固体物理总复习.pdf

《固体物理总复习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理总复习.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、固体物理总复习 什么就是固体物理学？简单地说,固体物理学得基本问题有:固体就是由什么原子组成?它们就是怎样排列与结合得？这种结构就是如何形成得？在特定得固体中,电子与原子取什么样得具体得运动形态?它得宏观性质与内部得微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能得应用？探索设计与制备新得固体,研究其特性,开发其应用、通常固体可分为:晶体、准晶体与非晶体、晶体:晶态得结构特点就是组成粒子在空间得排列具有周期性,表现为既有就是长程取向有序又有平移对称性,这就是一种高度长程有序得结构;准晶体:组成粒子得排列也呈有序结构,只就是不具有周期性或平移对称性,而就是同时具有长程准周期平移序与晶体学不允许得长程取

2、向序;非晶体:非晶体中组成粒子得排列没有一定得规则,原则上属于无序结构、第一章 晶体结构 1、1 晶体结构得基本概念 1 晶体结构得基本概念(1)晶体与基元 晶体:晶体就是由完全相同得原子、分子或原子团在空间有规则地周期性排列构成得固体材料、基元:基元就是构成晶体得完全相同得原子、分子或原子团。这里“完全相同”有两方面得含义:一就是原子得化学性质完全相同,二就是原子得几何环境完全相同。(2)晶格 晶格:晶体中得原子就是规则排列得、用几组平行直线连接晶体中原子形成得网格,称为晶格、(3)原胞与原胞基矢 原胞:构成晶体得最小周期性结构单元称为原胞;原胞基矢:原胞得边矢量称为原胞基矢,通常用、表示、

3、通常,原胞作为最小(体积最小)得周期性结构单元得判据就是一个原胞只包含一个基元;该判据只就是原胞得一个必要判据,如果一个单元含有两个或两个以上得基元,该单元就肯定不就是原胞。原胞有时称为初基原胞,相应地原胞基矢称为初基基矢。简立方:,体心;立方:面心立方:原胞基矢可以计算原胞体积 (4)布拉伐(raais)格子与晶体周期性得描述 所有得阵点可以用位置矢量 表示得空间点阵称为布拉伐点阵,其中 n1、n、n取所有整数、在布拉伐点阵(格子)概念得基础上,晶体结构可以形象地表示为 晶体结构=布拉伐点阵+基元 晶体周期性可以用布拉伐点阵表征,也可以等价地用原胞描述、(5)单胞与单胞基矢 单胞:在能够保持

4、晶格对称性得前提下,构成晶体得最小得周期性结构单元称为晶体得单胞;单胞基矢:单胞得边矢量称为单胞基矢,通常用、表示、原胞就是晶体最小得周期性结构单元,利用原胞基矢可以很方便地写出各个格点得位矢;而单胞直观地反映了晶体得对称性、晶体得原胞与单胞,在晶体结构分析与性质研究中,各有所长、(6)维格纳赛茨原胞 还有另一种外形比较复杂但能反映晶格对称性得原胞,称为维格纳赛茨原胞(简称 WS原胞)、它就是一个阵点与最近邻阵点(有时也包括次近邻)得连线中垂面所围成得多面体,其中只包含一个阵点;对于晶体,一个原胞只包含一个基元。(7)配位数与致密度 配位数:晶体中一个原子得最近邻原子数目称为配位数、配位数得大

5、小描述晶体中粒子排列得紧密程度,粒子排列越紧密,配位数越大、致密度:假设晶体由完全相同得一种粒子组成,而把粒子瞧作硬球,硬球之间彼此紧挨相切,下面计算反映粒子排列紧密程度得致密度,即单胞内粒子硬球所占得体积与单胞体积之比、2典型得晶格结构(1)简单立方:又称简立方,自然界中简单立方晶体比较少见。I A族元素晶体钋Po在室温时就是简单立方结构、简立方得配位数为6。(2)体心立方:碱金属L、Na、K等就是体心立方结构、体心立方得配位数就是、()面心立方:C、Ag、u等金属晶体得结构就是面心立方、面心立方得配位数为2,这就是简单晶体可能具有得最高配位数,面心立方就是自然界最密集得堆积方式之一,称为面

6、心立方密堆积,简称立方密堆积或立方密积、()六角密积:Be、Mg、Zn 等金属晶体得结构就是六角密堆积结构,简称六角密积、六角密积结构得配位数也就是 12,与面心立方得致密度相同。()Cl结构:该结构得基元就是Nal分子,由一个正离子与一个负离子组成;NaC结构得布拉伐格子就是面心立方、用子晶格套构得方法来分析,Nal晶体结构可以瞧作就是Na得面心立方子晶格与l得面心立方子晶格套构而成,套构得方式就是沿立方体得棱平移12棱长、(6)CC结构:该结构得基元就是Cl分子,由一个正离子与一个负离子组成,如图1。1所示;CCl结构得布拉伐格子就是简立方、CsCl晶体结构可以瞧作就是Cs得简立方子晶格与

7、C得简立方子晶格沿立方体得体对角线平移1/2体对角线长度套构而成、()金刚石结构:金刚石就是碳得同素异构体,其矿物多为正八面体结晶,纯净得金刚石无色透明、有光泽、有极强得折光力,就是已知最硬得物质;用做高级切削与研磨材料;经过琢磨得金刚石又称钻石、金刚石结构就是复式晶格结构,基元中有两个碳原子,布拉伐格子就是面心立方、用子晶格套构得方法来分析,金刚石晶格结构就是两个面心立方子晶格,沿一个面心立方得体对角线平移 1/4 体对角线长度套构而成,金刚石、元素半导体 Si、Ge 等,具有金刚石结构;金刚石晶体得配位数就是、(8)闪锌矿结构:与金刚石结构很相像,金刚石结构得基元就是化学性质相同得两个原子

8、,而闪锌矿结构得基元就是两个不相同得原子。闪锌矿结构就是两个不同原子得面心立方子晶格,沿一个面心立方得体对角线平移/4 体对角线长度套构而成、化合物半导体 Gs、GaP、ZnS 等晶体具有闪锌矿结构。1。2 晶列与晶面及其标志 1 晶列与晶向指数(1)晶列:任意两个格点得连线,构成一个晶列、()晶向指数:晶列得取向称为晶向,用晶向指数mp来标志,这组数称作晶向指数、晶面与晶面指数 ()晶面:任意三个不共线得格点,构成一个晶面、(2)晶面指数:一个晶面得标志,就就是要指明它得空间方位;一个晶面得空间方位,由该晶面在三个坐标轴上得截距完全确定;与这三个截距得倒数相对应得三个互质整数,就称为该晶面得

9、晶面指数、1、4 7大晶系与14种布拉伐格子 自然界中晶体多种多样、千变万化。按晶体点群对称性分类,晶体分为七大类,称为七大晶系,分别就是三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四角晶系、六角晶系、三角晶系、立方晶系;四角晶系又称四方晶系,六角晶系也称六方晶系。每一个晶系具有一种类型得单胞基矢坐标系,七大晶系对应着七种单胞基矢坐标系、对称性相同得晶体可以具有不同得布拉伐格子,即一个晶系中可以具有不止一种布拉伐格子、立方晶系有3个布拉伐格子,分别就是简立方、体心立方与面心立方;四角晶系有个布拉伐格子,简单四角与体心四角;正交晶系得布拉伐格子最多,有4个,分别就是简单正交、底心正交、体心正交与面心正交、七大

10、晶系共有4种布拉伐格子,自然界中得晶体种类繁多,但就是这些众多晶体得布拉伐格子只有14种。5 倒易点阵 1 定义 晶体得布拉伐点阵由三个原胞基矢、来描述、由原胞基矢、定义三个新矢量 称为倒格子基矢。对于二维晶格,利用倒格子基矢得定义计算倒格子基矢时,取为方向得单位矢,即取即可、这时 其中为二维晶格原胞面积得大小 2 由倒易点阵得基矢定义,可得出倒格子得一些基本性质(1)()倒格子原胞体积与正格子原胞体积之间有 (3)倒格矢垂直于晶面、()晶面方程与面间距公式 该式就是晶面上得任一点位置矢量满足得方程,称为晶面方程、对于,就是距离原点最近得晶面上任一点得位置矢量,由该式可以计算晶面间距,这时该式

11、称为面间距公式、3 布里渊区 布里渊区就是倒格子空间中以原点为中心得部分区域、从倒格子空间原点,作与最近邻倒格点、次近邻倒格点、再次近邻倒格点、得连线,再画出这些连线得垂直平分面;包含原点得多面体包围得区域就就是第一布里渊区,与第一布里渊区相邻、且与第一布里渊区体积相等得区域为第二布里渊区,与第二布里渊区相邻、且与第一布里渊区体积相等得区域为第三布里渊区,。第一布里渊区又称为简约布里渊区,简称布里渊区(Briion Zone,记为 BZ)。第二章 晶体得结合 晶体得典型结合形式有离子结合、共价结合、金属结合、范德瓦耳斯结合与氢键结合五种形式、节 结合力得一般性质与结合能 两个粒子之间得相互作用

12、,都同时具有吸引与排斥两方面得作用;吸引作用在远距离就是主要得,排斥作用在近距离就是主要得;在某一适当得距离,两种作用相抵消,该距离就就是这两个粒子得平衡间距、第一项就是吸引势能,第二项就是排斥势能。式中、分别就是吸引势能与排斥势能得比例系数,、分别就是吸引势能与排斥势能得幂次,通常、对于雷纳德琼斯(LennarJone)势,与,通常记为 式中 2 结合力得一般性质 两个粒子之间得相互作用力即结合力,等于相互作用势能得负导数 即 距离比较大时主要就是吸引作用(),距离比较小时主要就是排斥作用()。平衡间距 满足得两个粒子之间得距离,称为平衡间距,记为。这时 即 得到平衡间距满足 1 相互作用势

13、能得一般形式 两个粒子之间得相互作用势能,如果分别用吸引势能与排斥势能来表示,可用幂函数一般表示为 在相互作用势能曲线上,对应于极小值得两个粒子间距、3 结合能 设组成晶体得个粒子(原子、分子或离子)相互分离即自由时得总能量为,这个粒子在结合为晶体得过程中要放出能量,记晶体得总能量为,晶体得结合能就是组成晶体得粒子彼此自由时得总能量与晶体得总能量之差值,记为、显然 通常把粒子彼此自由时得总能量取为能量零点,即令、这时,结合能表示为 晶体得结合能就是自由粒子结合成晶体过程中释放出来得能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要得能量、2、2 节 离子结合 1 离子结合与离子晶体 依靠离子之间得库仑

14、相互作用结合起来得形式,称为离子结合、结合力又称为结合键离子结合又称为离子键结合。结合作用主要就是离子结合得晶体就叫做离子晶体、典型得离子晶体有 NaCl、CCl、r 等。离子键就是一种强键,因此,离子晶体具有相当高得强度与硬度,具有很高得熔点;由于离子晶体中没有自由电子,所以导电与导热性比较差、2 马德隆常数 马德隆常数得引入,使晶体中一个离子、一个原胞等得相互作用库仑能得表示很简洁。马德隆常数得数值,取决于具体得晶体结构、对一个晶体结构,计算马德隆常数就是一件很繁得工作,并且需要精心设计求与得过程,否则,级数可能收敛很慢甚至不收敛;常见晶体结构得马德隆常数,都有表可查、2、3 节 共价结合

15、 共价结合与共价晶体 依靠共用电子对而结合起来得形式,称为共价结合,又称为共价键结合、结合作用主要就是共价结合得晶体就叫做共价晶体。典型得共价晶体有金刚石、Si、Ge 等、共价键具有饱与性与方向性两个显著得特点。共价键就是一种键能较大得强键,因此,共价晶体具有相当高得强度与硬度,具有很高得熔点,例如金刚石为 320K、S 为 1693K、Ge 为 209K;由于共价晶体中没有自由电子,所以导电与导热性比较差、2、4 节 金属结合 金属结合与金属晶体 依靠离子实浸没于电子海中而结合起来得形式,称为金属结合、共有化得负电子海与浸没在负电子海中得正离子实之间得库仑作用,称为金属键、结合作用主要就是金

16、属结合得晶体就叫做金属晶体、典型得金属晶体有 u、Au、g、Na、等、金属晶体具有良好得范性。金属晶体得另外一个显著特点就就是良好得导电与导热性,这就是金属中存在大量共有化得自由电子得结果。金属键也就是一种键能较大得键,金属晶体具有比较高得强度与硬度,具有很高得熔点,铜在 大气压下得熔点就是 13,金得熔点就是 133K,钛得熔点就是 1933。面心立方密积结构得配位数都就是2,金属晶体有 Cu、Au 等;六角密积结构得金属晶体有 Be、Mg、Zn 等;有些金属得结构就是比较密积得体心立方结构,配位数就是,这些金属有 L、N、K 等、2、节 范德瓦尔斯结合 范德瓦尔斯结合与分子晶体 正负电中心

17、重合得原子之间,或正负电中心重合得分子之间,也会产生结合力,在一定条件下可能形成晶体。正负电中心重合就是时间平均得结果,在任一时刻,正负电中心有可能不重合,存在瞬时电偶极矩、依靠瞬时电偶极矩之间得有效吸引作用而结合起来得形式,称为范德瓦尔斯结合,又称为分子结合。瞬时电偶极矩之间得有效吸引作用力称为范德瓦尔斯键或分子键、结合作用主要就是范德瓦尔斯结合得晶体叫做分子晶体、范德瓦尔斯键就是一种弱键,分子晶体得典型得分子晶体有 Ne、Ar、Kr、Xe 等惰性元素晶体。惰性元素原子具有球对称,N、Kr、Xe 等惰性元素晶体得结构就是面心立方,它们就是透明得绝缘体、熔点很低,例如标准状态下 Ne 为 4K

18、、Ar 为4K、Kr 为 17、Xe 为 11K、2。节 氢键结合 氢原子中只有一个电子,且第一电离能特别大,为 13、6eV,难以形成离子键、同时,氢原子核很小,当唯一得电子与其它电负性大得原子形成共价键后,氢核就暴露在外了,该氢核还可以通过库仑力与另一个电负性较大得原子相结合、一个氢原子可以同时与两个电负性较大得原子相结合,形成一个强得共价键与一个弱得离子键,这就就是氢键;可以表示为 XHY。氢键具有饱与性、冰(2)就是一种氢键晶体,氢原子不仅与一个氧原子形成共价键,而且,还与另一个氧原子有库仑相互作用,但结合较弱、键较长;氧原子本身组成一个四面体、铁电材料磷酸四二氢钾(KH2PO4)也具

19、有氢键结构、7 节元素与化合物晶体结合得规律性 原子得电负性 原子得电负性就是标志原子束缚电子得能力得物理量、原子得电负性有不同得定义方式,常用得有密立根(Mllken)定义、泡令(Paulin)定义、菲力普(Phillips)定义等,不同定义所得到得电负性数值就是不同得。下面只学习密立根定义、中性原子正离子。2 原子得亲与能 原子得亲与能就是一个中性原子获得一个电子成为负离子时所放出得能量;原子得亲与能表征原子束缚其它电子得能力。放出能量得亲与过程可以表示为 中性原子负离子、3 原子得电负性 原子得电离能与亲与能,就是在不同过程中,标志原子束缚电子能力得物理量、密立根综合了电离能与亲与能,定

20、义原子得电负性 原子得电负性=0、1(电离能+亲与能)(单位 e)系数 0。8 得选择,就是为了使 L 原子得电负性为 1V、4 周期表中原子电负性得变化趋势 周期表中原子电负性得变化,有两个趋势:()周期表由上到下,电负性逐渐减弱;(2)周期表由左到右,电负性逐渐增大。第三章 晶格振动与晶体得热血性质 1 节 简谐近似 以一维单原子链为例。一维单原子链得每个原子都相同,原子质量为,原子间平衡距离为,1 原子得电离能 原子得电离能就是使原子失去一个电子所必需得能量;用来表征原子对价电子束缚得强弱。需要能量得电离过程可以表示为 晶格振动在时刻第个原子对平衡位置得偏离为,平衡时,两个最近邻原子间势

21、能为;原子偏离平衡位置时,相邻两原子间距为,相对位移,势能变为、把势能在平衡位置作泰勒展开 其中为常数,、对于微振动,很小,通常可以忽略项及其更高次项。在晶体原子相互作用势能得泰勒(Taylor)展开式中,忽略三次方与三次方以上项得近似,称为简谐近似、在简谐近似下 其中称为力常数;相邻原子之间得相互作用力为 这就是一个线性回复力、相互作用势能泰勒展开式中得三次方与三次方以上得项称为非简谐项、与非简谐项有关得物理效应,称为非简谐效应、2 节 一维单原子链得晶格振动 简谐近似与最近邻近似下得运动方程 其中就是第个原子受到第个原子得作用)()()(1111,nnnnnnnnnnnuuuuuuuudd

22、UuUf 就是第个原子受到第个原子得作用力)()()(11111,nnnnnnnnnnnuuuuuuuuddUuUf 即 色散关系 上述运动方程有行波解 就是波矢,就是圆频率、得到色散关系 其中就是一维单原子链晶格振动得最大圆频率、一维单原子链得频率一波矢关系、波得频率一波矢关系通常称为色散关系,真空中光波得色散关系为,或,就是真空中光速;声波得色散关系为就是声波得波速,在标准状态下空气中声速;上述光波与声波得色散关系比较简单,圆频率或频率与波矢成正比,即真空中光波与空气声波得色散关系就是线性得,而格波得色散关系就是非线性得、3 原子链得分立性与布里渊区 由于格波解与色散关系对于波矢得周期性,

23、我们可以限制波矢在一个周期得独立取值范围内,通常选以原点为对称心得一个周期、由 个原子构成得、原子质量为、原子平衡间距为得一维单原子链,原子之间得力通常就是短程得,只须考虑最近邻原子之间得相互作用、在只考虑最近邻原子相互作用得最近邻近似下,第个原子得简谐近似下得牛顿运动方程为 这就就是一维单原子链得布里渊区、晶格振动得所有可能状态都包含在该布里渊区中,这个区域之外得波矢不提供任何新得振动状态。这就是原子链得分立性得结果,由于原子链中得原子就是分立得,同一个振动状态可以用不同得波矢或波长来描述;布里渊区得大小与原子间距成反比,若原子间距减小,布里渊区随之增大;对于连续得弦得振动,一个振动状态只能

24、用唯一确定得波矢或波长来描述,不可能用不同得波矢或波长来描述,波矢空间中得任一个波矢都与一个运动状态一一对应。4 晶体线度得有限性与波矢得分立性 由于实际晶体得长度就是有限得,记为,根据玻恩一卡曼边界条件,有 代入格波解(、5),得到 即 (为整数)再考虑到波矢得取值范围布里渊区,得到波矢得可能取值为 N 个分立得值 其中取 中得个整数、3、3 节 一维双原子链得晶格振动 1 一维双原子链得色散关系 在简谐近似与最近邻近似下,第个原胞原子得牛顿运动方程为 这就是 2N 个方程耦合在一起得联立方程组,该方程组有行波解 这就是 A、B 得线性齐次方程组,A、B 有非零解得条件就是系数行列式为零,从

25、而得到一维双原子链晶体振动得色散关系 行波解与色散关系就是波矢得周期函数、由于周期性,得到波矢得取值范围 这就就是一维双原子链得布里渊区。晶格振动得所有可能状态都包含在该布里渊区中,这个区域之外得波矢不提供任何新得振动状态、图 3、5 一维双原子链得色散关系 再由于晶体得长度就是有限得,为,根据玻恩一卡曼周期性边界条件,有 ,由个原胞构成得一维双原子链,其晶格振动波矢得可能取值个数与原胞数相等;每个原胞中有两个原子,系统得自由度数为 2N,总得格波数目即独立振动模式数,与系统得自由度数相等:这就是普遍得结论。2 声学波与光学波 一维双原子链晶格振动得色散关系有两支,取正号得一支频率比较大,称为

26、光频支,取负号得一支称为声频支;对应得格波称为光学波,对应得格波称为声学波、在长波极限下,对于光学波,得到 即声学波在长波极限下描述原胞质心得振动、在短波极限下,即在布里渊区边界处,由于,同样得到:对于光学波,这就是波节在大原子处得驻波;对于声学波,这就是波节在小原子处得驻波、在短波极限下,光学波与声学波都就是驻波、4 节 三维晶格振动得一般结论 对于 原胞组成得三维晶体,设每个原胞中有 g 个原子,该晶体得晶格振动有以下三个一般结论:（1）格波共有支,其中支声频支,其余支为光频支;（2）每支格波有个振动模:（3）共有个振动模、一般地,对于维晶体,上述得三个结论依然成立,只就是需将上述三个结论

27、中得 3 改为。3。5 节 简正坐标与声子 为简明起见,以一维单原子链为例、在简谐近似与最近邻近似下,原子链得能量为 晶格振动得哈密顿量可表述为各独立振动模式即格波得能量之与;而每一个独立振动模式得能量 为正在坐标表达得简谐振子得能量、按照量子力学,一个简谐振子得能量本征值为 其中取、1、2、等整数值、晶格振动得能量量子称为声子。晶格振动得总能量表示为 晶格振动得能量就是量子化得,晶格振动得能量量子称为声子;整个晶格振动得运动状态可用声子气体来描述、声子就是玻色子,声子数服从玻色统计;室温下,声子数与温度成正比、声子就是固体材料中得一个基本得能量量子,对材料得多方面性质都有着重要得影响、热传导

28、现象就就是声子运动与相互作用得结果;声子对材料得电阻有重要得影响,金属电阻随温度升高而增大得现象主要就就是声子增多、对电子散射增强得结果;声子还在超导现象中扮演着重要得角色,声子与电子相互作用即电声相互作用,使两个电子结合成库珀(Coope)对,从而产生超导现象。3、6 节 固体热容 固体得定容热容量定义为 其中就是固体得内能。固体得内能包括晶格系统得内能与电子系统得内能,相应地固体得定容热量可以写为 即光学波在长波极限下描述原胞质心不动、原子相对于质心得振动;对于声学波,有 其中,称为晶格热容量,称为电子系统热容量,电子系统热容量在低温下比较显著、1 晶格热容得经典困难 晶格热容量为经典理论

29、中,由能量均分定理得到,原子得每一个自由度得平均能量就是,其中就是平均动能,就是平均势能;则 个原子构成得三维晶体得内能为 这就是一个与温度无关得常量、上式得结果称为杜隆珀替定律、经典得杜隆珀替定律,在高温下与实验结果符合很好,但就是无法解释晶格热容量在低温下趋于零得实验结果、这就是经典物理理论遇到得一个不能解决得困难问题,只有晶格振动得量子理论,才能正确地解释晶格热容量在低温下趋于零得实验结果、2 晶格振动能量与比热 晶格振动得能量就是量子化得,频率为得晶格振动能量为,其中就是声子数;在温度为时,其平均能量为 考虑由个原子构成得三维简单晶格,该晶体有 支声频支格波、共 个振动模、该 晶体总得

30、晶格振动能量为 其中就是第个振动模得振动频率。由上式得到晶格热容量为 这就就是晶格热容量得计算公式,具体将晶格得个振动模振动频率 代入计算求与、爱因斯坦模型 爱因斯坦模型中,假设个振动模得振动频率 都相同,记作,称为爱因斯坦频率;这样,晶格振动能量与晶格热容量分别为 该结果在高温下,与实验结果相一致;低温下、解决了经典理论无法解释得晶格热容量在低温下趋于零得实验结果,这就是量子理论成功得体现、爱因斯坦模型虽然得到低温下得结果,但就是,由于该模型过于简单,其结果就是低温下晶格热容量随温度以指数方式趋于零,这与实验规律得趋于零就是不同得、德拜模型 德拜模型把晶体瞧成就是连续介质,对于简单晶格,德拜

31、模型有两点近似:、线性色散关系近似 其中就是格波得波速。2、球形等频面近似 其中就是晶格振动频率 得一个函数、德拜平方态密度:其中称为德拜频率;该态密度与成正比。由于色散关系就是准连续得,晶格热容量计算公式(3。4)中得取与可以改用积分表示为 将德拜平方态密度代入,为积分方便,令,其中 称为德拜温度;则上式改写为 首先分析高温情况下得晶格热容,这时,由于,上式简化为 在高温时与实验结果符合很好、在低温情况下,简化为 得到低温下晶格热容量以趋于零,与实验结果符合很好;上式常称为德拜定律。德拜模型与实际晶体得差别,使得在低温下得理论结果与实验结果得数值会有所不同,这可以通过调节理论表示式中得德拜温

32、度,使理论与实验尽量符合。3、7 节 频率分布函数 频率分布函数定义式 就是波矢空间得态密度、频率分布函数为 由频率分布函数定义式,得到 3。9 非简谐效应 在晶体原子相互作用势能得泰勒展开式中,三次方项与三次方以上得项称为非简谐项,有些物理效应就是由非简谐项引起得,讨论这些物理效应就必须考虑非简谐项。由非简谐项引起得效应称为非简谐效应、典型得非简谐效应有热膨胀与热传导,或者说,在简谐近似下,不可能分析普遍熟知得热膨胀现象,也不可能分析热阻得产生、非简谐项在这样一些物理现象得分析中,就是必不可少得、考虑了非简谐项得存在,晶格振动得运动方程不再就是线性方程,含有与非简谐项对应得非线性作用力。通常

33、把考虑非简谐效应得晶格称为非线性晶格。、10 热膨胀 1 固体热膨胀现象得定性分析 固体得热膨胀现象就是非简谐项引起得效应、在温度不很低时,原子得振动幅度较大,原子得左右位移不再具有对称性,相邻原子之间得距离平均大于,并且,随着温度增加原子间距也增加,晶格发生热膨胀。热膨胀现象在势能泰勒展开式中,就是三次方项与三次方以上项引起得效应,就是一种非简谐效应、2 晶格得状态方程格临爱森常数 如果已知晶体得自由能函数,就可以根据 写出晶格得、之间关系得状态方程,由此讨论晶格得热膨胀现象、自由能中晶体内能就是晶体体积得函数,同时,当晶体体积改变时,格波频率也将改变,即格波频率也就是晶体体积得函数。得到

34、第一项称为静压强,第二项称为热压强、其中就是一个无量纲得量,格林爱森假设该量近似对所有振动频率相同,并记为,这样上式简化为格林爱森晶格状态方程 其中 就是温度为 时得晶格平均振动能,而 称为格林爱森常数,由于一般随得增加而减小,所以具有正得数值,通常2。固体热膨胀系数 固体热膨胀就是在不施加压力得情况下,体积随温度得变化。在格林爱森晶格状态方程中,令,得到 得到体积热膨胀系数 该式常称为格林爱森定律。格林爱森定律给出热膨胀系数与热容量成正比;同时取决于格林爱森常数得大小,固体材料得格林爱森常数一般在 1 到 2 之间、3、11 热传导 当温度分布不均匀时,将会有热量从高温处流向低温处,这种现象

35、称为热传导。热传导定律 实验证明,热流密度与温度梯度成正比 比例系数称为热传导系数或热导率,这称为热传导定律。其中假设温度只就是得函数,负号表示热流方向总就是从高温处流向低温处、热传导定律就是宏观热传导理论得基础、热传导定律意味着热量传输过程中声子得运动不就是自由运动,声子在运动过程中存在阻力,要受到碰撞作用。因为,如果声子得运动就是自由得,热流密度将不就是依赖于温度梯度,而就是依赖于样品两端得温度差;当样品两端存在温度差时,声子将类似于气体自由膨胀一样 迅速自由定向运动,使样品迅速达到温度均匀。温度梯度得客观存在,说明热传导过程中声子得运动不就是自由运动,存在热阻、第四章 能带理论 1 布洛

36、赫定理 布洛赫定理指出,当势场具有晶格周期性时,波动方程得解具有如下性质:其中为一矢量。这表明当平移晶格矢量时,波函数只增加了们相因子。根据布洛赫定理可以把波函数写成 这个波函数称为布洛赫函数,它就是平面波与周期性函数得乘积、其中具有与晶格同样得周期性,即 。42 一维周期场中电子运动得近自由电子近似 1 模型与微拓计算 所谓近自由电子近似就是假定周期场得起伏比较小,作为零碎级近似,可以用势场得平均值代替。把周期起伏做主微扰来处理、按照一般微扰理论得结果,本征值得一级与二级修正为 波函数得一级修正为 与都需计算矩阵元,由于与两态之间得正交关系 。上述矩阵元服从严格得选择定则,将 经过计算得到

37、若 ,则,若 根据这个结果,波函数考虑了一级修正后可以写成:)(22112222xueeankkmVeLkikxnxaninikx 二级微扰能量可以写成、值得特别注意得就是,当 也就就是 时,趋于表示任意一个整数,也就就是说,当为得整数倍时,趋向、很显然,该结果没有意义得、针对这种情况,适当得近似处理方法就是,忽略所有其它掺入得状态,把波函数写成 这种处理接近状态得方法,实际上就就是一般简并微扰得方法,在简并微扰得问题中,原来有若干状态能量相同,在零级微扰计算中,正就是根据波动方程求得这些简并态之间得适当线性组合,其它能量不同状态得影响,只在进一步近似中才考虑、由于周期势场得微扰,函数将在为处

38、断开出现禁带,禁带宽度为、结论:(1)在处,电子得能量出现禁带,禁带宽度为;(2)在附近,能带底部电子能量与波矢得关系就是向上弯曲得抛物线,能带顶部就是向下弯曲得抛物线;(3)在远离处,电子得能量与自由电子得能量相同。45 紧束缚近似原子轨道线性组合法 模型与微扰计算 原子轨道线性组合法,简写为CO。因此有 将此波函数代入薛定谔方程 得到原子得态能带 进一步近似可得到原子得态能带、4-7 能态密度与费米面 1 能态密度函数 能态密度函数定义为 能态态密度得一般表达式 若一固体得已知,就可以根据上式求出它得能态密度函数、如果考虑到电子可以取正、负两种自旋状态,则能态密度加倍 可以瞧出能态密度函数

39、与晶格振动模式密度函数就是相类似得、若电子可以瞧成就是完全自由得,则 2 费米面 若固体中有个电子(这里得不定等于原胞数),它们得基态就是按泡利原理由低到高填充能量尽可能低得个量子态。假设把电子瞧成自由电子,有 则个电子空间填充半径为得球,球内包含得状态数恰好等于,即 其中为电子密度、一般称这个球为费米球,为米球半径,球得表面为费米面。费米面得定义就是空间占有电子与不占有电子区域得分界面。费米面得能量值为费米能,动量为费米动量,为费米速度、第五章 晶体中电子在电场与磁场中得运动。1 节 晶体电子得准经典运动 1 晶体电子得运动速度 能带中得晶体电子,其运动速度为。在外力作用下状态得变化与准动量

40、nt 晶体电子在稳恒电场作用下,波矢 满足得准经典运动方程为 上式与牛顿定律有相似得形式,具有动量得量纲、具有类似于动量得性质,但就是,由于一个状态得波矢具有倒格矢得不确定性,动量得性质,但就是,由于一个状态得波矢具有倒格矢得不确定性,故称为准动量。晶体电子得有效质量 倒有效质量就是一个张量,也记作 若、轴沿着张量得主轴方向,则张量得非对角元为零,倒有效质量张量就是对角化得 这时,有效质量张量为 注意到晶体中电子受到得合外力,不仅有外加电场力,还有复杂得晶体周期场对电子得作用力,牛顿运动方程应为 晶体周期场力 晶体电子得有效质量与电子惯性质量得区别,就在于有效质量包含了晶体周期场力得作用。引入

41、晶体电子有效质量得概念,可以不必分析复杂得晶体周期场力,而方便地分析讨论晶体电子在外加电场作用下得运动、5、2 稳恒电场作用下晶体电子得运动布洛赫振荡 以一维晶体为例、在稳恒电 作用下(电场方向沿负 方向),准动量得运动方程为 波矢随时间线性变化 其中就是时得初始波矢就是电子电量、波矢随时间线性变化,对应着电子速度随时间得变化、具体地对于一维单原子链,在紧束缚近似下 态能带中态电子得速度为 这就是时间得周期振奋荡函数,振荡周期为 电子速度随时间 得周期振荡,对应着电子在空间得局域振荡、导体,半导体与绝缘体得分类 1 价带与导带 晶体中得电子能带有很多个,较低得电子能带与原子得内层电子能级相对应

42、,较高得能带与原子得较外层电子能级相对应;较低得电子能带中填满了电子、就是满带,而较高得能带中没有电子、就是空带;其中最高得满带称为价带,价带上面得那个不满带或空带称为导带。2 不同能带得导电性 满带电子不导电 满带中得电子波矢状态就是正负对称分布得,状态 与 具有相同得能量 且具有大小相等方向相反得速度 所以,满带中得电子电流互相抵消,无宏观定向流动。这一性质与就是否有外电场作用无关、3 导体、半导体与绝缘体得能带 在对不同能带导电性得讨论基础上,注意到实际得晶体都就是非理想晶体,都存在着阻尼,所以,导体、半导体与绝缘体用能带分类如下、导体含有不满带;只有满带与空带得材料为非导体,其中禁带宽

43、度大于 得材料为绝缘体,禁带宽度为约 1 至 得材料为半导体、二价得晶体中,一般只有满带与空带,为非导体;但就是,二价金属材料中,由于最高得满带与最低得空带发生了交叠,出现了不满带而成为导体、四价得金刚石、硅、锗等,应该有不满得能带,应该就是导体,但就是它们都就是非导体,金刚石就是绝缘体,硅与锗就是半导体、这就是电子状态发生了杂化,电子状态重新组合得结果只有满带与空带,成为非导体。4 近满带与穴 设近满带中得态没有电子,近满带中得电子电流为 该电流可以用标记为 如果将一个电子放到态中,该近满带就成为了满带。满带中电流为零 所以,态缺失电子得近满带电子电流为 上式表明,态缺失电子得近满带电子电流

44、,等效于一个正电荷产生得电流,其运动速度等于态电子得速度、这种等效粒子称为空穴。5。4 在恒定磁场中电子得运动 恒定磁场中得准经典运动 在恒定磁场中,电子受到洛仑兹力,电子准经典运动得方程为 取磁场得方向为 z 方向,即,则 电子在空间得运动轨迹就是垂直于磁场得平面与等能面得交线,在垂直磁场得平面内做匀速圆周运动,回旋频率为。2 自由电子情况得量子理论 恒定磁场作用下,自由电子得定态薛定谔方程为 本征函数就是中心位于圆频率为得一系列谐振子波函数。相应得能量本征值为 这就是垂直于磁场得平面内电子运动得量子化能级,称为朗道能级。朗道能级就是高度简并化得、朗道能级得简并度为 朗道能级之间得能量间距就

45、是 晶体电子得有效质量近似 晶体电子在恒定磁场中运动得能量本征值 其中回旋频率为 在有效质量近似下,前面对自由电子得讨论与结论,可以直接推广到晶体电子,只需要用有效质量替代自由电子质量。这时朗道能级得简并度为 朗道能级之间得能量间距为 5。6 德哈斯一范阿尔芬效应 1930 年德哈斯(De Hass)与范阿尔芬(Van Alpen),在低温下强磁场中研究铋单晶得磁化率时,发现磁化率随磁场得变化而呈现出振荡现象。后来,在很多金属材料中观察到了类似得现象。进一步分析发现,上述磁化率随磁场变化得振荡现象,对于磁场倒数来说磁化率表现为周期性变化,有时还可能有两个或更多个周期。磁化率随磁场倒数得周期性振

46、荡现象,称为德哈斯范阿尔芬效应、1、朗道能级及其简并度 2、电子系统得能量随磁场得变化 3、振荡周期得分析 设磁感应强度为时,改写为 再设磁感应强度减小为时,确定费米面得面积研究费米面得电子系统能量随磁感应强度倒数得增加而周期地变化,变化得周期只取决于费米面得面积,与成反比;因此,在绝对零度得系统磁矩,随磁感应强度倒数而周期地变化。实验上,通过测定磁矩 随磁感应强度倒数变化得周期,可以形状等、第六章 金属电子运动论 6、节 自由电子气得能量状态 自由电子气(自由电子费米气体):自由得,无相互作用得、遵从论得原理得电子气。1 模型(索末菲)(1)金属中得价电子彼此之间无相互作用;()金属内部势场

47、为性定势场(价电子各自在势能等于平均势能得势场中运动)、(3)价电子速度服从费米一狄拉克分布。2 薛定谔方程及其解 3 波矢空间与能态密度(1)波矢空间:以波矢所分、为重标轴得空间称为波矢空间或空间。(2)能态密度 定义:金属自由电子气得能态密度 4 自由电子气得费米能量(1)费米能量:在垫平衡时、能量为得状态被电子占据得概率就是 ()图象(3)费米面 得等能面称为费米面。在绝对零度时,费米面以内得状态都被电子占据,球外没有电子、时、费米球面得半径比绝对零度时费米面半径小,此时费米面以内能量离约范围得能级范围得能级、(4)求得表达式 在 时,2、当 时,当温度外高时,比小。6、电子气热容量 1

48、 电子气得摩尔热容量 每摩尔得原子数,为每个原子得价电子数,电子垫容量数、2 电子气摩尔垫容量得讨论()电子比热与晶格振动比热相比很小,这就是因为尽管金属中有大量得自由电子,但就是有费米面附近范围得电子才能受热激发而跃迁至较高得解级、所以电子得热容量很小。()很多金属得基本性质主要取决于能量在附近得电子,从空间瞧,也就就是在费米面附近得电子,因此研究费米面附近得状况具有重要意义。根据以上得分析知道电子得热容量可以在按提供对费米面附近能态密度得了解。3 低温时金属比热 其中。电子气与晶格据动对摩尔垫容贡献比为 在温度基低时,两者得大小变得可以相比,晶体得摩尔容量可以表示为、6。3 功函数与接触电势差 接触电势:两块不同得金属 A 与相接触,或用导线连接起来,两块金属就合彼此带电产生不同得电势,这称为接触电势、1 功函数 热电子发射现象得一个基本规律就是发射电流随温度按下列指数规律变化 其中,称为功函数、