《人教版高中数学 第二章《平面向量》教学课件 新人教A必修4.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学 第二章《平面向量》教学课件 新人教A必修4.ppt（54页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、平平 面面 向向 量量 复复 习习2021/8/9 星期一1平平 面面 向向 量量 复复 习习 表示表示 运算运算 实数与向量的积实数与向量的积 向量加法与减法向量加法与减法 向量的数量积向量的数量积 平行四边形法则平行四边形法则向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量的三种表示向量的三种表示2021/8/9 星期一2向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的
2、向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量或相反的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.2021/8/9 星期一3几何表示 :有向线段有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)2021/8/9 星期一4平平 面面 向向 量量 复复 习习向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 a=(x ,y),则则2.若表示向量若表
3、示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则2021/8/9 星期一5已知向量已知向量a=（5 5，m m）的长度是）的长度是1313，求，求m.m.答案：答案：m=12 m=122021/8/9 星期一6三、向量的运算三、向量的运算（一）向量的加法（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算、坐标运算：1、作图、作图（二）向量的减法（二）向量的减法2、坐标运算：1、作图、作图平行四边形法则：abab+ab+2021/8/9 星期一7OAB3 3.加加法减法运算律法减法运算律a+b=b+a（a+b)+
4、c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：2021/8/9 星期一8例例1 化简化简（1）（）（AB+MB）+BO+OM （2）AB+DA+BD BCCA分析分析利用加利用加法减法运算法则，借助结论法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0进行变形进行变形.解：解：原式原式=AB+（BO+OM+MB）=AB+0=AB（1）（2）原式原式=AB+BD+DA（BC+CA）=0BA=AB2021/8/9 星期一9练习练习2 如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF中，中，AB=a、BC=b、AF=c，用，用a、b、c表示向量表示向量AD、BE、
5、BF、FC.AFEDCB答案：答案：AD=2 bBE=2 cBF=caFC=2 a思考：思考：a、b、c 有何关系有何关系？b=a+c2021/8/9 星期一10平平 面面 向向 量量 小小 复复 习习练习练习3 已知点已知点A（2，1）、）、B（1，3）、）、C（2，5）求）求（1）AB、AC的坐标；（的坐标；（2）AB+AC的坐标；的坐标；（3）ABAC的坐标的坐标.答案：答案：（1）AB=（3，4），），AC=（4，4）（2）AB+AC=（7，0）（3）ABAC=（1，8）2021/8/9 星期一11实数实数与向量与向量 a 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩
6、短！其实质就是向量的伸长或缩短！a a是一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度|a a|=|=|a|；它的它的它的它的方向方向方向方向(1)(1)当当当当00时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；(2)(2)当当当当 0 0时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相反相反相反相反.若若a a=(x,y),则则 a a=(x,y)=(x,y)(3)=0(3)=0呢呢?2021/8/9 星期一12非零向量平行（共线）的充要条件非零向量平行（共线）的充要条件aba=b（R且且b0）向量表示：
7、向量表示：坐标表示：坐标表示：设设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则abx1y2x2y1=02021/8/9 星期一13平平 面面 向向 量量 复复 习习平面向量的基本定理平面向量的基本定理 设设 e1和和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量平面内的任何一个向量 a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1、2 使使a=1 e1+2 e2 不共线的向量不共线的向量 e1和和 e2 叫做表示这一平面叫做表示这一平面 内所有向内所有向量量 的一组基底的一组基底1 e1+1 e2=2 e1+2 e21=2 1=2 向量相等的充
8、要条件向量相等的充要条件2021/8/9 星期一14 例例2 已知已知 a=(1,2),b=(3,2),当当k为何值时为何值时,ka+b与与a3b平行平行?平行时它们是同向还是反向平行时它们是同向还是反向?分析分析 先求出向量先求出向量ka+b ka+b 和和和和a a3b3b的坐标，再的坐标，再的坐标，再的坐标，再根据向量根据向量平行充要条件的坐标表示平行充要条件的坐标表示,得到关于得到关于得到关于得到关于k k方程方程方程方程,解出解出解出解出k,k,最后它们的判断方向最后它们的判断方向最后它们的判断方向最后它们的判断方向.解解:ka+b=k(1,2)+(3,2)=思考思考:此题还有没有其
9、它解法此题还有没有其它解法?(k3,2k+2)a3b=(1,2)3(3,2)=(10,4)(ka+b)(a3b)4(k3)10(2k+2)=0K=ka+b=(a3b)它们反向它们反向2021/8/9 星期一15练习练习4 n为何值时为何值时,向量向量a=（n n，1 1）与）与b=(4,n)b=(4,n)共线且方向相同共线且方向相同?答案：答案：n=2 n=2思考思考:何时何时 n=2?n=2?2021/8/9 星期一16平平 面面 向向 量量 复复 习习例例3设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。要证要证A、B、D三点共线
10、，可证三点共线，可证AB=BD关键是找到关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD2021/8/9 星期一17平平 面面 向向 量量 小小 复复 习习练习练习5已知已知a=（1，0），），b=（1，1），），c=（10）求求和和，使，使 c=a+b.答案：答案：=1 1，=02021/8/9 星期一181、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：OABB1(四四)数量数量积积4、运算律、运算律:3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算
11、2021/8/9 星期一19四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示2021/8/9 星期一20六、向量的长度六、向量的长度七、向量的夹角七、向量的夹角2021/8/9 星期一21向量数量积的运算律向量数量积的运算律交换律成立：交换律成立：对实数的结合律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：分配律成立：2021/8/9 星期一22特别注意：特别注意：（1 1）结合律不成立：）结合律不成立：；（2 2）消去律不成立）消去律不成立 不能得到不能得到（3 3）=0 =0不能
12、得到不能得到 =或或 =(4)(4)但是乘法公式成立：但是乘法公式成立：；2021/8/9 星期一23ABDC练习练习2021/8/9 星期一24解：解：同理可得同理可得 2021/8/9 星期一25=1202021/8/9 星期一265.在在ABC中中 求求C；又又 cosC=（1）解）解 且且c为为ABC-内角内角 C=2021/8/9 星期一272021/8/9 星期一28典例讲解2021/8/9 星期一292021/8/9 星期一302021/8/9 星期一31例例4已知：如图所示，已知：如图所示，ABCD是菱形，是菱形，AC和和BD是它的是它的两条对角线。求证两条对角线。求证：ACB
13、D分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对要条件，而对 于这一条件的应用，可以考虑向量式于这一条件的应用，可以考虑向量式 的形式，也可以考虑坐标的形式，也可以考虑坐标 形式的充要条件。形式的充要条件。证法一：证法一：，（）（）=0 2021/8/9 星期一32证法二：以证法二：以OC所在直线为所在直线为x轴，以轴，以B为原点建立直角坐标为原点建立直角坐标 系，设系，设B(0，0)，A(a，b)，C（c，0）则由则由ABBC得得a2+b2=c2 （c，0）（）（a，b)（ca，b），），（a，b）（）（c，0）（）（ca，b）c
14、2 -a2 -b2 0 ，即，即 ACBD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解 题题 带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合数形结合”解题思解题思想的认识和掌握想的认识和掌握.2021/8/9 星期一33例例5 若非零向量若非零向量a和和b满足满足abab,证明：证明：ab分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，分
15、析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两可以考虑两 向量垂直向量垂直 的充要条件的应用，也可考虑面图的充要条件的应用，也可考虑面图形的几何性形的几何性 质，下面给出此题的三质，下面给出此题的三 种证法种证法:证法一：证法一：(根据平面图形的几何性质根据平面图形的几何性质)设设 a，b，由已知可得由已知可得a与与b不平行，不平行，由由abab得以得以 为邻边的平为邻边的平行四边形行四边形OACB的对角的对角 线线 和和 相等相等平行四边形平行四边形OACB是矩形，是矩形，ab2021/8/9 星期一34证法二：证法二：abab (a+b)2=(a-b)2 a2+b2+2ab=a
16、2+b 2-2ab ab0，即，即ab证法三：设证法三：设a（，），（，），b（，），），ab ，ab ，化简得：化简得：0，ab0，ab2021/8/9 星期一35例例6、已知向量、已知向量a是以点是以点A(3，1)为起点，且与向量为起点，且与向量b（3，4）垂直的单位向量，求）垂直的单位向量，求a的终点坐标。的终点坐标。分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程充要条件建立方程解：设解：设a的终点坐标为（的终点坐标为（，）则则
17、a（3，1）由题意）由题意由由得：得：（313）代入）代入得得2021/8/9 星期一36 25m21502090 解得解得 a的终点坐标是（的终点坐标是（评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆。不能混淆。上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解意解题方法
18、的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来。题时的应用，将几何与代数知识沟通起来。2021/8/9 星期一372021/8/9 星期一382021/8/9 星期一39 用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为大拉力为T,物体重量为物体重量为G,分析绳子受到的拉力大分析绳子受到的拉力大小小F1与两绳子间的夹角与两绳子间的夹角的关系？的关系？问题问题:F1F22021/8/9 星期一40建立数学模型建立数学模型:（1）逐渐增大时，逐渐增大时，|F1|如何变化？如何变化？（2）为何值时，为何值时，|F1|最小，最小值是多少？最小，
19、最小值是多少？（3）|F1|能等于能等于|G|吗？为什么？吗？为什么？（4）如果绳子的最大承受力恰与重物）如果绳子的最大承受力恰与重物G的的重量相等重量相等，在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？CBOAD探求探求|F1|与夹角与夹角之间的关系之间的关系（5）如果绳子的最大承受力为）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 N，在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？32021/8/9 星期一41F1FG F2cos2 F1解：不妨设解：不妨设 =，由向量的，由向量的 平平行四边形法则，力的平衡以及直角三角行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
20、：形的知识，可以知道：=通过上面的式子，有：当通过上面的式子，有：当由由0到到180逐渐变大时，逐渐变大时，由由0到到90逐渐变大，逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此的值由大逐渐变小，因此：由小逐渐变大，即由小逐渐变大，即F1 ，F2之间之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省的夹角越大越费力，夹角越小越省力！力！F2 F1 Gcos22cos22 F1F22021/8/9 星期一42F1FG F2cos2探究：探究：（1）为何值时，为何值时，最小，最小值是多少最小，最小值是多少？F1（2）能等于能等于 吗？为什么？吗？为什么？F1 G=F1 Gcos22答：在式中，当答：在式中，当=0时，时，最大
21、，最大，最小且等于最小且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，当）中，当 =即即=120时，时，=cos212 F1 GF22021/8/9 星期一43小结：小结：（1）、为了能用数学描述这个问题，我们）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！图形！（2）、由物理中的矢量问题化成数学中）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！的向量问题，用向量的有关法则解决问题！（3）、用数学的结果解决物理问题，回答
22、相）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。关的物理现象。2021/8/9 星期一44情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?夹角越小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力情景2:一个人在单杠上做引体向上时,手臂怎样握杠才省力?2021/8/9 星期一45求：求：1 1）FF1 1，FF2 2随角随角 的变化而变化的情况；的变化而变化的情况；2 2）当）当FF1 1 2G 2G时，求时，求 的取值范围。的取值范围。练习：如图，在细绳练习：如图，在细绳O O处用水平力处用水平力F F2 2缓慢拉起所受重力为缓慢拉起所受重力为 G G物体，绳子与垂直方向的夹角为物体，绳子与垂直方向的夹角
23、为绳子所受的拉力为绳子所受的拉力为F1 F1，GF2F1 O问题延伸：问题延伸：2021/8/9 星期一46解解:1:1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形 法则知：法则知：G=FG=F1 1+F+F2 2OF2F1 GFF2 2GG解直角三角形得解直角三角形得FF1 1G，FF1 1，FF2 2皆逐渐增大；皆逐渐增大；2 2）令）令FF1 1GG2G2G，得得2021/8/9 星期一47例例4：如图如图，一条河流的两岸平行，河的宽度，一条河流的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘，一艘船从船从A处出发到河对岸。已知船的速度处出发到河对岸。已知船的速
24、度 =10km/h，水流的，水流的速度速度 =2km/h。问：问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？）行驶时间最短时，所用的时间是多少？v1 v2分析：分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。方向时，小船的航程最小。（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方
25、向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。船过河所用时间才最短。500mA2021/8/9 星期一48把物理问题转化为数学模型为：把物理问题转化为数学模型为：解（解（1）=所以所
26、以 t=60 答：行驶的航程最短时，所用的时间答：行驶的航程最短时，所用的时间是是3.1min。v-v12 v2296d v0.5963.1（min）（2）t=60 =3 （min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1v2021/8/9 星期一49 （1）如图所示，用两条成）如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是，则每根绳子的拉力是。12010N如图，今有一艘小船位于如图，今有一艘小船位于d=60m宽的河边宽
27、的河边P处，从这里起，在下游处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？划速最小时，划速方向如何？PQ瀑瀑布布Q，60m2021/8/9 星期一50PQ瀑瀑布布V船船V水水V合合的方向的方向PQ从图上看，哪个速度（向量的模）最小？从图上看，哪个速度（向量的模）最小？分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速分析：用向量来分别表示河流的水流
28、速度、船速和它们的合速度为和它们的合速度为 、和和 ，由题意，由题意，船的实际速度为向量船的实际速度为向量其方向为临界方向其方向为临界方向 ，船只要朝着这个方向行，船只要朝着这个方向行驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：PQ V船船V水水V合合=+V船船V水水V合合解：由题意知：解：由题意知：其方向为临界方向其方向为临界方向 ，设，设 和和 夹角为夹角为，则最小划速为：，则最小划速为：sin=所以：最小的船速应为：所以：最小的船速应为：V船船V水水V合合=+PQV水水V合合 v船船=v水水sin v船船=5 sin=5 =3（m/s）提问提问:表示划船速
29、度的向量怎样画表示划船速度的向量怎样画?2021/8/9 星期一51问题的提炼：问题的提炼：、物理问题、物理问题（实际问题）（实际问题）数学问题数学问题（数学模型）（数学模型）通过通过受力分析，受力分析，根据根据力的平衡，力的平衡，运用运用向量的有关工具向量的有关工具、数学问、数学问题的解决题的解决解释和验证相解释和验证相关物理现象关物理现象主要学习了向量在物理中的应用主要学习了向量在物理中的应用(力的有关问题力的有关问题)2021/8/9 星期一52如何解决物理中与向量有关的问题：如何解决物理中与向量有关的问题：（1）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；（2）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；（3）、综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际）、综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际问题；问题；（4）、用所得的结果解释物理现象。）、用所得的结果解释物理现象。总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？内容？2021/8/9 星期一532021/8/9 星期一54