn c)Bezier曲线曲线曲线曲线n n13=(t+(1-t)3 1=(t+(1-t).(t2+2t(1-t)+(1-t)2)1=t3+3t2(1-t)+3t(1-t)2+(1-t)3n nB1(t)=t3B2(t)=3t2(1-t)B3(t)=3t(1-t)2B4(t)=(1-t)333P0P1P2P3第33页/共80页
31、第三十三页，共80页。34第34页/共80页第三十四页，共80页。三、B样条曲线(qxin)、从、从 Bezier 曲线到样条曲线曲线到样条曲线Bezier 曲线在应用中的不足：曲线在应用中的不足：缺乏灵活性缺乏灵活性 一旦确定了特征多边一旦确定了特征多边形的顶点数形的顶点数(m个个)，也就决定了曲，也就决定了曲线的阶次线的阶次(m-1次次)，无法更改，无法更改(gnggi)；控制性差当顶点数较多时，曲控制性差当顶点数较多时，曲线的阶次将较高，此时，特征多线的阶次将较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减边形对曲线形状的控制将明显减弱；弱；第35页/共80页第三十五页，共80页。B-Sp
32、lineB-Spline原因原因原因原因(对比对比对比对比bezierbezierbezierbezier曲线曲线曲线曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)Bezier Bezier Bezier Bezier 曲线曲线曲线曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)的次数由控制点的次数由控制点的次数由控制点的次数由控制点决定决定决定决定 例如例如例如例如P4P5P4P5P4P5P4P5线段不易弯曲线段不易弯曲线段不易弯曲线段不易弯曲.第36页/共80页第三十六页，共80页。复杂曲线如何表示复杂曲线如何表示复杂曲线如何表示复杂曲线如何表示多段多段多段多段BezierBez
33、ierBezierBezier连接点的光滑连接点的光滑连接点的光滑连接点的光滑(gung hu)(gung hu)(gung hu)(gung hu)(导数相同导数相同导数相同导数相同)比较难比较难比较难比较难B-SplineB-Spline第37页/共80页第三十七页，共80页。为了克服 Bezier 曲线存在的问题，Gordon 等 人拓展了 Bezier曲线，就外形设计的需求出发，希望新的曲线 易于进行局部修改；更逼近特征(tzhng)多边形；是低阶次曲线。于是，用 n次样条基函数替换了伯恩斯坦基 函数，构造了称之为样条曲线的新型曲线。第38页/共80页第三十八页，共80页。39第39页
34、/共80页第三十九页，共80页。B-SplineB-Splinen n灵活灵活n n次数次数(csh)(csh)和控制点和控制点个数无关个数无关n n右图右图 8 8个控制点，个控制点，3 3次次第40页/共80页第四十页，共80页。2、样条曲线(qxin)的数学表达式样条曲线(qxin)的数学表达式为：给定(i dn)参数t轴上的一个分割ti(titi+1，i=0，1，2)。由递推关系所定义的Bi，k(t)称为k阶(或k-1次）B样条基函数。并约定0/00。第41页/共80页第四十一页，共80页。在上式中，在上式中，0 t 1；i=0,1,2,m所以所以(suy)可以看出：样条曲线是分段定义
35、可以看出：样条曲线是分段定义的。如果给定的。如果给定 m+n+1 个顶点个顶点 Pi(i=0,1,2,m+n)，则可定义，则可定义 m+1 段段 n 次的参数曲次的参数曲线。线。42第42页/共80页第四十二页，共80页。一次均匀一次均匀一次均匀一次均匀(jnyn)B(jnyn)B(jnyn)B(jnyn)B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线n n空间空间空间空间(kngjin)n+1(kngjin)n+1(kngjin)n+1(kngjin)n+1个顶点个顶点个顶点个顶点 （i=0i=0i=0i=0，1 1 1 1，。，。，。，。，n n n n）定义）定义）定义）定义n n n n段一次（段
36、一次（段一次（段一次（k k k k1 1 1 1，二阶）均匀，二阶）均匀，二阶）均匀，二阶）均匀B B B B样条曲线，样条曲线，样条曲线，样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段即每相邻两个点可构造一曲线段即每相邻两个点可构造一曲线段即每相邻两个点可构造一曲线段PiPiPiPi（u u u u），其定义），其定义），其定义），其定义表达为：表达为：表达为：表达为：n n n n n n （1 1 1 1u u u u）PiPiPiPi1 1 1 1 u Pi u Pi u Pi u Pin n N0 N0 N0 N0，1 1 1 1（u u u u）PiPiPiPi1 1 1 1 N1 N1
37、 N1 N1，1 1 1 1（u u u u）PiPiPiPi43第43页/共80页第四十三页，共80页。二次样条曲线在二次样条曲线中，n=2,k=0,1,2其基函数(hnsh)形式为：因此可写出二次样条曲线的分段表达式为：(i=0,1,2,m)m+1段第44页/共80页第四十四页，共80页。n=2,二次二次B样条曲线样条曲线(qxin)m+n+1个顶点，三个顶点，三点一段，共点一段，共m+1段。段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)第45页/共80页第四十五页，共80页。三次样条曲线三次样条曲线分段分段(fn dun)(fn dun)三次样条曲线由相三次样条曲线由相邻四个顶点定义，其表
38、达式为：邻四个顶点定义，其表达式为：P(t P(t)=F0,3(t)B0+F1,3(t)B1+F2,3(t)B2+)=F0,3(t)B0+F1,3(t)B1+F2,3(t)B2+F3,3(t)B3F3,3(t)B3(0t 1)(0t 1)可见，由可见，由 n n 个顶点定义的完整的三个顶点定义的完整的三次样条曲线是由次样条曲线是由 n-3 n-3 段分段段分段(fn dun)(fn dun)曲线连接而成曲线连接而成的。的。第46页/共80页第四十六页，共80页。当参数均匀分割时，空间当参数均匀分割时，空间(kngjin)n+1个顶点个顶点 (i=0,1,2,3.n)定义的三次定义的三次B样条样
39、条曲线称为三次均匀曲线称为三次均匀B样条曲线。样条曲线。由相邻四个顶点定义的三次均匀由相邻四个顶点定义的三次均匀B样条曲线及其性质。样条曲线及其性质。B0,4(u)=1/6(1-t)3B1,4(u)=1/6(3t 3 6t 2+4)B2,4(u)=1/6(-3t 3+3t 2+3t+1)B3,4(u)=1/6 t347第47页/共80页第四十七页，共80页。第48页/共80页第四十八页，共80页。3、B样条曲线(qxin)的计算可采用不同的方法计算B样条曲线(qxin)上任何一点的值。deBoor算法(sun f)的描述如下：将将t固定在区间固定在区间 (k-1jn)上，将上，将 简化如下简化
40、如下(3.3)(3.3)第49页/共80页第四十九页，共80页。上式将同一条曲线 由k阶B样条表示成k1阶B样条。反复(fnf)运用此公式，最终将得到 则 式（3.3）可 表 示(biosh)成第50页/共80页第五十页，共80页。于是于是,的值可以通过的值可以通过deBoor算法的递推关系求得。算法的递推关系求得。下图反映下图反映(fnyng)的是用的是用deBoor算法从算法从 得到得到 的递推过程。的递推过程。deBoor算算法法(sun f)的的递递推关系推关系Pj-k+3Pj-1Pj-k+1Pj-k+2Pj第51页/共80页第五十一页，共80页。deBoor算法的的几何意义(yy)，
41、以线段割去角，从多边形开始经过k1层的割角，最后(zuhu)得到上的点。这个割角过程(guchng)比Bzier曲线的割角过程(guchng)复杂。第52页/共80页第五十二页，共80页。B样条曲线样条曲线(qxin)的的deBoor算法算法Pj-k+1Pj-k+2Pj第53页/共80页第五十三页，共80页。区别区别(qbi)BzierBSpline第54页/共80页第五十四页，共80页。样条曲线是一种非常灵活的样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线，曲线的局部形状受相应顶点的曲线的局部形状受相应顶点的控制很控制很直观。这些顶点控制技术如果直观。这些顶点控制技术如果运用得运用得好，可以使整个样条曲
42、线在好，可以使整个样条曲线在某些部某些部位满足一些位满足一些(yxi)特殊的技术特殊的技术要求。要求。第55页/共80页第五十五页，共80页。BezierBezier曲面曲面曲面曲面(qmin)(qmin)n nBezier曲面的定义曲面的定义n n控制定点控制定点(dn din)n n控制网格控制网格56第56页/共80页第五十六页，共80页。Bezier曲面曲面(qmin)n nBezier曲面曲面(qmin)的性质的性质n n边界线边界线57第57页/共80页第五十七页，共80页。Bezier曲面曲面(qmin)n n角点位置角点位置(wi zhi)58第58页/共80页第五十八页，共8
43、0页。Bezier曲面曲面(qmin)59第59页/共80页第五十九页，共80页。60/64第60页/共80页第六十页，共80页。61/64第61页/共80页第六十一页，共80页。62/64第62页/共80页第六十二页，共80页。63/64第63页/共80页第六十三页，共80页。B B样条曲面样条曲面样条曲面样条曲面(qmin)(qmin)n nB样条曲面可以通过样条曲面可以通过(tnggu)一一个特征多边形网格来定义，其个特征多边形网格来定义，其数学表达式如下：数学表达式如下：64其中Pij是空间中给定的nm个点；Bi,k(u)，Bi,h(v)分别(fnbi)是关于节点向量U,V的k阶和h阶
44、的B样条基函数。第64页/共80页第六十四页，共80页。B样条曲面的优点样条曲面的优点B样条曲面除具有样条曲面除具有(jyu)凸包性、凸包性、保凸性、易交互性等优点外，保凸性、易交互性等优点外，还具有还具有(jyu)局部性，即如果局部性，即如果变动其某一个控制顶点，曲面变动其某一个控制顶点，曲面只有与其相关的一小部分发生只有与其相关的一小部分发生变化，其余部分保持不变，这变化，其余部分保持不变，这就为设计曲面时修改某一局部就为设计曲面时修改某一局部的形状带来了很大的便利。目的形状带来了很大的便利。目前，非均匀节点有理前，非均匀节点有理B样条已成样条已成为曲面造型中的标准。为曲面造型中的标准。6
45、5第65页/共80页第六十五页，共80页。B样条曲面样条曲面(qmin)第66页/共80页第六十六页，共80页。B样条曲面样条曲面(qmin)第67页/共80页第六十七页，共80页。B样条曲面样条曲面(qmin)第68页/共80页第六十八页，共80页。曲面曲面曲面曲面(qmin)(qmin)(qmin)(qmin)细分细分细分细分69Geris Game Pixar Animation StudiosToy Story Disney/Pixar第69页/共80页第六十九页，共80页。70第70页/共80页第七十页，共80页。Subdivision Surfaces ExamplesSubdivision Surfaces Examples第71页/共80页第七十一页，共80页。第72页/共80页第七十二页，共80页。第73页/共80页第七十三页，共80页。74/130Subdivision Surfaces Examples第74页/共80页第七十四页，共80页。第75页/共80页第七十五页，共80页。第76页/共80页第七十六页，共80页。第77页/共80页第七十七页，共80页。78/130第78页/共80页第七十八页，共80页。第79页/共80页第七十九页，共80页。80感谢您的观看(gunkn)！第80页/共80页第八十页，共80页。