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1、.课时达标检测四十五课时达标检测四十五抛抛 物物 线线小题对点练点点落实对点练抛物线的定义及其应用1已知AB是抛物线y8x的一条焦点弦,|AB|16,则AB中点C的横坐标是A3C6B4D82解析：选C设A,B,则|AB|x1x2p16,又p4,所以x1x212,所以点C的横坐标是错误错误!6.2设抛物线y12x上一点P到y轴的距离是 1,则点P到该抛物线焦点的距离是A3C7B4D132解析：选 B依题意,点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3 的距离,即等于 314.3 若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为A.错误错误!C.错误错误!B.错误错误!D.错
2、误错误!2解析：选 A设抛物线的顶点为O,焦点为F,P,由抛物线的定义知,点P到准线的距离即为点P到焦点的距离,所以|PO|PF|,过点P作PMOF于点M,则M为OF的中点,所以xP错误错误!,代入y2x,得yP错误错误!,所以P错误错误!.4已知抛物线y2px的焦点F与双曲线错误错误!错误错误!1 的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且|AK|错误错误!|AF|,则AFK的面积为A4C16B8D3222解析：选 D由题可知抛物线焦点坐标为F过点A作直线AA垂直于抛物线的准线,垂足为A,根据抛物线定义知,|AA|AF|,在AAK中,|AK|错误错误!|AA|,故KAA4
3、5,所以直线AK的倾斜角为 45,直线AK的方程为yx4,代入抛物线方程y216x得y216,即y216y640,解得y8,x4.所以AFK为直角三角形,故AFK的面积为错误错误!8832.5已知P为抛物线y4x上一个动点,Q为圆x 1 上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A2错误错误!1C.错误错误!1B2错误错误!2D.错误错误!2222解析：选 C由抛物线定义可知,点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距离,即求.|PQ|PF|的最小值 设圆的圆心为点C,因为|PQ|PC|1,所以|PQ|PF|PC|1|PF|FC|1错误错误!1,故选 C.6抛物线y2p
4、x0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p_.解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点,最小距离为错误错误!,则错误错误!1,解得p2.答案：27 过抛物线y4x的焦点F且倾斜角为错误错误!的直线交抛物线于A,B两点,|FB|FA|_.解析：抛物线y4x的焦点F,准线为x1.设A,B,由错误错误!可得x6x10,解得x132错误错误!,x232错误错误!,由抛物线的定义可得|FA|x1142错误错误!,|FB|x2142错误错误!,则|FB|FA|4错误错误!.答案：4错误错误!对点练抛物线的标准方程及性质1抛物线y2px0的准线截圆xy2y10 所得弦长为 2,则pA1C422222
5、222B2D62解析：选 B抛物线y2px0的准线为x错误错误!,而圆化成标准方程为x 2,圆心M,半径r错误错误!,圆心到准线的距离为 错误错误!,所以错误错误!错误错误!,解得p2.2设O是坐标原点,F是抛物线y4x的焦点,A是抛物线上的一点,FA 与x轴正方向的夹角为 60,则OAF的面积为A.错误错误!C.错误错误!B2D122222解析：选C过点A作ADx轴于点D,令|FD|m,则|FA|2m,2m2m,m2,所以|AD|2错误错误!,所以SOAF错误错误!12错误错误!错误错误!.3直线l过抛物线C：y2px0的焦点F,且与C相交于A,B两点,且AB的中点M的坐标为,则抛物线C的方
6、程为Ay2x或y4xCy6x或y8x22222By4x或y8xDy2x或y8x22222解析：选 B由题可得直线l的方程为yk错误错误!,与抛物线方程C：y2px0联立,得k xk px2px错误错误!0.AB的中点为M,错误错误!解得k1 或k2,p2 或222p4,抛物线C的方程为y24x或y28x.4已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M,若点M到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|A2错误错误!C42B2错误错误!D2错误错误!解析：选 B设抛物线方程为y2px0,则点M,焦点为错误错误!.点M到该抛物线焦点的距离为3,2错误错误!3,解得p2.|OM|错误错误!2
7、错误错误!.5 某抛物线形拱桥跨度是20 米,拱桥高度是 4 米,在建桥时,每 4 米需用一根支柱支撑,则其中最长支柱的长为_米解析：如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2py0,依题意知,点P在抛物线上,1002p,2p25,即抛物线方程为x25y.每 4 米需用一根支柱支撑,支柱横坐标分别为6、2、2、6.由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为,代入x25y,得yB错误错误!,|AB|4错误错误!3.84,即最长支柱的长为 3.84 米答案：3.846 抛物线x2py的焦点为F,其准线与双曲线错误错误!错误错误!1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p_.解析：在等边三角形AB
8、F中,AB边上的高为p,错误错误!错误错误!p,所以B错误错误!.又因为点B在双曲线上,故错误错误!错误错误!1,解得p6.答案：67 已知F1,F2分别是双曲线 3xy3a0的左、右焦点,P是抛物线y8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|PF2|12,则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程得错误错误!错误错误!1,则F1,F2抛物线的准线为x2a,联立错误错误!得x3a,即点P的横坐标为3a.而由错误错误!得|PF2|6a,|PF2|3a2a6a,得a1,抛物线的准线方程为x2.答案：x2大题综合练迁移贯通1已知抛物线y2px的焦点为F,A是抛物线上横坐标为 4,且位于x轴上方
9、的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.求抛物线的方程；若过点M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标.222222222.2解：抛物线y2px的准线为x错误错误!,于是 4错误错误!5,p2,抛物线方程为y4x.由知点A的坐标是,由题意得B,M又F,kFA错误错误!.MNFA,kMN错误错误!.FA的方程为y错误错误!,MN的方程为y错误错误!x2,联立错误错误!解方程组得x错误错误!,y错误错误!,点N的坐标为错误错误!.2 已 知 过 抛 物 线y 2px0的 焦 点,斜 率 为 2 错误错误!的 直 线 交 抛 物 线 于22A,Bx1两点,且|A
10、B|9.求该抛物线的方程；O为坐标原点,C为抛物线上一点,若错误错误!错误错误!错误错误!,求的值解：由题意得直线AB的方程为y2错误错误!错误错误!,与y2px联立,消去y有 4x5pxp0,所以x1x2错误错误!.由抛物线定义得|AB|x1x2p错误错误!p9,所以p4,从而该抛物线的方程为y8x.由得 4x5pxp0,即x5x40,则x11,x24,于是y12错误错误!,y24错误错误!,从而A,B设C,则错误错误!又y错误错误!8x3,所以2错误错误!8,整理得 41,解得0 或2.故的值为 0 或 2.3.如图,已知抛物线C：y2px,焦点为F,过点G作直线l交抛物线C于A,M两点,设A,M若y1y28,求抛物线C的方程；若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值解：设直线AM的方程为xmyp,代入y2px得y2mpy2p0,则y1y22p8,得p2.抛物线C的方程为y4x.222222222222222.证明：设B,N由可知y3y42p,y1y3p.又直线AB的斜率kAB错误错误!错误错误!,直线MN的斜率kMN错误错误!错误错误!,错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值22.