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1、-1、简立方原胞基矢 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢 2、试证面心立方的倒格子是体心立方 证：设与晶轴a、b、c平行的单位矢量分别为i、j、k。面心立方正格子的原胞基矢可取为 由倒格子公式得 可得倒格基矢为：3、考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：(a) 倒格矢垂直于这个晶面；(b) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为；(c) 对于简单立方晶格有。证明：（a）晶面（hkl）在基矢上的截距为。作矢量： ，显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且 同理，有，所以，倒格矢晶面。（b）晶面族（hkl）的面间距为： （c）对于简单立方晶格： 4、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热
2、熔，并讨论高低温极限。解：按照德拜模型，格波的色散关系为w=vq。由图色散曲线的对称性可以看出，dw区间对应两个同样大小的波矢区间dq。对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有个振动模式，dw范围则包含个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据此定义可得模式密度为：再利用式中N为原子数，a为晶格常数，得由公式得其热熔量为作变量变换得其中在高温时x是小量，上式被积分函数因此，晶格的高温热熔量在低温时中的被积函数按二项式展开成级数则积分此时期热熔量5、模式密度计算模式密度的一般表达式：德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q。即代入式，容易得到：（1） 三维情况模式密度
3、对于三维情况，=c在q空间等频率面为球面，半径为：在球面上，是一个常数，且球面积分为：，因此：（2）二维情况模式密度对于二维情况，q空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：二维情况下的q空间中的密度为：A/(2)，（这里A为二维晶格的面积），而且有：所以对于=c，二维情况的模式密度为：（3）一维情况模式密度同理，在一维情况下，q空间有两个等频点+q和-q。仿上面的方法可以得到：总之，色散关系为=c的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率的，0，-次方成比例。6、已知一维晶格中电子的能带可写成晶格常数，m是电子的质量，求，能带宽度，电子的平均速度，在带顶和带底的电子的
4、有效质量。解：（1）、当，E（k）有最大值，当k=0时，E（k）有最小值所以：（2）、（3）、，因为所以当k=0时，带顶，当，带底，7、用紧束缚近似求出面心立方及晶格s态原子能级相对应的能带函数 解 面心立方晶格 s态原子能级相对应的能带函数s原子态波函数具有球对称性 任选取一个格点为原点 最近邻格点有12个12个最邻近格点的位置 类似的表示共有12项 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带9、电子在周期场中的势能 0 ， 其中a4b，是常数(1) 试画出此势能曲线，求其平均值.(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度解：(I)题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均
5、值：由图可见，是个以为周期的周期函数，所以题设，故积分上限应为，但由于在区间内，故只需在区间内积分这时，于是 。（3），势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数利用积分公式得第二个禁带宽度代入上式再次利用积分公式有12、内能，结合能，体弹性模量计算正格子与倒格子的关系面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。晶体：构成粒子（原子，分子，集团）周期性排列的固体，具有长程有序性，有固定的熔点，具有自限性，各向异性和解理性特点的固体。布拉伐点阵：晶体的周期性结构可以看作相同的点在空间周期性无限分布所形成的系统，称为布拉伐点阵。布拉伐格子：在空间点阵用三组不共面平行线连起来
6、的空间网格称为布拉伐格子。基元：布拉伐格子中的最小重复单位称为基元。原胞：在布拉伐格子中的最小重复区域称为原胞。晶胞：为了同时反应晶体的周期性和对称性，常常选取最小的重复单位的整数倍作为重复单元，这种单元称为晶胞对称操作是指一定的几何变换。如某物体如绕某一轴旋转一定角度或对某一平面作镜象反映等等. 一种晶体可以有多种不同形式的对称操作，描述晶体的对称性的方法就是找出能使它复原的所有对称操作。布拉菲晶格：由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉菲晶格布里渊区：在倒格子中，以某个倒格点作为原点，作出它到其他所有倒格点的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成有内置外的相等区域，称为布里渊区。布洛赫定理：晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有以下形式：其中k为电子的波矢，Rn是格矢，上述定理称为布洛赫定理。导致晶体能带对称性的原因：什么是回旋共振，观察到这种现象需要什么条件，它有什么用途在恒定外磁场的作用下，晶体中的电子（或空穴）将做螺旋运动，回转频率。若在垂直磁场方向加上一交变电场，当，交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为回旋共振。可以用回旋共振频率测定有效质量。恒定磁场下电子的运动-第 11 页-