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1、课时达标检测（四十五课时达标检测（四十五) )抛抛 物物 线线小题对点练点点落实对点练(一）抛物线的定义及其应用1已知AB是抛物线y8x的一条焦点弦,AB16，则AB中点C的横坐标是（)A3C6B4D82解析:选 C设A（x1,y1)，B（x2,y2），则|AB|x1x2p16，又p4，所以x1x212,所以点C的横坐标是错误错误! !6。2设抛物线y12x上一点P到y轴的距离是 1，则点P到该抛物线焦点的距离是()A3C7B4D132解析:选 B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3 的距离,即等于 314。3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标
2、为（)A.错误错误! !C.错误错误! !B.错误错误! !D.错误错误! !2解析：选 A设抛物线的顶点为O，焦点为F,P（xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以POPF，过点P作PMOF于点M(图略),则M为OF的中点，所以xP错误错误! !，代入y2x，得yP错误错误! !，所以P错误错误! !。4已知抛物线y2px的焦点F与双曲线错误错误! !错误错误! !1 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且AK错误错误! !AF|，则AFK的面积为(）A4C16B8D3222解析:选 D由题可知抛物线焦点坐标为F（4,0）过点A作直线
3、AA垂直于抛物线的准线,垂足为A，根据抛物线定义知 ,AAAF|，在AAK中，AK错误错误! !AA|，故KAA45，所以直线AK的倾斜角为 45，直线AK的方程为yx4,代入抛物线方程y16x得y16(y4）,即y16y640，解得y8，x4.所以AFK为直角三角形，故222AFK的面积为错误错误! !8832.5已知P为抛物线y4x上一个动点，Q为圆x(y4） 1 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（)A2错误错误! !1C.错误错误! !1B2错误错误! !2D.错误错误! !2222解析：选 C由抛物线定义可知，点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距
4、离,即求PQ|PF的最小值设圆的圆心为点C，因为|PQ|PC|1，所以|PQ|PF|PC1PF|FC|1错误错误! !1，故选 C.6抛物线y2px（p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1，则p_。解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为，则错误错误! !1，解得22pp2。答案：27(2018河南三门峡模拟）过抛物线y4x的焦点F且倾斜角为错误错误! !的直线交抛物线于A,B两点，|FB|FA|_。解析:抛物线y4x的焦点F（1,0)，准线为x1.设A(x1，y1）,B(x2，y2)，由错误错误! !可得x6x10，解得x132错误错误! !，x232错误错误! !,由
5、抛物线的定义可得FA|x1142 2，FB|x2142错误错误! !,则|FB|FA|4错误错误! !。答案:4错误错误! !对点练（二)抛物线的标准方程及性质1抛物线y2px（p0)的准线截圆xy2y10 所得弦长为 2，则p（)A1C42222222B2D62解析：选 B抛物线y2px（p0）的准线为x错误错误! !，而圆化成标准方程为x(y1) 2，圆心M(0，1），半径r错误错误! !，圆心到准线的距离为错误错误! !，所以错误错误! !错误错误! !(错误错误! !) ，解得p2.2设O是坐标原点,F是抛物线y4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x22222轴正方向的夹角为 60,
6、则OAF的面积为(）A.错误错误! !C.错误错误! !B2D1解析：选 C过点A作ADx轴于点D，令FDm，则|FA2m，2m2m，m2，所以|AD2错误错误! !,所以SOAF错误错误! !12错误错误! !错误错误! !.3直线l过抛物线C：y2px（p0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点2M的坐标为(3,2），则抛物线C的方程为（）Ay2x或y4xCy6x或y8x2222By4x或y8xDy2x或y8x22222解析：选 B由题可得直线l的方程为yk错误错误! !，与抛物线方程C：y2px（p0)联立，得k xk px2px错误错误! !0。AB的中点为M(3,2）,错误
7、错误! !解得k1 或k2，p2 或p4,抛物线C的方程为y4x或y8x。4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M（2,y0）,若点M到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM（）A2 2C4B2错误错误! !D2 5222222解析：选 B设抛物线方程为y2px(p0)，则点M(2，2错误错误! !），焦点为错误错误! !.点M到该抛物线焦点的距离为 3，2错误错误! !3，解得p2.|OM|错误错误! !2错误错误! !.5某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米,在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米解析:如图，建立直角坐标系，设抛物线方程
8、为x依题意知,点P(10,4)在抛物线上,1002p（4)，2p25，即抛物线方程为每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6、2、2、6。由图知，AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2，yB)，代入x25y，得yB错误错误! !,AB|4错误错误! !3。84，即最长支柱的长为 3.84 米答案：3。846抛物线x2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线错误错误! !错误错误! !1 相交于A，B两点，若ABF2222py(p0)，x225y。为等边三角形，则p_.解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，错误错误! !错误错误! !p，所以B错误错误! !。又因为点B在双曲线上，故
9、错误错误! !错误错误! !1，解得p6.答案：67已知F1，F2分别是双曲线 3xy3a（a0）的左、右焦点，P是抛物线y8ax与双曲线的一个交点,若|PF1PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析:将双曲线方程化为标准方程得错误错误! !错误错误! !1，则F1（2a，0）,F2（2a,0)抛物线的准线为x2a，联立错误错误! !得x3a（x错误错误! !舍去），即点P的横坐标为 3a.而由错误错误! !得PF2|6a，|PF23a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.答案：x2大题综合练-迁移贯通1已知抛物线y2px(p0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方的点，A
10、到抛物线准线的距离等于 5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。(1)求抛物线的方程；(2）若过点M作MNFA,垂足为N，求点N的坐标解:(1)抛物线y2px的准线为x ，于是 4错误错误! !5，p2，抛物线方程为y24x。(2)由(1）知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M（0,2)又F（1，0），kFA错误错误! !.MNFA，kMN错误错误! !。FA的方程为y错误错误! !（x1)，MN的方程为y错误错误! !x2,联立错误错误! !解方程组得x错误错误! !，y错误错误! !，点N的坐标为错误错误! !。2已知过抛物线y2px（p0）的焦点,斜率为 2错误错
11、误! !的直线交抛物线于A（x1，y1），2222222p2B（x2，y2）（x1x2）两点,且|AB9。(1）求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点,若错误错误! !错误错误! !错误错误! !，求的值解：（1)由题意得直线AB的方程为y2错误错误! !错误错误! !，与y2px联立,消去y有 4x5pxp0，所以x1x2错误错误! !.由抛物线定义得|ABx1x2p错误错误! !p9，所以p4，从而该抛物线的方程为y8x.(2)由（1)得 4x5pxp0，即x5x40，则x11,x24，于是y12错误错误! !，y24错误错误! !，从而A（1，2错误错误! !），B(4,
12、4错误错误! !）设C（x3,y3），则错误错误! !(x3，y3）（1，2错误错误! !)（4，4错误错误! !）（41，4错误错误! !2错误错误! !）2222222又y错误错误! !8x3，所以2错误错误! !(21) 8（41)，整理得（21） 41，解得0 或2。故的值为 0 或 2。3。如图,已知抛物线C：y2px(p0),焦点为F，过点线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1）,M（x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程;(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值解：（1)设直线
13、AM的方程为xmyp,代入y2px得y2mpy2p0，则y1y22p8，得p2。抛物线C的方程为y4x。（2）证明:设B（x3，y3)，N（x4，y4）由（1）可知y3y42p，y1y3p.又直线AB的斜率kAB错误错误! !错误错误! !，直线MN的斜率kMN错误错误! !错误错误! !,错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !2。故直线AB与直线MN斜率之比为定值2222222222G(p，0）作直尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中
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