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1、数学分析数学分析(sh xu fn x)曲线曲面积分习曲线曲面积分习题题第一页，共45页。（一）曲线（一）曲线(qxin)(qxin)积分与曲积分与曲面积分面积分（二）各种（二）各种(zhn)(zhn)积分之积分之间的联系间的联系（三）场论（三）场论(chn ln)(chn ln)初步初步 一、主要内容第1页/共45页第二页，共45页。曲曲线线(qxin)积积分分曲曲面面(qmin)积积分分对面积的对面积的曲面曲面(qmin)积分积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积
2、分与曲面积分曲线积分与曲面积分第2页/共45页第三页，共45页。曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定二代一定 (与方向有关)第3页/共45页第四页，共45页。与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题第4页/共45页第五页，共45页。曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向 (与侧有关)第5页/共45页第六页，共45页。定积分定积分(jfn)曲线曲线(qxin)积分积分
3、重积分重积分(jfn)曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系第6页/共45页第七页，共45页。积分(jfn)概念的联系定积分定积分(jfn)二重积分二重积分第7页/共45页第八页，共45页。曲面曲面(qmin)积分积分曲线曲线(qxin)积分积分三重三重(sn zhn)积分积分曲线积分曲线积分第8页/共45页第九页，共45页。计算计算(j sun)(j sun)上的联系上的联系第9页/共45页第十页，共45页。其中其中(qzhng)第10页/共45页第十一页，共45页。理论理论(lln)(
4、lln)上的联系上的联系1.定积分定积分(jfn)与不定积分与不定积分(jfn)的联系的联系牛顿牛顿(ni dn)-(ni dn)-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式第11页/共45页第十二页，共45页。3.三重积分三重积分(jfn)与曲面积分与曲面积分(jfn)的联系的联系高斯高斯(o s)(o s)公式公式4.曲面积分与曲线曲面积分与曲线(qxin)积分的联系积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式第12页/共45页第十三页，共45页。GreenGreen公式公式(gngsh),Guass(gngsh),Guass公式公式(gngsh),
5、Stokes(gngsh),Stokes公式公式(gngsh)(gngsh)之间之间的关系的关系或推广(tugung)推广(tugung)第13页/共45页第十四页，共45页。梯度梯度(t d)通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）场论（三）场论(chn ln)(chn ln)初初步步第14页/共45页第十五页，共45页。思路思路(sl):闭合闭合(b h)非闭非闭闭合闭合(b h)非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式二、典型例题第15页/共45页第十六页，共45页。解解第16页/共45页第十七页，共45页。解解(如下如下(rxi)(rxi)图图)第17页/共45页第十八页，共45页。
6、第18页/共45页第十九页，共45页。曲面面积曲面面积(min j)的计的计算法算法SDxy第19页/共45页第二十页，共45页。曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，第20页/共45页第二十一页，共45页。解解由对称性由对称性第21页/共45页第二十二页，共45页。第22页/共45页第二十三页，共45页。例例解解利利用用(lyng)两两类类曲曲面面积积分分之之间间的关系的关系第23页/共45页第二十四页，共45页。第24页/共45页第二十五页，共45页。向向量量(xingling)点积法点积法第25页/共45页第二十六页，共45页。例例解解利利用用(lyng)向向量量
7、点点积积法法第26页/共45页第二十七页，共45页。第27页/共45页第二十八页，共45页。解解(如下如下(rxi)(rxi)图图)第28页/共45页第二十九页，共45页。第29页/共45页第三十页，共45页。第30页/共45页第三十一页，共45页。解解 由高斯由高斯(o s)公式得到公式得到第31页/共45页第三十二页，共45页。证明证明(zhngmng)由高斯由高斯(o s)公式，得到公式，得到例例8第32页/共45页第三十三页，共45页。解解由高斯公式由高斯公式(gngsh)，得到，得到第33页/共45页第三十四页，共45页。解解第34页/共45页第三十五页，共45页。而而（或由高斯公式（或由高斯公式(gngsh)得到所求积分值为得到所求积分值为0）第35页/共45页第三十六页，共45页。测验题测验题第36页/共45页第三十七页，共45页。第37页/共45页第三十八页，共45页。第38页/共45页第三十九页，共45页。第39页/共45页第四十页，共45页。第40页/共45页第四十一页，共45页。第41页/共45页第四十二页，共45页。第42页/共45页第四十三页，共45页。第43页/共45页第四十四页，共45页。测验题答案测验题答案(d n)第44页/共45页第四十五页，共45页。