高中数学第二章平面向量复习训练题(人教版必修4).pdf

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1、平平 面面 向向 量量 A A组组(1)如果a a,b b是两个单位向量,则下列结论中正确的是()(A)a ab b (B)a ab b=1 (C)a a b b (D)a a b b(2)在四边形ABCD中,若AC AB AD,则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形(3)若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2),(5,7),(3,4),则第 4 个顶点的坐标不可能是()(A)(12,5)(B)(-2,9)(C)(3,7)(D)(-4,-1)(4)已知正方形ABCD的边长为 1,AB a a,BC b b,AC c c,则a ab bc c等于

2、()(A)0 (B)3 (C)2 (D)2 2(5)已知a a 3,b b 4,且向量a a,b b不共线,若向量a ak b b与向量a a k b b互相垂直,则实数k的值为(6)在平行四边形ABCD中,AB a a,CB b b,O为AC与BD的交点,点M在BD上,BM 221OD,3则向量BM用a a,b b表示为;AM用a a,b b表示为(7)在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为25 km/h渡船要垂直地渡过长江,则航向为(8)三个力F F1 1,F F2,F F3的大小相等,且它们的合力为0,则力F F2与F F3的夹角为(9)用向量方法证明:三角

3、形的中位线定理(10)已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上,OA (2,m),OB (n,1),OC (5,1),且OA OB,求实数m,n的值B B组组(11)已知点O、A、B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且OP 3OAOB,则()2(A)点P在线段AB上 (B)点P在线段AB的反向延长线上(C)点P在线段AB的延长线上 (D)点P不在直线AB上(12)已知D、E、F分别是三角形 ABC 的边长的边BC、CA、AB的中点,且BC a a,CA b b,AB c c,则EF 11111c cb b,BE a a b b,CF a a b b,AD BE CF 0中正确的等式的222

4、22个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4(13)已知向量a a(1,5),b b(3,2),则向量a a在b b方向上的投影为(14)已知OA a a,OB b b,点M 关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量MN用a a、b b表示为(15)已知向量a a(m2,m3),b b(2m1,m2),若向量a a与b b的夹角为直角,则实数m的值为;若向量a a与b b的夹角为钝角,则实数m的取值范围为(16)已知OP (2,1),OA (1,7),OB (5,1),点O为坐标原点,点C是直线OP上一点,求CACB的最小值及取得最小值时cosACB的值(17)如图,点A1、A

5、2是线段AB的三等分点,求证:OA1OA2OAOB(1)一般地,如果点A1,A2,An1是AB的n(n 3)等分点,请写出一个结论,使(1)为所写结论的一个特例并证明你写的结论AA1A2BO(18)已知等边三角形ABC的边长为 2,A的半径为 1,PQ为A的任意P P一条直径,()判断BPCQ APCB的值是否会随点P的变化而变化,请说明理由;()求BPCQ的最大值A AQ QB BC C参考答案或提示:参考答案或提示:平平 面面 向向 量量A A 组组(1)D(2)A(3)C(4)D(5)3-a-a-b b5a a-b b0(6);(7)北偏西 30466m 3m 60(8)120(9)略(

6、10)或3n 3n 2略解或提示:略解或提示:(1)由单位向量的定义即得a a b b 1,故选(D)(2)由于AC AB AD,AC AB AD,即BC AD,线段BC与线段AD平行且相等,ABCD为平行四边形,选(A)(3)估算:画草图知符合条件的点有三个,这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点 由于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限,则排除(B)、(D),而符合条件的点第一象限只有一个点,且位于点(5,7)的右侧,则该点的横坐标要大于5,排除(A),选(C)(4)由于a a b bc c 2c ca ab bc c 2 c c 2 2,选(D)(5)向量a ak

7、b b与向量a a k b b互相垂直,则(a akb b)(a a kb b)0,a a k2b b,而a a a a 9,b b b b16,k k (6)BM 2222223411111-a-a-b b;OD,而OD BD,BM BD(AD AB)(BC AB)3266665a a-b b6AM AB BM(7)如图,渡船速度OB,水流速度OA,船实际垂直过江的速度OD,依题意,OA 12.5,OB 25,由于OADB为平行四边形,则BD OA,又OD BD,在直角三角形OBD中,BOD=30,航向为北偏西30(8)过点O作向量OA、OB、OC,使之分别与力F F1 1,F F2,F F

8、3相等,由于F F1 1,F F2,AOBDF F3的合力为0,则以OC、OB为邻边的平行四边形的对角线OD与OA的长度相等,又由于力F F1 1,F F2,F F3的大小相等,OA OB OC,则三角形OCD和三角形OBD均为正三角形,COB 120,即任意两个力的夹角均为120(9)解:由于DE CE CD,而CE CC CD DA AE E11CB,CD CA22B B1111CBCA(CBCA)AB,22221则DEAB,且DE AB,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半2DE(10)由于O、A、B三点在一条直线上,则ACAB,而AC OC OA (7,1m),AB OB

9、OA (n 2,1m)7(1m)(1m)(n2)0,又OA OB,2nm 0m 3m 6联立方程组解得或3n n 32B B 组组(11)B(12)C(13)4 5 5 115 5 1174)(,2)(14)2b b 2a a(15)(,13或 2;322133(16)8,4 17(17)答案不唯一,如OA1OAn1OA2OAn217OAOB或OA1OA2略解或提示:略解或提示:OAn1n1(OAOB)(18)()BPCQ APCB 1()321BA,则点P2(11)由于2OP 3OAOB,2OP2OA OAOB,即2AP BA,AP 在线段AB的反向延长线上,选(B)1a aa a11CB

10、,又a ab bc c 0,EF c cb b,即是错误的;22222111由于BE BC CE BC CA a a b b,即是正确的;同理CF b bc c,而a ab bc c 0,222111则c c a a b b,CF a a b b,即是正确的;同理AD c c a a,2223AD BE CF(a ab bc c)0;即是正确的选(C)2(13)设a a与b b的夹角为,则向量a a在b b方向上的投影为S(12)EF a acosa ab b71313b bAMB1(14)由于A为SM中点,B为SN中点,OA(OS OM),O211OB(OS ON),两式相减得OBOA(ON

11、 OM),22MN 2(OB OA),MN 2b b 2a a也可直接根据中位线定理MN 2AB 2b b 2a aN(15)若a a与b b的夹角为直角,则a ab b 0,即(m2)(2m1)(m3)(m2)0,m 4或 2;3若向量a a与b b的夹角为钝角,则a ab b 0,且a a与b b不共线,则(m2)(2m1)(m3)(m2)0,且(m2)(m2)(m3)(2m1)0,解得45 5 115 5 11 m m 2或322(16)由于点C是直线OP上一点,设点C(2m,m),CA (12m,7m),CB (52m,1 m),CACB 5(m2)28,m 2时,CACB的最小值为8

12、;而m 2时,CA (3,5),CB (1,1),cosACB CACBCA CB4 1717(17)解:AA111OB2OA1AB,OA1 OA AA1 OAAB OA(OB OA)3333同理OA22OB OA2OBOAOB2OA OAOB;,则OA1OA2333一般结论为OA1OAn1OA2OAn2证明:AAkOAOBkkAB,OAkOA AAkOAAB,nnnkkk而OAnk OA AAnk OAAB OA ABAB OBABnnnkkOAkOAnkOAABOBAB OAOBnnn1注注:也可以将结论推广为OA1OA2OAn1(OAOB)证明类似,从略2(18)()由于BPCQ APCB (AP AB)(AQ AC)AP(AB AC),而AQ AP,则BPCQ APCB (AP AB)(AP AC)AP(AB AC)AP ABACAB AC AB AC cosABC 2,AP AP1BPCQ APCB AP ABAC 1,即BPCQ APCB的值不会随点P的变化而变化;()由于BPCQ APCB 1,BPCQ 1 APCB,APCB AP CB cos AP,CB APCB AP CB 2(等号当且仅当AP与CB同向时成立),BPCQ的最大值为 32222

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