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1、-1 1、简立方原胞基矢、简立方原胞基矢体心立方原胞基矢体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢面心立方原胞基矢2 2、试证面心立方的倒格子是体心立方、试证面心立方的倒格子是体心立方证：设与晶轴 a、b、c 平行的单位矢量分别为i、j、k。面心立方正格子的原胞基矢可取为aaa由倒格子公式得a1(j k),a2(k i),a3(i j)2222a2a32a3a12a1a2可得倒格基矢为：b1,b2,b33 3、考虑晶格中的一个晶面、考虑晶格中的一个晶面hklhkl，证明：，证明：(a a)倒格矢倒格矢Gh hb1kb2lb3垂直于这个晶面；垂直于这个晶面；(b b)晶晶 格格 中中 相相 邻邻 两两
2、个个 平平 行行 晶晶 面面 的的 间间 距距 为为dhkl2Gh；(c c)对对 于于 简简 单单 立立 方方 晶晶 格格 有有a2d 2。22h k l2a2、a3上的截距为证明：证明：a晶面hkl在基矢a1、a3a1a2、。作矢量：hklm1a1a2a2a3a3a1，m2，m3hkkllh显然这三个矢量互不平行，均落在hkl晶面上如右图，且同理，有m2Gh0，m3Gh 0所以，倒格矢Ghhkl晶面。b晶面族hkl的面间距为：c对于简单立方晶格：4 4、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论上下温极限。、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论上下温极限。解：按照德拜模型，格
3、波的色散关系为w=vq。由图色散曲线的对称性可以看出，dw 区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2/a对应 L/a 个振动模式，单位波矢区间对应有L/2个2dqLdqL个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定2dzL dqL义为模式密度，根据此定义可得模式密度为：D(w)再利用dwdwvw0LvD(w)dw N w 式中 N 为原子数，a 为晶格常数，得00aa振动模式，dw 范围则包含dz 由公式Cvwm0 w ew/kBTD(w)dwkB得其热熔量为2k Tw/kBT1Be2Cvwm0w/k Tw L w eBdwx kB作变量变换得2w/k TBkBTvkBTe12.z.-2LkBTCv
4、vD/Texx2dx0ex1z其中Dw0kB在高温时*是小量，上式被积分函数exx2ex1z1因此，晶格的高温热熔量CVLkB NkBa在低温时D/T ,CV中的被积函数按二项式展开成级数exx2ex1z x2nen1nx则积分e0exx2dxx1z2LkBT此时期热熔量CV3v325 5、模式密度计算、模式密度计算模式密度的一般表达式：g2q3qVdS德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q q。即 cq q代入式，容易得到：g（1）三维情况模式密度对于三维情况，V231V4232cc2c=cq2在 q 空间等频率面为球面，半径为：在球面上，是一个常数，且球面积分为：ds 4q2
5、，因此：g32VdsV1V1V11 22ds 4q 3323 2q2q22cq2c2二维情况模式密度对于二维情况，q 空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：二维情况下的 q 空间中的密度为：A/(2)，这里 A 为二维晶格的面积，而且有：所以对于=cq，二维情况的模式密度为：22g()dnAd(2)2dLA2qA2q(q)(2)2Cq4C3一维情况模式密度同理，在一维情况下，q空间有两个等频点+q和-q。仿上面的方法可以得到：.z.-g()dnLdqL1L2 d(2)q(q)(2)2Cq2C2总之，色散关系为=cq的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率 的，0，
6、-次方成比例。271(coska cos2ka),式中a是晶格常数，晶格常数，6 6、一维晶格中电子的能带可写成一维晶格中电子的能带可写成E(k)28ma8m m 是电子的质量，求，能带宽度，电子的平均速度，在带顶和带底的电子的有效质量。是电子的质量，求，能带宽度，电子的平均速度，在带顶和带底的电子的有效质量。解：1、当k a，Ek有最大值，Emax27122(1)2ma 88ma当 k=0 时，Ek有最小值Emin27122(1)0所以：E Emax Eminmama 881211asinka asin2ka(sinka sin2ka)2、v ma24ma42*m23、E/k2，2E1222
7、kE(k)(a coska a cos2ka)因为2k2Kma2所以当 k=0 时，带顶，m|k0*22122(a a)22ma)2m2当k a，带底，m(k *a2a22(a)2ma22 m37 7、用紧束缚近似求出面心立方及晶格、用紧束缚近似求出面心立方及晶格s s 态原子能级相对应的能带函数态原子能级相对应的能带函数解面心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带函数E(k)s J0s 原子态波函数具有球对称性J1 J(Rs)sRsNearest0*0(R)U()V()()d 0isiJ(Rs)eikRs 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个12 个最邻近格点的位置 类似的表示共有 1
8、2 项 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带.z.-9 9、电子在周期场中的势能、电子在周期场中的势能V(x)0 0，当(n-1)a+b x nab其中其中 a a4b4b，是常数是常数(1)(1)试画出此势能曲线，求其平均值试画出此势能曲线，求其平均值.(2)(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度解：(I)题设势能曲线如下列图所示(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以题设a 4b，故积分上限应为ab 3b，但由于在b,3b区间内V(x)0，故只需在b,b区间内积分这时，n 0，于
9、是1bm2b2m22V V(x)dx(b x)dx ab2ab2a2b xbb1x33bb126mb。3，势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数利用积分公式u cosmudu 2u2musinmu2cos musinmu得23mmEg116m23b2第二个禁带宽度Eg2 2V2,以m 2代入上式,代入上式2m2Eg2bb0(b x)cos2xbdx再次利用积分公式有Eg22m22b21212、内能，结合能，体弹性模量计算、内能，结合能，体弹性模量计算正格子与倒格子的关系正格子与倒格子的关系面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。晶体：晶体：构成粒子原子，分子，集
10、团周期性排列的固体，具有长程有序性，有固定的熔点，具有自限性，各向异性和解理性特点的固体。布拉伐点阵：布拉伐点阵：晶体的周期性构造可以看作一样的点在空间周期性无限分布所形成的系统，称为布拉伐点阵。布拉伐格子：布拉伐格子：在空间点阵用三组不共面平行线连起来的空间网格称为布拉伐格子。基元：基元：布拉伐格子中的最小重复单位称为基元。原胞：原胞：在布拉伐格子中的最小重复区域称为原胞。晶胞：晶胞：为了同时反响晶体的周期性和对称性，常常选取最小的重复单位的整数倍作为重复单元，这种单元称为晶胞对称操作对称操作是指一定的几何变换。如*物体如绕*一轴旋转一定角度或对*一平面作镜象反映等等.一种晶体可以有多种不同
11、形式的对称操作，描述晶体的对称性的方法就是找出能使它复原的所有对称操作。布拉菲晶格：布拉菲晶格：由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉菲晶格布里渊区：布里渊区：在倒格子中，以*个倒格点作为原点，作出它到其他所有倒格点的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成有内置外的相等区域，称为布里渊区。.z.-布洛赫定理：布洛赫定理：晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有以下形式：其中 k 为电子的波矢，Rn 是格矢，上述定理称为布洛赫定理。导致晶体能带对称性的原因：导致晶体能带对称性的原因：什么是盘旋共振，观察到这种现象需要什么条件，它有什么用途什么是盘旋共振，观察到这种现象需要什么条件，它有什么用途在恒定外磁场的作用下，晶体中的电子或空穴将做螺旋运动，回转频率。假设在垂直磁场方向加上一交变电场，当，交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为盘旋共振。可以用盘旋共振频率测定有效质量。恒定磁场下电子的运动恒定磁场下电子的运动.z.